活用轉(zhuǎn)化思想 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)解題的過程也可以看成一個轉(zhuǎn)化的過程，如把復(fù)雜的問題簡單化，把抽象的問題具體化，把陌生的問題熟悉化，把實際的問題數(shù)學(xué)化，等等.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)，對提高學(xué)生解題能力、提升學(xué)生思維品質(zhì)、落實學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有著非常重要的作用.筆者結(jié)合具體案例，淺談了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以期拋磚引玉，喚起同行對培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的重視.

1 多元變少元

在面對多元的代數(shù)問題時，學(xué)生常常因復(fù)雜繁難而望而生畏.解決此類問題最常規(guī)的方法就是運用代入消元法和加減消元法，通過消元將多元問題轉(zhuǎn)化為少元乃至一元問題.當(dāng)然，除了代入消元法和加減消元法外，還可以根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，探尋元與元之間特殊的關(guān)系，采用特殊手段進行消元.不過，無論應(yīng)用何種方法，其最終目的都是為了消元，以此化繁為簡，靈活解決問題.

例1 若實數(shù)a，b滿足a+b2=1，則2a2+4b2的最小值"" .

分析：本題是一個二元問題，根據(jù)已知無法求出字母a和b的具體值.根據(jù)已知a+b2=1，易得b2=1-a，將其代入2a2+4b2，化簡可得2a2+4b2=2（a-1）2+2.又a=1-b2≤1，故當(dāng)a=1時，2a2+4b2取最小值，且最小值為2.由此可見，通過代入法將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，問題的解決變得容易多了.

例2 已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，則（m-1）2+（n-1）2的最小值是"" .

分析：本題是一個含有參數(shù)a的多元問題，乍看上去很難將結(jié)論與已知建立聯(lián)系，但是仔細(xì)觀察已知條件不難發(fā)現(xiàn)m2-2am+2=0與n2-2an+2=0的式子結(jié)構(gòu)是完全相同的，易于聯(lián)想m，n為一元二次方程x2-2ax+2=0的兩個實數(shù)根，于是可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母a的代數(shù)式問題，問題迎刃而解.

在解題時既要知曉常規(guī)的方法，也要去探尋特殊的手段，這樣運用常規(guī)方法難以解題時不妨從特殊入手，運用特殊的手段來轉(zhuǎn)化，從而將復(fù)雜的、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題.

2 高次變低次

在解方程問題時經(jīng)常會遇到一些高次方程，此類方程若不能直接求解就需要根據(jù)題目的特點將其轉(zhuǎn)化為低次方程處理，進而將問題簡單化.

例3 已知關(guān)于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，它的其中兩個根為大于2的兩個連續(xù)整數(shù)，則a="" .

分析：本題是一個關(guān)于x的三次方程問題，根據(jù)已有經(jīng)驗可以嘗試將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解決.觀察方程的特點容易發(fā)現(xiàn)，方程各項系數(shù)之和等于0，故1是原方程的根.于是方程的左邊應(yīng)該含有因子x-1，提出x-1后，原方程轉(zhuǎn)化為（x-1）·［x2+（a+18）x+56］=0.根據(jù)已知可得，方程x2+（a+18）x+56的其中兩個根為大于2的兩個連續(xù)整數(shù)，則設(shè)方程的兩根分別為x（x＞2）和x+1，于是有x+x+1=-（a+18），x（x+1）=56，解得a=-33，x=7.

例4 已知關(guān)于x的方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0有實數(shù)根，且實數(shù)根之積為-2，則實數(shù)根的平方和為"" .

分析：根據(jù)已知可將原方程轉(zhuǎn)化為（x2+x+2）（x2+x+k）=0，又x2+x+2=0無實數(shù)根，所以x2+x+k=0有實數(shù)根，這樣就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于x的一元二次方程問題，問題輕松獲解.

在解題時，不要急于求成，應(yīng)善于根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征將高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題，以此優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

3 次元變主元

因受思維定式的影響，當(dāng)方程中有兩個字母a或x時，大多學(xué)生會習(xí)慣性地將x視為主元，將其看成關(guān)于x的方程.其實在解題時，有時候若能換個角度思考，反“客”為“主”，往往會獲得柳暗花明的效果.

例5 已知關(guān)于x的方程x3+（1-a）x2-2ax+a2=0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為"" .

分析：該題是一個關(guān)于x的三次方程問題，從常規(guī)思路出發(fā)，最先想到的就是將高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題來解決.但是根據(jù)題目的條件，很難實現(xiàn)這一操作，所以在解題時需要另辟蹊徑.因此，不妨將a看成主元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母a的二次方程來解.于是原方程轉(zhuǎn)化為a2-（x2+2x）a+x3+x2=0，分解因式得（a-x）（a-x-x2）=0，所以x=a或x2+x-a=0.又原方程僅有一個實數(shù)根，故x2+x-a=0無實數(shù)根，即Δ=1+4alt;0，所以alt;-14.

