提高初中數(shù)學學習效率的途徑

摘要：講究學習方法，提高學習效率是學生在初中階段學好數(shù)學的關(guān)鍵要素.在學習時，有意識尋找數(shù)學的美，便會激起學生的情感體驗和學習數(shù)學的興趣；對一些具有典型性、規(guī)律性和普遍性的錯誤題例進行深入剖析，有利于提高學生分析問題和解決問題的能力；從巧思妙解中得到啟發(fā)，可以發(fā)展創(chuàng)新意識，不斷形成學生個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)；合理使用評價表，讓學生以榜樣同學為參照，精準把握自己的不足，使學習更有指向性.

關(guān)鍵字：學習動機；收集錯例；巧思妙解；自我評價

近幾年隨著學生關(guān)鍵能力培養(yǎng)方式的不斷推進，學習與考試評價中突出了數(shù)學核心素養(yǎng)的地位與意義.受傳統(tǒng)課堂教學模式的影響，很多學生把握不好數(shù)學知識的融會貫通，主觀上都能認真按教師的要求去做，但由于方法不當，學習效率低下，因而數(shù)學成績一直未能提高.時間久了，付出的努力很多，但隨著學業(yè)質(zhì)量檢測效果不佳次數(shù)的增加，最終也失去了學習信心.

在初中學段，講究學習方法、提高學習效率是每位學生學好數(shù)學的關(guān)鍵要素之一.下面談一談筆者在多年教學中的一些看法和見解.

1 激發(fā)學習動機，培養(yǎng)學習興趣

任何有意義的活動都是有動機的，而動機是由需要引起的，動機是連續(xù)需要和有意義的活動的媒介，需要包括社會的和精神的.就學習而論，可以是為報效祖國學好本領(lǐng)而學習，為將來考入大學而學習，為得到家長、親戚、朋友、老師的好評而學習，為獲得同學的好評而學習，等等.

引起動機的主要因素有內(nèi)部動力因素、目標引力因素、外部壓力因素，這三種因素互相聯(lián)系，不可分割，它們對產(chǎn)生高尚、正確、積極的動機都起著促進作用.

由于數(shù)學的抽象性容易給人以枯燥乏味的感覺，而且數(shù)學課程前后知識間的鏈接關(guān)系較為明顯，因此激發(fā)學習動機、培養(yǎng)學習興趣尤為重要.

例如，當學生解一道對他來說比較困難的數(shù)學題時，經(jīng)過長時間的思考后，他終于獨立地解出來了.這時，他體驗到一種成功感，這種情感是從體驗困難到體驗成功的突變中獲得的.教師要善于引導學生通過自己的努力，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，并能一步步地強化和提高這種能力，使之形成引導學生成長的內(nèi)在需求，直至上升到興趣層面、情感層面，使之在學生的數(shù)學發(fā)展中起到巨大的作用.

同樣，在學習數(shù)學時，當學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美時，便會激起其情感體驗，從而激發(fā)其學習數(shù)學的興趣，推動其繼續(xù)向前探索！

例1 如圖1，以直角三角形的三條直角邊為直徑，在同一側(cè)向外作半圓，證明：所得到兩個月形面積之和等于直角三角形的面積.

證明：設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，兩個月形面積分別為S1，S2，直角三角形的面積為S.則

S1+S2

=12πa22+12πb22-12πc22-S

=18π（a2+b2-c2）+S.

因為a2+b2=c2，所以a2+b2-c2=0.

故S1+S2=S.

這個命題是希臘著名幾何學家希波克拉圖提出來的.題目中圖形曲直映襯，簡潔而委婉，呈現(xiàn)出數(shù)學獨特的美麗，但學生看到這么復雜的數(shù)量關(guān)系，會產(chǎn)生畏難情緒.因此，教師要引導學生在觀察、感知、理解圖形與數(shù)量關(guān)系的過程中，找出“美麗”背后的“本質(zhì)”，一步步剝繭抽絲，最終豁然開朗，得到簡單易懂的證明過程，讓學生既受到鼓舞，也能印象深刻.

例2 如圖2，A，B兩村要在公路l旁建一個糧倉.問要建在什么地方才能使糧倉到兩村的路程和最短？

解：如圖3，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C，則只要在C處建糧倉就可以滿足要求.

理由很簡單，只要在l上任選一點C′，則有AC+BC=A′C+BC=A′B≤A′C′+C′B.

