巧借有效問題，落實(shí)提質(zhì)增效

摘要：“雙減”背景下，提質(zhì)增效顯得尤為重要.教學(xué)中，教師應(yīng)以問題為主線，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，讓學(xué)生通過經(jīng)歷“獨(dú)立思考—自主探究—合作交流”等過程獲得主動獲取知識的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而達(dá)到提質(zhì)增效的目的.

關(guān)鍵詞：提質(zhì)增效；問題；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在進(jìn)行“勾股定理”的教學(xué)時，結(jié)合學(xué)生的興趣點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，以此提高探究能力，提升課堂教學(xué)效益.

1 教學(xué)過程

1.1 梳理回顧

問題1 勾股定理的研究對象是什么？教材中是如何研究的？你又想如何研究呢？

師生活動：教師先讓學(xué)生“說一說”，然后用多媒體展示經(jīng)典證法，如趙爽弦圖、青朱出入圖等，讓學(xué)生直觀感知勾股定理的驗(yàn)證過程.接下來，教師讓學(xué)生對以上驗(yàn)證過程進(jìn)行總結(jié)歸納，并提出自己的想法.學(xué)生通過深度思考，認(rèn)為借助圖1位置擺放四個全等的直角三角形，或利用圖2中的面積變換都可以驗(yàn)證勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中教師沒有直接呈現(xiàn)結(jié)論，而是通過呈現(xiàn)勾股定理的發(fā)展史，讓學(xué)生順著數(shù)學(xué)家的思維去理解、體驗(yàn)，了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，進(jìn)而讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是一種傳承，更是一種發(fā)展，以此激發(fā)學(xué)生的探究熱情.通過對經(jīng)典證法的分析，學(xué)生知道利用圖形的平移、旋轉(zhuǎn)變換可以驗(yàn)證勾股定理.而初中生已經(jīng)掌握了一些圖形變換的方法，在課堂上會出現(xiàn)“試一試”的念頭，因此教師應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的內(nèi)在發(fā)展需求，提供機(jī)會讓學(xué)生去嘗試、去思考，去驗(yàn)證，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)造力.

1.2 探究交流

問題2 如圖3所示的勾股樹中，是以直角三角形三邊為邊向外所作的正方形，從而驗(yàn)證了勾股定理.除此之外，你還能借助其他圖形來驗(yàn)證勾股定理嗎？你能驗(yàn)證結(jié)論S1+S2=S3嗎？

師生活動：問題給出后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生猜想、驗(yàn)證.從學(xué)生反饋來看，學(xué)生大多從等腰直角三角形、等邊三角形等特殊圖形出發(fā)，嘗試從三角形底和高的特殊關(guān)系中尋找解決問題的突破口.

生1：我嘗試向外作等腰直角三角形，以原有直角三角形的邊為腰向外作等腰直角三角形（如圖4）.這些等腰直角三角形就相當(dāng)于圖2中的正方形對折的圖形，所以對應(yīng)的面積也就是正方形面積的一半，由此可證結(jié)論是成立的.

生2：我也是向外作等腰直角三角形，不過我是以原有直角三角形的邊為斜邊向外作等腰直角三角形（如圖5）.此時得到的三角形面積為圖2中相對應(yīng)的正方形面積的14，同樣可以驗(yàn)證S1+S2=S3這一結(jié)論成立.

師：很好！那么，圖5與圖4是否存在一定的聯(lián)系呢？

生3：圖5中向外所作的等腰直角三角形相當(dāng)于是圖4中向外作的等腰直角三角形的對折.

師：看來以上兩種作法具有異曲同工之妙.你們還有其他好辦法嗎？

生4：我是向外作等邊三角形（如圖6），三個等邊三角形的高分別為32a，32b，32c，它們對應(yīng)的面積分別為S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，由此可以驗(yàn)證S1+S2=S3這一結(jié)論成立.

