基于乘客異質性的早高峰單起點多訖點公交均衡研究

摘要： "分析早高峰單起點多訖點公交系統的均衡乘車行為。考慮乘客對公交內部擁擠敏感程度不同，分析乘客出行成本構成，乘客在擁擠成本、延誤時間成本和乘車時間成本之間權衡，做出乘車班次選擇，以此建立均衡乘車模型。研究結果表明異質用戶下單起點多訖點公交均衡具有如下性質：目的地相同的乘客分布在連續班次，且越靠近最優到達班次，累計乘客人數越多；連續兩站都有出行者乘坐特定班次時，在之后站點登上該特定班次的總人數為常數；目的地相同的不同類型乘客最多在一個班次上混乘；對擁擠敏感的乘客會乘坐對應的遠離期望到達時間的班次；對擁擠不敏感的乘客會乘坐對應的靠近期望到達時間的班次。研究結果有利于加深對公交乘車行為的理解，為公交調度管理提供輔助支持，進一步完善公交均衡模型的相關研究。

關鍵詞： 城市交通；乘客異質性；擁擠成本；高峰時段；均衡模型

中圖分類號： U491 文獻標志碼：A文章編號：1002-4026（2023）02-0085-08

開放科學（資源服務）標志碼（OSID）：

Equilibrium ride model of one-to-many mass transit system

with heterogeneous passengers

LU Yuzhen， LI Xingang*

（MOE Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory and Technology，

Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China）

Abstract∶ This paper analyzes the morning peak-period commuting pattern in the one-to-many mass transit system. The cost composition is analyzed considering the heterogeneity of the passengers′ sensitivity to crowding in public transport. Passengers make trade-os between travel time， crowding， and schedule delay costs， and make their optimal time-of-use decision to establish an equilibrium travel model. We deduce the following equilibrium properties of the morning peak-period commuting in a one-to-many mass transit system： Passengers of the same destination disperse in continuous train services and the cumulative number of passengers increase with the closeness to the optimal arrival trains; if there are people taking a specific train at two consecutive stations， then the total number of people who board a specific train at subsequent stations is constant; different passengers with the same destination can be mixed at most on one train; and passengers who are sensitive to crowding will take the train far from the expected arrival time， while passengers who are not sensitive to congestion will do the opposite. The results of the study are conducive in deepening the understanding of transit riding behavior， providing auxiliary support for transportation dispatch management and further improving the related research on the transit equilibrium model.

Key words∶ urban traffic; passenger heterogeneity; crowding cost; peak hours; equilibrium model

城市公共交通是城市交通系統的重要組成部分，承載了絕大部分城市出行需求。發展城市公共交通是緩解城市交通擁堵，提升城市路網運行效率，實現城市可持續發展的重要途經。近年來，城市居民通勤出行的均衡分析，尤其是公共交通出行，受到極大關注。

1969年，諾貝爾經濟學獎獲得者Vickrey[1]應用確定性排隊理論提出了著名的瓶頸模型，在該模型中乘客通過權衡瓶頸處排隊時間成本和計劃延誤成本，進行出行時間選擇，在均衡狀態下，系統內所有出行者的出行成本都相等且最小。Mohring [2]和Allen等[3]在瓶頸模型的基礎上，建立了固定需求下公共交通方式的微觀經濟學模型，得到了“平方根法則”。林震等[4]應用瓶頸模型的思想對直達軌道交通的擁擠進行了研究，分析了均衡條件下的出行費用和出行規律。田瓊等[5]和趙傳林等[6]分別在單一條線路和兩條線路的公交系統中，研究不同市場機制下的公交乘車均衡模型。此后，田瓊等[7]引入城市公共交通車廂內體觸擁擠成本，設定不同的容量限制，建立了基于乘客出行時間選擇的動態均衡模型。韓烈等[8-9]對單起點多訖點的公共交通系統均衡狀態進行研究，后又研究了多起點多訖點的公交系統，并提出計算系統最優模型的有效算法。

上述研究都是建立在乘客具有同質性的基礎上，忽略了現實中乘客的時間價值以及對擁擠的敏感度是不同的。Lindsey[10]將用戶分為多個類型，并證明了用戶異質條件下均衡的存在性和唯一性。田瓊等[11]和張玉潔等[12]分別在雙起點單訖點和三起點單訖點的公交線路中研究了對擁擠敏感度不同的高峰期公交出行均衡模型，得出了多到單系統的均衡性質。Liu等[13]在雙模式通勤模型中，按用戶是否有車劃分對公交內部的擁擠敏感度，研究了異質用戶不同出行方式的均衡出行成本。

