微擾論和變分法在求解量子力學定態問題中的應用

關鍵詞： 微擾論 變分法 近似方法 量子力學 定態

中圖分類號： G642 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2023）16-0217-04

量子力學是反映微觀粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）運動規律的理論，由于微觀粒子具有波粒二象性，描寫微觀粒子的狀態用波函數，微觀粒子運動規律遵從薛定諤方程。除了一些特殊或簡單的情況外，要精確求解量子力學中的很多問題是十分困難的，有時甚至是不可能的。例如：在實際中遇到的大多數問題里，系統的哈密頓量往往比較復雜，方程無法嚴格求解，常常只能得到近似結果，因此，對近似方法的研究就顯得十分重要[1]。近似方法通常是從簡單問題的精確解出發來求較復雜問題的近似解。一般可以分為兩大類：一類用于體系的哈密頓算符不是時間的顯函數的情況，討論的是定態問題，定態微擾理論和變分法都屬于這一類；另一類用于體系的哈密頓算符是時間的顯函數的情況，討論的是體系狀態之間的躍遷問題，與時間有關的微擾理論就屬于這一類[2]。本文簡要介紹定態問題中的微擾論和變分法的原理，然后通過具體實例研究微擾論和變分法在求解量子力學定態問題中的應用。

1 微擾論

微擾論、變方法、絕熱近似、準經典近似等各種近似方法都有其優缺點和適用范圍，其中應用最廣泛的近似方法就是微擾論[3]。設體系的哈密頓算符H ? 的能量本征值和本征函數分別為En 和ψn，并且H ? 不顯含時間：