分類討論思想在初中數學解題中的應用

摘要：近年來，分類討論的問題已經成為各地中考壓軸試題的熱門考點， 這類問題學生在解答中極易出現漏解.本文中就分類討論思想在初中數學各個專題中的應用淺談應用策略.

關鍵詞：分類討論；初中數學；解題；應用

在初中數學教學過程中發現，大多數學生對分類討論思想了解不夠深入，把握不夠牢固，分析問題比較片面，導致問題解決不徹底.本文中筆者根據自身教學實踐，就分類討論思想在初中數學各個專題中的應用進行探討研究.

1 分類討論思想在絕對值問題中的運用

由絕對值的概念可知，絕對值可用來表示數軸上兩點之間的距離，但無法明確這兩點的具體位置，對此類問題，我們就需要進行分類討論后再確定相應的值.

例1 解決下面的問題：

（1）如果|x+1|=2，求x的值；

（2）若數軸上表示數a的點位于-3與5之間，求|a+3|+|a-5|的值；

（3）當a="" 時，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是"""" ．

點撥：顯然，例1中的每一個問題都涉及到了絕對值，由于絕對值里的式子不知是正還是負，因此需要進行分類討論.

（1）由|x+1|＝2，可得x+1=2，或x+1=-2，解得x=1，或x=-3.

（2）中因為已經明確表示數a的點位于-3與5之間，故可以判斷a+3和a-5的正負，則不需要進行分類討論，可直接根據正負情況去掉絕對值進行解答.

（3）中沒有明確數a的具體大小，無法直接判斷a-1，a+5，a-4的正負，這就需要利用三個零點從四個方面進行分類討論，再根據具體的取值分析最小值即可.

從例1的分析可知，在遇到數軸上點的位置不明確時，就需要考慮使用分類討論思想進行解答，從而將絕對值符號去掉并輕松解題［1］.

2 分類討論思想在二次根式中的運用

在涉及有關二次根式的計算與化簡問題時，常常會遇到形如a2的式子，如何對這類式子進行化簡，則需要進行分類討論.

例2 若代數式（2-a）2+（a-4）2=2，求a的值．

點撥：若對代數式進行化簡，則要去掉根號，根據a2=a，將問題轉化為含有絕對值的問題來處理，結合例1的分析可考慮利用分類討論思想解題.

（2-a）2+（a-4）2＝|2-a|+|a-4|，再分別從a＜2，2≤a＜4，a≥4三個方面進行分類討論，進而化簡求值.

在解決與二次根式有關的求數的平方根或者化簡二次根式等問題都要注意分類討論思想的運用.

3 分類討論思想在方程中的運用

在一些與方程有關的問題中，若方程含有字母參數，根據題干我們無法直接判斷參數的情況，從而無法判斷方程的類型，對下一步的問題解答造成麻煩，這個時候就需要進行分類討論［2］.

例3 已知關于x的方程（m+1）x2-（m-2）x+m4＝0．

（1）若方程有實數根，求m的取值范圍；

（2）已知x1，x2為方程的兩個實數根，且x21-x22＝0，求m的值．

點撥：第（1）問只是說明這是關于x的方程，從方程式可以看出未知數的最高次數是2次，但由于二次項系數m+1有可能為0，因此可以從m+1≠0和m+1=0兩方面判斷該方程是一元二次方程或者一元一次方程.根據方程特點，可整理分析得到Δ≥0或m+1＝0兩種情況，再解不等式或方程求出m的取值范圍即可．

此類題型主要問題是概念指代不清，存在類似問題的還有函數是一次函數還是二次函數，都需要考慮分類討論.

4 分類討論思想在不等式中的運用

在解決不等式的有關問題時，也常常遇到由abgt;0或ablt;0來判斷a，b符號的問題，根據同號為正、異號為負的法則，需要我們針對具體情況進行分類討論，

如當ab＞0時，有agt;0，bgt;0，或alt;0，blt;0.兩種情況.

例4 解一元二次不等式：x2-4＞0.

點撥：將x2-4分解因式，得x2-4＝（x+2）·（x-2），則原不等式轉化（x+2）（x-2）＞0即可.根據有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，進行分類討論，

則有x+2gt;0，x-2gt;0，或x+2lt;0，x-2lt;0，進而解得一元二次不等式x2-4＞0的解集為x＞2或x＜-2．

在計算過程中出現同號為正、異號為負的情況時，都需要從兩個方面進行計算，此時要關注分類討論思想的體現，以防漏解或缺解.

5 分類討論思想在幾何圖形中的應用

幾何圖形中常見的分類討論往往集中在等腰三角形的判定、相似三角形的判定、與圓相關的圖形位置判斷等方面.涉及幾何圖形的分類討論問題往往融合在函數中，故處理相關問題時也要注意分類討論［3］.

例5 已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝12∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度數．

點撥：根據題干敘述，無法直接判斷OC，OD的位置，從而無法進行計算，因此本題需要根據題干情況進行分類討論. 根據題意分析，可以得到符合要求的有三種情況，針對存在的三種情況，畫出相應的圖形，然后進行計算，即可得到∠BOC的度數［4］．

例6 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，AD＝21，DC＝12，動點P從點D出發，沿線段DA方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB以每秒1個單位長度的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動，設運動時間為t s．

（1）設△BPQ的面積為S，求S和t之間的函數關系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

點撥：顯然，第（2）問中以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，需要分三種情況討論：①PQ＝BQ；②BP＝BQ；③PB＝PQ．根據勾股定理最終求得t＝72或t＝163時，以B，P，Q三點為頂點三角形是等腰三角形．

例7 如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，Q為BC的中點，動點P在線段AD邊上以每秒2個單位長度的速度由點A向點D運動，設動點P的運動時間為t s．在AD邊上是否存在一點R，使得以B，Q，R，P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

點撥：題目中要求探究的點R在什么位置，我們一下子搞不清，故考慮分類討論，可分為兩種情況.一是點P在點R的左側，四邊形BQRP是菱形，此時BP=BQ=10，根據勾股定理求得AP＝6，則DP=12，再列方程求出此時的t值即可；二是點R在點P的左側，四邊形BQPR是菱形，此時BR=BQ=10，AP＝6+10＝16，再列方程求出t值.

結合上述五個方面的研究發現，在解答數學問題的過程中遇到一些點或線位置不明確、圖形不固定的情況時，要考慮分類討論，讓問題解答更加全面.

總之，在初中數學問題研究中，充分運用分類討論思想更能深刻挖掘學生的生活體驗，引導他們從多個角度感知、分析問題情境，更多地激勵學生開動腦筋，運用新思想新方法，拓展思維，從而培養學生多角度全方位的解題習慣，全面提升數學核心素養.

參考文獻：

［1］顧宣峰.分類討論思想在高中數學解題中的應用［J］.高中數理化，2021（S1）：20.

［2］任建平.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究［J］.數理天地（初中版），2023（13）：37-38.

［3］王珍.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用［J］.中學數學，2023（12）：73-74.

［4］孫高傳.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用［J］.第二課堂（D），2022（2）：38-39.