這種解法簡單，且具有實際意義，可以讓學生體會生活中無處不在的數(shù)學問題，把數(shù)學知識運用到生活實際中去.同時，例2也是解決幾何圖形中求距離和最小值問題的一種經(jīng)典模型，通過此例引導學生建立數(shù)學模型，以便于求解此類問題.

當學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學對了解神秘世界是一種重要的方法時，就會極大地增強他們的興趣.數(shù)學廣泛的應用性，激發(fā)了學生對自然界的探秘心理，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.我們都有過這樣的心理歷程：越是不讓我們知道的東西，我們越感到好奇，就越想知道，我們對自然界的認識也是如此.同時，培養(yǎng)學習興趣的途徑還很多，如閱讀數(shù)學家軼事、數(shù)學史書籍等.

2 收集經(jīng)典錯例，提升解決問題能力

科學家的任何成功大多是建立在前人失敗的基礎(chǔ)上.科學家不僅要了解前人在自己所研究的領(lǐng)域里做了什么，更要了解他們在探索研究中有哪些方面是失敗的.如愛因斯坦創(chuàng)立相對論之前，就對前人的研究做了大量的歸納總結(jié)，其中有相當一部分是失敗的經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上進行探索研究才創(chuàng)立了相對論.再如，羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何時，對前人近兩千年有關(guān)幾何“第五公社”問題的研究做了大量總結(jié)思考，從前人研究的大量失敗經(jīng)驗中得到啟示：“第五公社”不可證！“第五公社”是歐幾里德幾何的標志，他大膽地進行了探索，終于成功地提出了羅巴切夫斯基幾何.

這都說明，了解總結(jié)自己和他人的經(jīng)驗、錯誤，對于生活也好，科學也好，都是非常重要的.學習數(shù)學更是如此，有些學生在解題時，由于概念模糊，或思考不周，或主觀臆斷，或偷換論題，造成解題和證題的種種失誤.如果我們在學習中能夠根據(jù)自己的實際，及時收集類似的經(jīng)典案例，并對這種具體典型的錯誤題例深入地剖析，找出錯誤，并通過進一步分析歸納比較，得出正確的解題思路和解題方法，那么今后類似的錯誤肯定能大大減少.當然，這對于提高學生精準有效的分析問題和解決問題的能力也具有很大的作用.

例3 計算：x-3x2-1-2x+1.

錯解：原式=x-3（x+1）（x-1）-2（x-1）（x+1）（x-1）

=x-3-2（x-1）①

=x-3-2x+2

=-x-1.

上述計算過程，從①式開始出現(xiàn)錯誤.錯誤的原因是分式計算沒有遵循分式的基本性質(zhì)，沒有與等式性質(zhì)區(qū)分開來，而是直接去掉分母.認識錯誤的本質(zhì)對學生更好地掌握等式和分式的有關(guān)性質(zhì)很有意義.

正解：原式=x-3（x+1）（x-1）-2（x-1）（x+1）（x-1）

=x-3-2（x-1）（x+1）（x-1）

=-x-1（x+1）（x-1）

=-1x-1.

例4 等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點D，若AD=12BC，則△ABC頂角的度數(shù)為"" .

本題答案為90°或30°或150°，學生的回答幾乎都不完整，忽略了BC邊也可能為腰的情況或等腰三角形為鈍角的情況.

圖解如圖4～6所示：

例4是有關(guān)分類討論、一題多解類習題常見的錯誤題例，出錯的原因就在于解這類幾何問題時概念模糊，思維定式，思考不周.因此，我們平時發(fā)現(xiàn)錯誤后，應及時進行總結(jié)、分析與探討，確保思維嚴密性得以提高.

3 啟發(fā)巧思妙解，發(fā)展創(chuàng)新能力

數(shù)學發(fā)展史是人類創(chuàng)造史的縮影.數(shù)學知識、技巧、方法的發(fā)現(xiàn)是人類智慧的結(jié)晶.中學數(shù)學中，到處都閃爍著聰明智慧的火花，其中最引人注目、發(fā)人深思的，就是一些巧思的妙解.通過收集巧思妙解可以從中得到啟發(fā)，啟發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展其創(chuàng)新意識.而培養(yǎng)創(chuàng)新能力是時代發(fā)展的需要，那么，從何處收集巧思妙想呢？

首先是挖掘教材，從中發(fā)現(xiàn)巧思妙想.數(shù)學教材的知識體系突出了邏輯發(fā)展的主干關(guān)系，其中蘊含著抽象概括、分析綜合、歸納演繹等數(shù)學基本思想方法，學習時，我們應該認真地去挖掘，然后記錄下來.其次是記錄教師巧妙的思維方法.教師上課時是以教材為基礎(chǔ)，但卻沒有照本宣科，而是根據(jù)具體情況把問題轉(zhuǎn)化成學生容易理解與接受，并能夠記憶的活的知識，其中就不乏巧思妙想.

