在“分數混合運算”教學中探尋單位“1”的數學本質

閆孔哲 錢令彩

［摘 要］教學“分數混合運算”，要讓學生明白計算的關鍵是找到一個合適的單位“1”，并能根據它與其他量之間的關系將分數的混合運算轉化為分數的乘、除法來解決，體會借用單位“1”的本質是代數式的數值化表示，會用方程方法來解決分數混合運算的問題，并明白其易于實現問題解決方式的多樣化。

［關鍵詞］單位“1”；直觀圖；方程思想；符號意識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0072-03

一、分析教學內容——梳理教材編排思路

北師大版教材在六年級“分數混合運算”單元共安排了7個課時的教學內容。課程的主干內容是“分數混合運算（一）”“分數混合運算（二）”“分數混合運算（三）”，共3課時，每節課后安排1課時“試一試”板塊，最后設置1課時練習課。

本單元的思維框架和內容框架如圖1所示。

二、明確教學目標——實現提升問題解決能力、提升運算能力的雙重任務

小學階段“分數混合運算”一般在兩步以內，第一步的運算結果為第二步提供運算信息。“分數混合運算”的過程和結果都是為解決問題服務，計算為解決問題提供了關鍵信息。

“分數混合運算”單元雖以解決問題的形式呈現，卻同時承載著提高學生的數學運算能力的目標。在問題解決過程中，學生不但要體會到整數的運算順序同樣適用于分數的運算，整數乘法的運算律在分數中同樣適用，還要在混合運算中提高自己的運算能力。

三、引導學生畫直觀圖——讓數量關系可視化

在問題解決過程中，教師常引導學生畫直觀圖來分析問題。學生畫圖的過程，其實就是由數轉形的過程。

例如，在“分數的混合運算（一）”中，教材中出示了如圖2所示的問題，以及如圖3所示的圓圈圖和線段圖，這兩種直觀圖都能將三個小組兩兩之間的關系清晰地展現出來。

畫直觀圖遠比僅用分數來描述抽象數量關系更容易讓學生理解。

在各種類型的直觀圖中，相比方格圖、圓形圖，線段圖在數形轉化中的優勢更為明顯，教師大多傾向于引導學生采用畫線段圖的方法解題。但如果設未知量為單位“1”，反過來將其用來度量已知量，畫方格圖和圓形圖在形轉數時的優勢更加明顯。這充分說明了畫直觀圖時采用什么形式并不重要，直觀圖僅是數轉形、形轉數的媒介，每個學生都有適合幫助自己思考的直觀圖。

四、借助單位“1”——引導學生解決問題

教材編排的是引導學生尋找單位“1”來解決問題：把一個量（例如一本書、一段時間、一段路程、一項工程、一個物體等）視為一個整體，并賦予數值1的特征，記作“1”，這就是我們平常所說的單位“1”。如果我們并不知道某個總量是多少、某段時間有多長，就可以把這一總量和這一時長看作單位“1”；有時候，物體的一部分也可看作單位“1”，如“甲修路隊修了一段路的[15]，乙修路隊修了余下路段的[23]”，很顯然后半句是把剩余路段（整個路段的[45]）看作單位“1”。

單位“1”是解決分數混合運算等問題的工具和重要支點。學生讀題后首先要解決的就是找到問題中的單位“1”，再找出對應分率和對應量，最后寫出等量關系式“單位‘1’的量×對應分率=對應量”，從而解決問題。

小學數學教材中有關分數的問題大致可分為兩種：一種是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少；另一種是已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”。

1.找到單位“1”，將未知問題轉化為已知問題

教學“分數混合運算（一）”時，第一種思路是引導學生把已知量當作單位“1”，這樣就可以利用轉化的方法來解決問題。把氣象小組看作單位“1”去分別度量攝影小組和航模小組，能各得出一個對應分率。第二種思路是提示學生利用攝影小組人數作媒介，依據氣象小組人數與攝影小組人數之間的關系先求出攝影小組人數，再利用航模小組人數與攝影小組人數之間的關系求出航模小組人數。

2.利用單位“1”的標準單位功能，用一把“尺子”量到底從而解決問題

仔細觀察圖3，氣象小組人數是已知量，把氣象小組人數看作單位“1”，然后再用它分別去度量攝影小組人數和航模小組人數，則攝影小組人數是它的“1×[13]”，航模小組人數為它的“1× [13]×[34] =[312]”。這樣，用同一個度量單位去度量另外兩個量，能分別得出一個對應分率，將問題轉化成分數的乘法來計算。