其實，在解題時會遇到很多類似例5的問題，所以要敢于打破思維定式的束縛，學(xué)會從不同角度進行分析，以此化“一籌莫展”為“豁然開朗”.

4 方程變函數(shù)

數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，在解題時要學(xué)會抓住它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而通過轉(zhuǎn)化找到解決問題的突破口.例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）有著特殊的內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)y=0時，二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為了一元二次方程，這樣就可以運用方程的思路解決函數(shù)問題.同樣，也可以將一元二次方程看成是函數(shù)值為0時二次函數(shù)的特殊形式，利用函數(shù)的思想方法解決方程問題.這樣借助具體情境進行相互轉(zhuǎn)化，可以拓寬解題思路，給學(xué)生耳目一新的感覺.

例6 求證：方程（x-a）（x-a-b）=1（a，b均為實數(shù)）有兩個實根，其中一個實根大于a，一個實根小于a.

分析：本題若直接從方程的角度去思考，則需要對原方程進行變形，運用換元等思路解決問題，過程比較繁瑣.若從函數(shù)的角度分析，將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=（x-a）（x-a-b）-1，則問題就轉(zhuǎn)化為該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，且兩點位于點（a，0）的兩側(cè).于是設(shè)二次函數(shù)y=（x-a）（x-a-b）-1，變形得y=x2-（2a+b）x+a2+ab-1，二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1，故該拋物線開口向上.又當(dāng)x=a時，y=（a-a）（a-a-b）-1=-1lt;0，故此拋物線與x軸有兩個交點，且位于點（a，0）的兩側(cè).

這樣將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助函數(shù)的性質(zhì)有效地避免了繁瑣的運算，提升了解題效率.

5 正面變反面

凡事都有正、反兩個方面，數(shù)學(xué)問題亦是如此.當(dāng)有些問題從正面思考不易于求解時，不妨從反面出發(fā)，運用逆向思維去解決問題，往往會豁然開朗.

例7 若三個二次函數(shù)y1=x2+2mx+m2-m，y2=x2+（2m+1）x+m2，y3=2x2-4mx+2m2+m+5中，至少有一個函數(shù)的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍.

分析：本題若從正面入手需要分多種情況討論，解決起來會非常繁瑣.根據(jù)“正難則反”的原則，不妨從反面入手，則就僅有一種可能，即三個函數(shù)與x軸均無交點，這樣可以有效地降低思維的難度，提高解題效率.

在解題時，我們習(xí)慣于從已知條件出發(fā)，運用順向思維將已知與結(jié)論建立聯(lián)系，但是有時從正面出發(fā)可能會遇到各種阻礙，為此在解題時要學(xué)會運用逆向思維去思考問題，即從結(jié)果出發(fā)，通過逆向推理探尋解決問題的突破口.這樣通過順逆的合理轉(zhuǎn)化，不僅可以提高解題效率，還可以培養(yǎng)思維的靈活性，有利于學(xué)生解決問題能力的提升.

6 一般與特殊

特殊具有直觀、易于操作的特點，在解題時，有時候從問題的特性去思考可以達到化繁為簡、化難為易的目的.不過特殊法有時候不具備說服力，難以體現(xiàn)問題的共性特征，為此在解題時，要處理好一般與特殊的關(guān)系，通過恰到好處的轉(zhuǎn)化來提高解題效率.

例8 計算：2 0192+42 0212+2 0172.

分析：本題若直接計算顯然計算量比較大.深入思考不難發(fā)現(xiàn)，其實2 019，2 017，2 021這三個數(shù)之間存在著一種特殊的關(guān)系，為此在解本題時不妨從特殊關(guān)系入手，嘗試借助特殊為解題搭建一個一般化的橋梁，從而運用一般方法解決問題.2 019比2 017多2，而比2 021少2，不妨設(shè)2 019=x，則2 017=x-2，2 021=x+2.所以，原式=x2+4（x+2）2+（x-2）2=x2+42（x2+4）=12.

例9 已知二次方程x2+2px+2q=0有兩個實數(shù)根（p，q為奇數(shù)），則方程的根一定是（" ）.

A.奇數(shù)" B.偶數(shù)" C.分?jǐn)?shù)" D.無理數(shù)

分析：本題若直接根據(jù)已知條件求解會非常困難，其實本題中無論p，q取何奇數(shù)，其結(jié)論都是唯一的，為此在解題時不妨利用特值法，令p=3，q=1，代入方程解得x1=-3+7，x2=-3-7，因此原方程的兩根為無理數(shù)，故答案為選項D.

特值法是解決一些客觀題的常用方法，將一般問題特殊化可以化繁為簡，有效地提高解題效率.

總之，數(shù)學(xué)題目是復(fù)雜多變的，解題方法也是豐富多彩的，在解題時要善于從不同角度分析，合理應(yīng)用轉(zhuǎn)化，以此優(yōu)化解題過程，提高解題效率.