例5 若直線y=-2x-1與直線y=3x+m相交于第三象限，請確定實數(shù)m的取值范圍.

解法一：由y=-2x-1，

y=3x+m，

解得x=-m+15，

y=2m-35.

由于交點在第三象限，

因此x＜0，y＜0，即得

-m+15lt;0，

2m-35lt;0，解得-1＜m＜32.

因此m的取值范圍為-1＜m＜32.

解法二：易得直線y=-2x-1與x軸，y軸的交點坐標分別為（-12，0）和（0，-1），而直線y=3x+m與y軸的交點縱坐標為m，且無論m為何值，所有直線都平行.如圖7，先畫出直線y=3x，上下平移圖象，當直線分別過點-12，0和點（0，-1）時恰為臨界直線.

將點-12，0，（0，-1）分別代入y=3x+m，得m=32，m=-1.由圖7易知，要使它們交點在第三象限，則m的取值范圍為-1＜m＜32.

顯然解法二中的計算偏簡單，不易錯，這種解法的關(guān)鍵是能看懂函數(shù)圖象，了解一次函數(shù)的圖象特征.解法二充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，解題方法簡明扼要，更能提升學生思維.

例6 已知方程組2x+y=1-m，x+2y=2的解x，y滿足x+y＞0，求m的取值范圍.

解法一：由原方程組，得x=-23m，y=1+13m.

因為x+y＞0，

所以-23m+1+13mgt;0，解得m＜3.

解法二：原方程組的兩個方程相加，得

3（x+y）=3-m.

由x+y＞0，得3-m＞0，

解得m＜3.

例6的解法二充分運用了原方程組的結(jié)構(gòu)特征，體現(xiàn)了整體意識，在轉(zhuǎn)化的過程中，得到與問題相關(guān)的變式，結(jié)果豁然開朗，解答過程非常簡潔.

4 學會自我評價，提高學習效率

中學階段的任何科目的學習，教師都會根據(jù)學科課程標準要求，對學生的學習給于評定，這種評定常常以終結(jié)性測試為主，過程為輔.教師有要求的內(nèi)容就作為測試內(nèi)容的主要依據(jù)，這樣難免會產(chǎn)生片面的考查結(jié)果，也因此缺乏客觀的評價.

那么，學生怎樣對自己的學習作出恰當?shù)脑u定呢？

首先，選取自己學習的榜樣.以榜樣同學為參照，了解他們平時上課、作業(yè)、測試、自學等方面的情況，再對照自己的實際，對自己的學習作出大致的評定，并作出改進.教師在教學中，應多與學生進行單獨溝通，引導學生尋找適合自己的榜樣.

其次，通過與教師共同探討，給自己的學習進行評價.教師對學生學習上的變化是最為敏感的，了解也是相對比較全面的.多與教師進行溝通，容易更精準地把握自己的不足，從而在學習中更有指向性.

第三，利用一些評價表進行評定.利用北京市教科院基礎(chǔ)教育科學研究所梁威老師發(fā)明的數(shù)學分層測試卡，可以測出自己每節(jié)課的學習情況.每張卡中有三類題：第一類題——概括當天所學知識要點，即應該全部掌握的基礎(chǔ)知識;第二類題——體現(xiàn)當天所學知識應達到的基本技能的要求；第三類題——結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容的能力要求而編寫的有一定難度的題，每天只需做10～15分鐘，就可檢測出學生當天數(shù)學學習的情況.

如果第一、第二類題的解答出現(xiàn)了問題，應當及時彌補知識的疏漏；如果第三類題的解答出現(xiàn)了問題，應當多思考，多開闊思維，在解題能力上多做努力.

以上是筆者在教學實踐中總結(jié)得到的一些提高數(shù)學學習效率的途徑與方法.在工作中，教師要結(jié)合不同學生的實際情況進行指導.教師的工作對象是學生，每一個學生都有不同的情感世界、不同的家庭背景、不同的人生閱歷……正因為學生是豐富多彩的，教師的世界才是五彩繽紛的.教師要拓展自身的視野，充實專業(yè)知識，提高溝通技巧，體察學生的世界，尋求更科學的途徑，才能提高學生數(shù)學學習的效率，為學生的成長助力.