借題發揮，提升復習功效

摘要：中考題都是命題者深思熟慮的智慧結晶，是集數學知識、數學方法、數學思想于一體的典型試題.養成鉆研中考題的好習慣，既可以對知識進行系統有效的梳理和復習，也能對知識的綜合運用方向有一個正確預測，站在更高的角度去面對新考題的挑戰，實現數學學習的新發展、新突破和新提升，不斷積累數學解題的經驗，總結數學解題的智慧，提高數學解題的效率，提升數學核心素養.

關鍵詞：中考題；鉆研；數學智慧；核心素養

中考題是集數學知識、數學方法、數學思想和數學智慧于一體的典型試題，學生的解題水平是對學生學習效果、教師教學成果的雙向檢測.因此，加強對中考題的研究，有利于積累解題經驗、解題方法，進而全面、規范地實施解答，提高數學學習水平.

1 問題生成

（2020·遂寧）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別是線段BC，AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．

（1）求證：△BDE≌△FAE；

（2）求證：四邊形ADCF為矩形．

設計說明：第（1）問知識重心是三角形全等的判定，是對“AAS，ASA，SAS，SSS”四個基本判定定理的考查.解答時，通過中點，探尋元素“S”；通過平行線的性質，確定元素“A”，結合圖形的特點，深挖隱含條件，為全等的證明做好條件的有效補充.第（2）問是矩形的判定，借助這一問的解答，鞏固對矩形判定定理的理解與應用，同時也為一題多解提供了展示平臺.

第（2）問的具體證法如下.

證法1：（有一個角是直角的平行四邊形是矩形.）

由題意知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.因為D是BC的中點，所以BD=DC，因此AF=DC.又AF∥CD，則四邊形ADCF是平行四邊形.由AB=AC，D是BC的中點，可得∠ADC=90°.故四邊形ADCF是矩形.

證法2：（三個角是直角的四邊形是矩形.）

由題意，可知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.因為D是BC的中點，所以BD=DC，故AF=DC.因為AF∥CD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，于是AD∥CF.因為BD=DC，AB=AC，所以∠ADC=90°.又AF∥CD，AD∥CF，所以∠DAF=90°，∠DCF=90°.故四邊形ADCF是矩形.

證法3：（對角線相等的平行四邊形是矩形.）

如圖2，連接DF，由題意知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.又因為AF∥CB，所以四邊形ABDF是平行四邊形，于是AB=DF=AC.故四邊形ADCF是矩形.

2 引申變式

2.1 引申新結論

如圖3，設AC與BF交于點G，從相似的視角可以拓展引申出如下新結論.

結論1：△AFG∽△CBG.

結論2：CG=2AG.

從面積的視角可以拓展引申出如下新結論.

結論3：設△AFG的面積為S1，△BDE的面積為S2，四邊形ADCF的面積為S四邊形ADCF，四邊形ABCF的面積為S四邊形ABCF，則S1S2=23，S1S四邊形ADCF=16，S1S四邊形ABCF=19.

設計說明：運用相似三角形的性質、同高的兩個三角形面積之比等于底的比、矩形的性質、等腰三角形“三線合一”的性質，就可以得到上述新結論.

2.2 變式新思考

變式 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一點，E是射線BC上一動點，連接DE，過點A作BC的平行線交ED延長線于點F，已知BC=6，AC=8．

（1）當AB=4AD時，①如圖4，若ED⊥BC，求DF的長;②如圖5，DE與AC相交于點H，若AD=DH，求DFCH的值．

（2）當AB=nAD時，若△EHC與△ABC相似，求DFCH的值．（直接寫出答案）

解析：（1）①如圖4，因為∠ACB=90°，AF∥BC，所以∠CAF=90°.又

ED⊥BC，所以四邊形ACEF是矩形，則EF=AC=8.

因為AF∥BC，所以△ADF∽△BDE，

可得DFDE=ADDB，于是DFEF=ADAB，因此DF=ADAB×AC=14×8=2．

②如圖5，因為AD=DH，所以∠DAH=∠DHA=∠EHC，故90°-∠DAH=90°-∠EHC，

即∠DEB=∠DBC，故DB=DE.

因為BC=6，AC=8，所以AB=AC2+BC2=82+62=10.

又因為AB=4AD，所以AD=14AB=52，因此DE=DB=152.

因為AF∥BC，所以△ADF∽△BDE，可得DFDE=ADDB，因此DF=AD=52，于是EH=DE-DH=DB-AD=152-52=5.因為∠DEB=∠DBC，∠ECH=∠BCA=90°，所以△ECH∽△BCA，可得EHBA=HCAC，于是HC=AC·EHBA=810×5=4.

故DFCH=524=58．

（2）因為∠ACB=90°，BC=6，AC=8，所以AB=AC2+BC2=82+62=10.

因為AB=nAD，所以AD=1nAB=10n，DB=10n-10n.

（ⅰ）當△EHC∽△BAC時，

可得∠HEC=∠ABC，∠EHC=∠BAC=∠AHD，

所以DE=DB=10n-10n，DH=AD=10n.

于是EH=DE-DH=10n-10n-10n=10n-20n.

因為AF∥BC，所以∠HEC=∠F，∠ABC=∠BAF，則∠F=∠BAF，

因此DF=AD=10n.

因為△EHC∽△BAC，所以EHAB=HCAC，

可得HC=AC·EHAB=810×10n-20n=8（n-2）n.

故DFCH=10n×n8（n-2）=54n-8．

（ⅱ）當△EHC∽△ABC時，

可得∠EHC=∠ABC=∠AHD.因為∠ABC+∠BAC=90°，所以∠AHD+∠BAC=90°，即∠ADH=90°，

故DE⊥AB.

因為AF∥BC，所以∠FAD=∠ABC.又∠BCA=∠ADF=90°，所以△ADF∽△BCA，可得DFAC=ADBC，于是DF=AC·ADBC=86×10n=403n.

因為AF∥BC，所以△ADF∽△BDE，可得DFDE=ADDB=1n-1，于是DE=（n-1）DF=40n-403n.

因為AF∥BC，∠ADH=∠ADF=∠BCA=90°，所以∠HAD=∠AFD，

因此△ADH∽△FDA，可得ADDF=DHAD，

于是DH=AD2DF=3n40×100n2=152n，

所以EH=DE-DH=40n-403n-152n=80n-1256n.

因為△EHC∽△ABC，所以EHAB=HCBC，

于是HC=BC·EHAB=610×80n-1256n=16n-252n.

故DFCH=403n×2n16n-25=8048n-75．

綜上所述，DFCH的值為54n-8或8048n-75.

3 啟示思考

中考題是命題者在研究了《義務教育數學課程標準》的具體要求的基礎上，結合時下的發展形式，融合自己的數學智慧與思考結晶得出的成果，它是知識、方法、思想的綜合體，真正體現了知識是基礎、方法是手段、思想是靈魂的數學學習的最高境界.研究中考題，往往能有重要的收獲，更能激發學生數學學習的積極性，進而提高復習的針對性，學會預測考題的發展趨勢，掌握解題的基本思想和基本方法，為提升數學素養奠定基礎.