三維不可壓縮Boussinesq MHD系統解的衰減估計

關鍵詞：一般能量法；Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統；先驗估計；齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間；最優衰減率

中圖分類號：Ｏ１７５． ２９ 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２３）０４-０４４８-０９

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１８３９５． ２０２３． ０４． ００３

Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統是模擬由熱場或密度場的浮力效應和磁場產生的洛倫茲力驅動的不可壓縮流體的對流，這種對流發生在存在磁場的導電流體的水平層［１］． 對于ＢｏｕｓｓｉｎｅｓｑＭＨＤ 系統，文獻［２］研究了具有分層效應的ＭＨＤ 對流的二維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程解的一般性質． 文獻［３］研究上述具有分層效應的二維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ系統的初邊值問題，應用一般能量法證明了在光滑有界區域中弱解的全局存在性和強解的全局存在唯一性． 文獻［４］將文獻［２］在二維空間上的結果推廣到三維空間上分析，證明了三維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統在無熱擴散下解的存在性．文獻［５］使用能量估計研究了二維非齊次Ｂｏｕｓｓ-ｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統在有界光滑區域中強解的整體適定性和衰減估計．

近年來，許多學者研究了不同的微分方程解的存在性和衰減率等問題［６-８］． 解的衰減估計或衰減問題是流體力學的常見問題，它描述了一般解與時間行為的關系． 文獻［９］提出了一種證明可壓縮Ｎａｖｉｅｒ-Ｓｔｏｋｅｓ 方程最優時間衰減率的純能量方法． 文獻［１０］運用這種一般能量法證明了可壓縮Ｋｏｒｔｅｗｅｇ 系統的最優時間衰減率． 文獻［１１-１２］在基于線性方程的最優衰減率和非線性項的能量估計下得到了量子等離子體磁流體力學模型在整個空間下常數態解的最優衰減率．文獻［１３］同樣借助于純能量方法，通過假設小初值以及利用齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 范數的估計，得到關于磁微極流體方程解的高階導數的最優時間衰減率． 本文主要參考了文獻［１３］研究三維不可壓縮磁微極流體方程組衰減估計的方法，結合三維不可壓縮Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 方程組的結構，研究其衰減估計． 眾所周知，解的高階空間導數的估計需要在齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間中完成，因此，證明的主要困難在于處理方程組中θｅ３ 項在齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間的估計問題．

１ 預備知識

本節主要介紹定理１ 以及后面證明中需要用到的一些定義和引理．