把握正確“順序” 學好“成比例線段”

摘要：隨著“成比例線段”教學的開展，學生對相似及相似三角形的學習拉開了帷幕.與之前所學的幾何知識相比，“成比例線段”的學習非常注重線段的“順序”，這對邏輯思維能力尚未發展成熟的初中生來說比較困難.因此，很多學生在學習“成比例線段”之初，經常因忽略線段的“順序”而出錯.本文中從一道易錯題出發，嘗試說明順序在學好“成比例線段”中的重要性，以此給一線教師提供更多幫助學生建立“順序”意識的方法.

關鍵詞：順序；成比例線段；重要性；思維定勢；分類討論

在學習“成比例線段”時，如果忽略了“順序”意識，那么極有可能出錯［1］.特別是初中生的邏輯思維能力尚未發育成熟，分析問題比較片面等情況時有出現，這給他們學好成比例線段這一內容帶來了一定阻礙［2］.本文中嘗試通過一道易錯題說明“順序”在學習成比例線段中的重要性，結合相關例題進一步探究幫助學生建立“順序”意識的方法，以期和更多一線教師在這方面進行更多的交流與探討.

1 易錯題呈現及分析

例題 如圖1，四邊形ABCD是一個長為6 cm、寬為4 cm的矩形，試求它的邊之比.

錯解1：

∵四邊形ABCD是矩形，且它的長是6 cm，寬是4 cm，

∴AD=BC=6 cm，AB=DC=4 cm.

∴矩形的邊之比是AD∶AB=6∶4=3∶2.

錯解2：

∵四邊形ABCD是矩形，且它的長是6 cm，寬是4 cm，

∴AD=BC=6 cm，AB=DC=4 cm.

∴矩形的邊之比是AB∶BC=4∶6=2∶3.

從本題的兩種錯解不難看出，都出現了片面分析的錯誤，即漏解.雖然本題中的條件不多，但分析問題時未對“它的邊之比”進行更充分的思考，而是受思維定勢的影響，錯誤的認為邊之比一定是長邊與短邊之比或短邊與長邊之比.

很顯然，這里的“它的邊之比”包含兩個方面的含義，在分析問題時應從長邊與短邊之比和短邊與長邊之比兩個方面出發.本題的正確解法如下：

解：∵四邊形ABCD是矩形，且它的長是6 cm，寬是4 cm，

∴AD=BC=6 cm，AB=DC=4 cm.

矩形的邊之比有以下兩種情況：

（1）AD∶AB=6∶4=3∶2；

（2）AB∶BC=4∶6=2∶3.

綜上所述，矩形ABCD的邊之比是3∶2或2∶3.

2 學好“成比例線段”的注意事項

根據成比例線段的概念，四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即ab=cd，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段;可知成比例線段是有順序的，即a，b，c，d是成比例線段，則a∶b=c∶d，而不能書寫成a∶b=d∶c［3］.事實上，想學好成比例線段，還有許多注意事項，現簡要總結如下.

（1）要統一單位

如果題中所給的四條線段單位不一致，那么應該先將這四條線段的單位統一，而不能簡單地將數值之比作為四條線段的比［4］.如例1中的錯解：

例1 判斷下面的線段是否成比例.若成，請寫出比例式；若不成，請說明理由.

a=20 mm，b=8 m，c=28 m，d=7 cm.

錯解：因為a∶b=20∶8=5∶2，

c∶d=28∶7=4∶1，所以

a∶b≠c∶d.

故線段a，b，c，d不成比例.

很明顯，本題沒有統一單位.根據要求，應該先將各條線段的長度統一單位，再進行排序，最后通過計算再依據a∶b是否與c∶d相等作出判斷.所以，本題的正確解法應如下：

解：因為a=20 mm=0.02 m，

d=7 cm=0.07 m，所以a，b，c，d線段按從小到大的順序排列為0.02，0.07，8，28.

又因為0.02∶0.07=2∶7，

8∶28=2∶7，

所以線段a，b，c，d成比例，其比例式是0.02∶0.07=8∶28.

（2）要大小排序

要先將線段長度按從大到小或從小到大排序，是判斷線段是否為成比例線段的關鍵一步.如果在計算時未注意“順序”，那么極有可能出錯.如下面例2中的錯解：

例2 判斷下面的線段是否成比例.若成，請寫出比例式；若不成，請說明理由.

a=7 cm，b=4 cm，c=d=27 cm.

錯解：因為a∶b=7∶4，

c∶d=27∶27=1∶1，

所以a∶b≠c∶d.