根據以上分析發現，目前缺少考慮乘客異質性的單起點多訖點場景下的公共交通均衡模型分析，無法解決職住分離且居住地相對集中情況下的城市居民出行問題。本文在考慮公交內部擁擠成本的基礎上，按對公交內部擁擠敏感度不同將乘客分為若干類，對單起點多訖點的公交均衡模型進行研究，通過數學推導和算例驗證，得出了不同類型乘客混乘的狀態和不同訖點乘客的乘車特點，揭示不同類型乘客在特定場景下的出行規律。研究結果有利于全面了解早高峰公共交通擁堵的形成機理和狀態特征，為公共交通運營者提供決策支持和參考依據。

1公交均衡乘車模型

在早高峰期間，通勤者乘坐公共交通從居住區出發前往工作地。由于他們的工作地點不一樣，所以會在不同的站點下車。如圖1所示，一條公交線路由居住區 H出發，依次經過工作區站點W1，W2，W3，…，Wn。假設所有乘客均居住在H，而工作地分布在工作區W1，W2，W3，…，Wn，早高峰時段，所有乘客乘坐該條公交從居住區 H，依次前往工作區上班。

假設乘客是理性的，有相同的期望到達時間，經過長期乘坐，了解該公交線路的全部乘車信息，不存在站臺等待時間。按乘客對公交內部擁擠的敏感度，將乘客分為兩類，即為對擁擠敏感的乘客和對擁擠不敏感的乘客。假設公交運行的速度恒定，因此相鄰站點之間的運行時間固定（包括公交停靠站點時間）。則某乘客乘坐公交的總成本為：

Cjak=Pa+∑ a t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τt+α∑ a t=1 τt+δ a，j ，a∈A，j∈Z，k∈Q （1）

式中，Cjak表示目的地為Wa站的第k類乘客選擇第j班次的總成本；Pa表示目的地為第Wa站乘坐公交的票價；∑ a t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τt表示目的地為Wa站的第k類乘客選擇第j班次的擁擠成本，其中njsk表示目的地為Wa站的第k類乘客選擇第j班次的乘客數；α∑ a t=1 τt表示乘坐公交到達Wa站的乘車時間成本，α為單位乘車時間成本，τ1、τ2、…、τn分別表示相鄰站點之間的運行時間；δ（a，j）為目的地為Wa站選擇第j班次的延誤成本；A表示目的地的集合， A= W1，W2，…，Wn ；Z表示班次集合；Q表示對擁擠感受不同類型集合。

當目的地為a站的乘客選擇班次時，Pa和α∑ a t=1 τt即確定，這兩方面的成本不會影響乘客的班次選擇行為，為了簡化問題，這里令Pa+α∑ a t=1 τt=0。此時乘客班次選擇只會受到擁擠成本和延誤時間成本兩方面的影響，令

λjak=∑ a t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τt+δ（a，j） ，（2）

式中，gk · 為第k類乘客單位時間車廂內擁擠成本函數。隨著車內乘客人數的增加，擁擠程度會加劇，因此有g′k（N）gt;0，N≥0。車內沒有乘客時，擁擠成本為0，即gk（0）=0。對于兩類乘客，他們的邊際擁擠成本不同，有g′l（N）≠g′q（N）。

為了簡化模型，并且不影響分析結果，本文僅考慮早到懲罰。目的地為Wa站選擇第j班次的延誤成本為δ（a，j）=β j*a-j h，其中β為單位早到時間懲罰，j*a為準時到達目的地a的班次，h為發車時間間隔，j*a=j*a+1+ τa+1 h 。

根據 Wardrop 用戶分配第一準則，有等價用戶均衡模型：

njak λjak-λak =0，a∈A，j∈Z，k∈Q，（3）

λjak-λak≥0，a∈A，j∈Z，k∈Q，（4）

njak≥0，a∈A，j∈Z，k∈Q。（5）

λak表示從H出發，目的地為Wa站的乘客的出行最小成本。每一位出行者在選擇乘坐公交班次時，總是會盡可能地縮小自己的出行成本。由式（3）可知，當λjakgt;λak時，njak=0，表示目的地為Wa站的第k類乘客乘坐第j次車的成本大于最低成本，故目的地為Wa站的第k類乘客不會乘坐第j班次；當njakgt;0時，λjak=λak，表示當存在目的地為Wa站的第k類乘客乘坐第j班次時，對應出行成本為最低出行成本。在均衡狀態下，所有目的地相同的同類乘客都有相同且最小的出行成本。