當單位“1”隱藏較深時，學生往往不容易找到。例如，對于問題“五一期間，某商廈打折促銷，一種品牌家具的價格降低了[14]”，學生往往看不出[14]與誰有關聯。此時教師可引導學生在不誤解或不改變題意的前提下，將這個關鍵句補充完整，即“某種品牌家具的現價比原價降低了[14]”，從而確定原價就是單位“1”。

3.豐富單位“1”的設定方法，尋找解決問題的不同思路

根據所設單位“1”的不同，可以選擇不同的解決問題的思路。例如，“分數混合運算（二）”中練一練第 3 題，題目要求看圖（如圖4）列式計算。

4.將未知量設為單位“1”，輕松架起“分數混合運算（二）”與“分數混合運算（三）”的橋梁

既然單位“1”具有標準單位功能，就可用“未知量”去度量已知量，然后根據兩者之間的關系，得出一個分率。在教學“分數混合運算（二）”后，筆者出示圖6：

先讓學生試著將第二天的成交量設為單位“1”，學生根據直觀圖，得出第一天的成交量為第二天的[56]。至此，問題轉為“單位‘1’的[56]是50輛，單位‘1’是多少？”，這正是“分數混合運算（三）”中要解決的問題。這個設定就架起了“分數混合運算（二）”和“分數混合運算（三）”之間的橋梁。其實，“分數混合運算（二）”要解決的問題是“比一個量多或少幾分之幾的量是多少”，在“分數混合運算（三）”中要解決的問題是“已知未知量的幾分之幾是多少，求這個未知量”，教師可以引導學生采用分數的除法或用列方程的方法來解決。通過設未知量為單位“1”的方法將“分數混合運算（二）”的問題轉化為“分數混合運算（三）”的問題，這也間接證實了用列方程的方法可解決“分數混合運算”問題。

五、啟發方程思想——找到解決分數混合運算問題的基本思想

在分數混合運算中，問題解決的基本思想還是方程思想。對于如圖2所示的問題，可以設航模小組有x人，根據三個小組的關系，攝影小組有[43]x人，氣象小組有4x人，根據已知條件得4x=12，即x=3。對于如圖6所示的問題，若設第二天的成交量為x輛，則第一天的成交量為[56]x輛，可以利用等量關系列出方程[56]x=50，從而得出第二天的成交量為60輛。

理論上是可以設任何一個量為單位“1”的，這樣解決問題的關鍵轉變為用直觀圖表示幾個量之間的關系，然后以設定的單位“1”為標準，計算出另外幾個量的對應分率，最后根據已知量求出其他未知量。用列方程的方法來解決分數的混合運算問題，不用再刻意去找哪一個量是單位“1”，僅需設其中的一個未知量為x，先分析x與其他量之間的關系，再用代數式表示其他量，然后根據問題中的等量關系列出方程，最后求出這個設定的未知量x。

六、體驗代數式的數值化表示——理解單位“1”的本質

單位“1”本質上是代數式的數值化表示，雖然賦予其特殊值“1”，它的本質還是代數式，暗藏著代數式的運算功能。實際上，解決分數混合運算問題用的還是方程思想，由于巧妙地利用單位“1”將代數式的外衣脫去，從表面上看到僅僅是數值運算，所以大大降低了問題解決的難度。

“分數混合運算”單元的教學，承載了培養學生運算能力、思維能力、問題解決能力、早期代數思維能力、方程思想等任務。學生在探索運算順序和運算律的過程中經歷了觀察、比較、計算、驗證、抽象、概括等思維活動，增強了符號意識，既提高了運算技能，又提高了問題解決能力，養成了用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言來表達現實世界的習慣。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 湯寶玉.由表面理解到真正建構：談“分數四則混合運算”兩次教學實踐與反思[J].考試周刊，2010（39）：95-96.

[2] 胡德運，陳燕.“分數四則混合運算”教學設計與說明[J].小學數學教育，2018（Z4）：90-91.

[3] 盧琳娟，肖美娜.“分數混合運算”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2021（17）：70-72+2.

[4] 孫思雨，許添舒，孔企平.基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究[J].數學教育學報，2022，31（1）：52-58.

【本文系阜陽市科研課題“‘雙減’背景下農村小學數學分層作業設計與實施研究”（課題編號：FJK23088）階段性成果。】

（責編 楊偲培）