導數應用中構造函數方法例說

黃玉仙

［摘 要］構造法是數學解題時的重要方法之一，也是高考的考查熱點。導數應用中如何構造函數，是一個難度較大的“技術活”，其關鍵是對已知條件進行等價變換，為同構函數創造條件。

［關鍵詞］導數；構造函數；方法

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0023-03

構造法是數學解題的重要方法之一，也是高考的考查熱點。它常與導數、函數、不等式相結合，要求學生構造函數解決相關問題，考查學生的數學能力和綜合素養。那么，在導數的應用中如何構造函數呢？筆者結合幾則典例，逐一進行分析探討。

一、由[f（x）]與[f（x）]的關系構造函數

（一）利用[f（x）]與[xn]構造

［例1］已知定義域為[xx≠0]的偶函數[f（x）]，其導函數為[f（x）]，對任意正實數[x]滿足[xf（x）>2f（x）]且[f（1）=0]，則不等式[f（x）<0]的解集是（? ? ? ?）。

A．（-∞，1）? ? ? B．（-1，1）

C．（-∞，0）∪（0，1） D．（-1，0）∪（0，1）

所以[|x|<1]，故[x∈ ][（-1，0）?（0，1）]，故選D。

點評：利用[f（x）]與[xn]構造函數：①出現[nf（x）+xf（x）]形式，構造函數[F（x）=xnf（x）]；②出現[xf（x）-nf（x）]形式，構造函數[F（x）=f（x）xn]。

（二）利用[f（x）]與[ex]構造

［例2］已知[fx]是函數[y=fxx∈R]的導函數，對于任意的[x∈R]都有[fx+fx>1]，且[f0=2023]，則不等式[exfx>ex+2022]的解集是（ ）。

A.（2022，+∞）? ? ? ? ? ? ?B. （-∞，0）∪（2023，+∞）

C.（-∞，0）∪（0，+∞）? D.（0，+∞）

解析：（法1）構造特殊函數。令[fx=2023]，則[fx+fx=2023>1]滿足題目條件，把[fx=2023]代入[exfx>ex+2022]得[2023ex>ex+2022]解得[x>0]。故選[D]。

（法2）構造輔助函數。令[gx=exfx-ex]，則[gx=exfx+fx-1>0]，所以[gx]在[R]上單調遞增，又因為[g0=f0-1=2022]，所以[exfx>ex+2022?gx>g0]，所以[x>0]，故選D。

點評：（1）出現[f（x）+n

（三）利用[f（x）]與[sinx、cosx]構造函數

二、通過分離變量構造函數

當條件式含有兩個變量時，可對條件變形化簡，將變量分離，即化為等式或不等式的左右兩側形式相當，一邊一個變量，根據結構特點構造函數，再結合函數的單調性得出兩個變量的關系，進而解決問題。

［例4］（1）已知[x∈N]，[y∈N]，[x<y]，則方程[xy=yx]的解的組數為（ ）。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 無窮多個

（2）已知實數[x]，[y]滿足[eylnx=yex]，[y>1]，則[x]、[y]的大小關系為（ ）。

A. [y≥x] B. [y<x] C. [y>x] D. [y≤x]

三、根據數值特點構造函數

在數值大小比較問題中，根據數值的結構特征，構造對應的函數，利用導數研究函數的單調性，最后由單調性比出數值的大小。

［例5］（1）已知實數a，b，[c∈（0，1）]，且[ae2=2ea]，[be3=2eb]，[ce3=3ec]，則（ ）。

A. [a<b<c]? ? B. [c<a<b]

C. [b<c<a] ? ? D. [c<b<a]

（2）已知[a=20222024]，[b=20232023]，[c=20242022]，則[a]，[b]，[c]的大小關系為（ ）。

A. [b>c>a]? ? B. [b>a>c]

C. [a>c>b] ? ? ? D. [a>b>c]

令[g（x）=（x+1）-xlnx]，則[g（x）=-lnx<0]，∴[g（x）]在[e2，+∞]上單調遞減，∴[g（x）≤g（e2）=

點評：對于給出具體的數值比較大小的問題，當采用基礎的“化同底”“化同指”方法和中間值法不能解決時，可對數值進行合理變形，尋找結構的相同點，依次為突破口，構造函數，然后利用函數的單調性比較大小。

四、根據指對變形構造函數

當一個等式或不等式同時出現指數形式和對數形式時，為了根據同構原理構造函數，一般先要對它進行指對變形，即指數形式化為對數形式，或把對數形式化為指數形式。

［例6］已知實數[a>0]，[e=2.718]…，對任意[x∈（-1，+∞）]，不等式[ex≥ae2+lnax+a]恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）。

點評：本例采用了指對同構法。指對同構，經常使用的變換形式有兩種，一種是將[x]變成[lnex]，然后構造函數；另一種是將[x]變成[elnx]，然后構造函數。常見的同構形函數有：[xlnx]與[xex]；[x+lnx]與[x+ex]。常見的同構變形有：[x=elnx=lnex]；[xlnx=elnx·lnx]；[xex=elnx+x=lnex·ex]。此外，需注意同構后的整體變量范圍。

五、先換元再構造函數

求解不等式恒成立問題，可先化簡不等式，根據不等式的結構進行構造函數，為了構造合理的函數，往往先換元，然后通過導數研究換元后所構造函數的單調性、極值、最值等性質，從而將問題求解出來。

［例7］（多選）若實數[x]，[y]滿足[4lnx+2ln2y≥x2+8y-4]，則（ ）。

點評：本例先化簡已知不等式，利用換元法以及構造函數法，再結合導數求得[x]和[y]，進而判斷出正確答案。換元起到了化繁為簡的作用。

由此可見，在導數應用中構造函數，是一個難度較大的“技術活”，其關鍵是對已知條件進行等價變換，為同構函數創造條件。只有在平時訓練中不斷積累經驗，不斷感悟，才能在考試中對這類問題有所斬獲。