2公交均衡性質

性質1 均衡狀態下，若jlt;j′，則∑ n a=1 ∑ k njak≤∑ n a=1 ∑ k nj′ak。

證明 （1） 當∑ k nj1kgt;0時，不妨設第k類乘客在W1站乘坐第j次車，根據公式（3）有λj1k=λ1k；第k類乘客在W1站不一定乘坐第j′次車，故λj′1k≥λ1k。因此，λj′1k≥λj1k，代入公式（2）得到：

gk ∑ n s=1 ∑ k nj′sk τ1+δ（1，j′）≥gk ∑ n s=1 ∑ k njsk τ1+δ（1，j） 。（6）

由于jlt;j′，故δ（1，j′）lt;δ（1，j），得，gk ∑ n s=1 ∑ k nj′sk gt;gk ∑ n s=1 ∑ k njsk ，則∑ n a=1 ∑ k njaklt;∑ n a=1 ∑ k nj′ak成立。

（2）當∑ k nj1k=0且∑ n a=2 ∑ k njak=0時，顯然有∑ n a=1 ∑ k njak≤∑ n a=1 ∑ k nj′ak成立。

當[JP9]∑ k nj1k=0且∑ n a=2 ∑ k njakgt;0時，則有[JP9]∑ n a=1 ∑ k njak≤∑ n a=1 ∑ k nj′ak。利用反證法，假設[JP9]∑ n a=1 ∑ k njakgt;∑ n a=1 ∑ k nj′ak，則∑ n a=2 ∑ k njak≤∑ n a=1 ∑ k nj′ak。因為∑ n a=2 ∑ k njakgt;0，故假設存在Wm∈ W2，W3，…，Wn ，使得∑ k njmkgt;0，其中m為有人乘坐j班次站數的最小值。不妨設第k類乘客在Wm站乘坐第j次車，根據公式（3）有λjmk=λmk；第k類乘客在Wm站不一定乘坐第j′次車，故λj′mk≥λmk。因此，λj′mk≥λjmk，代入公式（2）得到：

∑ m t=1 gk ∑ n s=t ∑ k nj′sk τm+δ（m，j′）≥∑ m t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τm+δ（m，j）。（7）

由于jlt;j′，故δ（m，j′）lt;δ（m，j），得∑ m t=1 gk ∑ n s=t ∑ k nj′sk gt;∑ m t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk ，進一步得到：

∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k nj′sk +gk ∑ n s=1 ∑ k nj′sk gt;∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k njsk +gk ∑ n s=1 ∑ k njsk 。（8）

因為∑ n a=1 ∑ k njakgt;∑ n a=1 ∑ k nj′ak，故有：

gk ∑ n s=1 ∑ k njsk gt;gk ∑ n s=1 ∑ k nj′sk 。（9）

因為∑ k nj1k=0，結合對Wm的定義得到∑ n a=1 ∑ k njak=∑ n a=2 ∑ k njak=…=∑ n a=m ∑ k njak，故有：

∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k njsk gt;∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k nj′sk 。（10）

根據式（9）和式（10）得到∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k njsk +gk ∑ n s=1 ∑ k njsk gt;∑ m t=2 gk ∑ n s=t ∑ k nj′sk +gk ∑ n s=1 ∑ k nj′sk ，與式（8）矛盾，假設不成立，因此當∑ k nj1k=0且∑ n a=2 ∑ k njakgt;0時，∑ n a=1 ∑ k njak≤∑ n a=1 ∑ k nj′ak成立。

由上可知，性質1成立，故越靠近最優班次，車內累計乘車總人數越多，且目的地相同的乘客分布在連續班次。

性質2 在均衡狀態下，如果njakgt;0，nj（a+1）kgt;0，其中1≤alt;n，那么∑ n s=a+1 ∑ k njsk是與公交班次無關的常數。

證明 "由njakgt;0，nj（a+1）kgt;0，則有：

λak=λjak=∑ a t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τt+δ（a，j），（11）