故線段a，b，c，d不成比例.

雖然a，b，c，d四條線段的單位相同，但由于未將四條線段的長度按一定順序排序，導致最后的結果為不成比例.由于成比例線段具有一定的“順序”，所以應先將其按照從小到大或從大到小的順序排序.故本題的正確解法應如下：

解：因為a，b，c，d線段按從小到大的順序排列為4，27，27，7，且

4∶27=2∶7=27∶7，所以

4∶27=27∶7.

故線段a，b，c，d成比例，其比例式是4：27=27∶7.

（3）要經過計算判斷

計算判斷是解決成比例線段問題的重要步驟，它包含了計算和判斷兩個步驟.如上面例1、例2的正確解法中，在經過統一單位、排序之后，再按照順序計算出兩組線段的比例，進而作出判斷.如果這兩組線段的比例相同，那么可判斷這四條線段成比例；如果它們的比例不相同，那么就判斷這四條線段不成比例.

需注意的是，在計算線段a，b，c，d的比例時，需先計算線段a，b的比例，然后計算線段c，d的比例，而不是隨意計算兩條線段的比例，這其中是有一定“順序”的.那么，如何抓住這一“順序”呢？可在將四條線段長度的單位統一后，將四條線段按照從小到大或從大到小的順序排列.確保了這兩個步驟到位，也就確保了計算時的“順序”.

例3 小明現有三根木棒，其長度分別為6 cm，18 cm，9 cm，如果還需挑選一根木棒，使這四根木棒長度成比例，那么小明應選擇木棒的長度是（" ）.

A.2 cm

B.4 cm

C.10 cm

D.27 cm

解析：首先，統一單位.本題中單位已經統一.其次，排序.有三根木棒長度已知，所以可先將其按從小到大的順序排列：6 cm，9 cm，18 cm.由于所選第四根木棒需與這三根木棒的長度成比例，因此設第四根木棒的長度為x cm，那么有如下幾種情況：

情況一：x cm，6 cm，9 cm，18 cm.計算可知，x=3.

情況二：6 cm，x cm，9 cm，18 cm.計算可知，x=12，此時應排在9 cm之后，說明這種情況不存在.

情況三：6 cm，9 cm，x cm，18 cm.由情況二可知，x=12.

情況四：6 cm，9 cm，18 cm，x cm.計算可知，x=27.

綜上所述，x的值可為3，12，27.故選擇答案D.

3 總結

筆者認為教師在教學中應從以下幾個方面落實“順序”，以確保學生能計算出正確的結果.

首先，充分審題，從關鍵字、詞中尋找分類討論的“線索”.如例題中的“邊之比”，其實并未告知是長邊與短邊之比還是短邊與長邊之比，而學生依靠思維定勢下的結論只是主觀意識，認為只是其中一種.這時候，教師應指導學生尋找出題中“多可能的字詞”，激發學生從多個角度思考“是否有其他情況”等問題，確保無漏解.

其次，統一單位并排序后再計算線段之比.根據成比例線段的相關知識點，應先將線段長度的單位統一，然后進行排序，最后再進行計算和判斷.因此，教師應強調學生不要直接進行計算，而應在完成上述兩個步驟之后再進行計算和判斷.這里筆者是這樣做的：在解題過程中，將統一單位、排序、計算、判斷幾個步驟以小標題的形式寫在解題過程的最前面，用以提醒學生注意解題過程.經過一段時間的訓練后，學生對這類問題的解題步驟非常熟練，出錯的次數明顯減少.

綜上所述，抓住了“順序”，也就掌握了解決成比例線段問題的方法.因此，在平時的教學中，教師應重視培養學生的發散思維，抓住題中的關鍵字詞，打破思維定勢，找到分類討論的標準.這樣一來，學生才不會在這類問題中出現漏解.

參考文獻：

［1］葉蘭香.問題引領課堂教學，促進學生自主學習——以“成比例線段”的課堂教學為例［J］.中小學數學（初中版）， 2017（Z2）：13-14.

［2］李鵬飛.構建動態課堂 引發智慧與思維的碰撞——基于“成比例線段”教學課例的思考［J］.考試周刊， 2019（57）：13.

［3］王麗. 巧借合理探究活動 提高數學理解能力——以“平行線分線段成比例”的教學為例［J］.數學教學通訊， 2022（20）：36-37，73.

［4］謝裕宏. 重視教材“探究活動”，專業自主增設課時——李庾南老師“平行線分線段成比例”課例賞析［J］.中學數學， 2015（8）：32-33.