師：非常棒！對比以上幾種方法，說說你的發(fā)現(xiàn)？

生5：其實(shí)圖6也可以看成是向外作等腰三角形，它的高是底邊的32倍，而圖5中向外作的等腰三角形的高是底邊的12倍，也就是說向外作的三個等腰三角形的高是底邊的相同倍數(shù)時，都有S1+S2=S3.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生又聯(lián)想到向外作長方形、平行四邊形，同樣可以驗(yàn)證該結(jié)論是成立的.

師：如果向外作的圖形是半圓形，該結(jié)論成立嗎？若成立，如何驗(yàn)證呢？

生6：直接利用圓的面積公式計(jì)算，S1=18πa2，S2=18πb2，S3=18πc2，所以S1+S2=S3.

師：結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，談?wù)勀愕母惺?

師生活動：教師預(yù)留時間讓學(xué)生回頭看，并鼓勵學(xué)生互動交流.學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)，從三角形到四邊形，其實(shí)都可以轉(zhuǎn)化為研究外拓圖形的高與底邊的關(guān)系，只要外拓圖形的高與底邊有著相同的倍數(shù)，那么該結(jié)論就成立.課堂中，教師放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)、思考、驗(yàn)證、交流，通過問題的解決潛移默化地提升了學(xué)生分析和解決問題的能力，促進(jìn)了新知識的再生長，讓學(xué)生獲得了可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力.

設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的轉(zhuǎn)化，將一個新的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的問題，激發(fā)思維活力，提高解題信心.通過“多法歸一”呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知體系的重構(gòu)與完善.

1.3 拓展提升

問題3 結(jié)合前面的解題經(jīng)驗(yàn)，說一說圖7中的S1，S2，S3之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題4 如圖8，淺灰色陰影面積S1與深灰色陰影面積S2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生活動：以上兩個問題具有一定的綜合性和探究性，教師鼓勵學(xué)生通過合作尋找解決問題的突破口.對于問題3，學(xué)生借助圖2的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，以AB為直徑的大半圓的面積等于以BC和AC為直徑的兩個小半圓的面積之和，又S3的面積等于大半圓的面積減去空白部分面積，而S1與S2的面積之和恰好為兩個小半圓的面積減去空白部分面積，于是推出S1+S2=S3.在問題3的基礎(chǔ)上，對于問題4，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)空白部分的面積既等于大正方形的面積減去淺灰色陰影部分的面積，又等于兩個小正方形的面積之和減去深灰色陰影部分的面積，又大正方形的面積等于兩個小正方形面積之和，所以有S1=S2.可見，學(xué)生運(yùn)用同樣的方法解決了問題4.

設(shè)計(jì)意圖：通過重現(xiàn)古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底的月牙定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化之美與數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)效果.同時，通過問題的拓展，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.

2 教學(xué)思考

2.1 巧設(shè)有效問題，激活數(shù)學(xué)思維

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情巧設(shè)問題，以此有效吸引學(xué)生的注意力，激活思維，從而為構(gòu)建高效生態(tài)課堂奠基.學(xué)生的注意力持久性越高，越易引發(fā)深度思考，越易激發(fā)學(xué)生潛能.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)一些符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題情境，從而為學(xué)生創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)生長力，提升教學(xué)效率.本課探究過程中，教師先從學(xué)生已有的“勾股樹”探究經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過有效的開放性問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的研究思路，體會數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)意蘊(yùn)，促進(jìn)課堂效率的提升和學(xué)生思維能力的發(fā)展.

2.2 踐行讓學(xué)引思，促進(jìn)智慧升華

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)、自己思考，以此激活課堂，升華學(xué)生智慧.例如，在本課教學(xué)中，在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生分別以直角三角形三邊為邊向外作正方形驗(yàn)證了勾股定理后，教師并沒有直接給出練習(xí)讓學(xué)生鞏固強(qiáng)化，而是提供機(jī)會讓學(xué)生嘗試應(yīng)用其他方法進(jìn)行驗(yàn)證.在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過充分的思考與交流，找到了多種驗(yàn)證方法，促進(jìn)了知識和思維的再生長，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生知識掌握情況，更要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展情況，重視引導(dǎo)學(xué)生主動參與思考、探究、概括、反思等活動，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高課堂教學(xué)品質(zhì).