λ（a+1）k=λj（a+1）k=∑ a+1 t=1 gk ∑ n s=t ∑ k njsk τt+δ（a+1，j）。（12）

式（12）減去式（11）得到：

λ（a+1）k-λak=gk ∑ n s=a+1 ∑ k njsk τa+1+β j*a+1-j*a t 。（13）

因為λ（a+1）k、λak、τa+1和β j*a+1-j*a t都與班次無關，且gk N 是嚴格單調遞增的函數，故存在唯一的與公交班次無關的常數∑ n s=a+1 ∑ k njsk使式（13）成立。所以，若站點Wa和Wa+1都有人乘坐同一班公交，那么站點Wa后面的所有站點登上該班次公交的總人數為常數。

性質3 均衡條件下，j，j′≤j*1且j≠j′，對于q，l∈Q且q≠l，不可能有nj1qgt;0，nj1lgt;0，nj′1qgt;0，nj′1lgt;0同時成立

證明 利用反證法。假設，nj1qgt;0，nj1lgt;0，nj′1qgt;0，nj′1lgt;0同時成立，根據式（3）有，λj′1q=λj1q=λ1q，λj′1l=λj1l=λ1l成立，則有λj1q-λj1l=λj′1q-λj′1l，帶入式（2）得到：

gq ∑ n s=1 ∑ k njsk -gl ∑ n s=1 ∑ k njsk =gq ∑ n s=1 ∑ k nj′sk -gl ∑ n s=1 ∑ k nj′sk 。（14）

令jlt;j′，則根據性質1有∑ n s=1 ∑ k njsk≤∑ n s=1 ∑ k nj′sk，不妨設gq · gt;gl · ，得到：

gq ∑ n s=1 ∑ k nj′sk -gq ∑ n s=1 ∑ k njsk gt;gl ∑ n s=1 ∑ k njsk -gl ∑ n s=1 ∑ k nj′sk "。（15）

式（14）與式（15）相矛盾，故假設不成立，nj1qgt;0，nj1lgt;0，nj′1qgt;0，nj′1lgt;0不能同時成立。所以目的地為第一站的不同類型乘客最多在一個班次上混乘。

性質4 均衡狀態下，若jlt;j′≤j*1，g′q · gt;g′l · ，則不可能有nj′1qgt;0，nj1lgt;0同時成立。

證明 利用反證法。假設nj′1qgt;0，nj1lgt;0同時成立，由式（3）有λj′1q=λ1q，λj1l=λ1l同時成立。由于nj1q和nj′1l未知，所以第q類乘客未必在W1站乘坐第j班次，第l類乘客未必在W1站乘坐第j′班次，由式（3）有λj1q≥λ1q，λj′1l≥λ1l同時成立。所以有，λj1q-λj1l≥λj′1q-λj′1l成立，由式（2）有：

gq ∑ n s=1 ∑ k njsk -gl ∑ n s=1 ∑ k njsk ≥gq ∑ n s=1 ∑ k nj′sk -gl ∑ n s=1 ∑ k nj′sk 。（16）

當jlt;j′≤j*1，g′q · gt;g′l · 時，有式（15）成立。式（15）與式（16）相矛盾，故原假設不成立，nj′1qgt;0，nj1lgt;0不能同時成立。因此，目的地為第一站的乘客中，對擁擠敏感、擁擠成本高的乘客會乘坐遠離期望到達時間的班次；對擁擠不敏感、擁擠成本低的乘客會乘坐靠近期望到達時間的班次。

性質5 在均衡條件下，jlt;j′≤j*a，對于q，l∈Q且q≠l，a∈ 2，3，…，n 有∑ n s=a ∑ k njsk≤∑ n s=a ∑ k nj′sk，則不可能有njaqgt;0，njalgt;0，nj′aqgt;0，nj′algt;0同時成立。

證明 利用反證法。假設njaqgt;0，njalgt;0，nj′aqgt;0，nj′algt;0同時成立，由式（3）有λjaq=λj′aq=λaq，

λjal=λj′al=λal，故λjaq-λjal=λj′aq-λj′al，代入式（2）得到：

∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k njsk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k njsk τt=∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt。（17）

根據性質1 有∑ n s=1 ∑ k njsk≤∑ n s=1 ∑ k nj′sk，因為a∈ 2，3，…，n ，有∑ n s=a ∑ k njsk≤∑ n s=a ∑ k nj′sk。不妨設gq · gt;gl · ，得到：

∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k njsk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k njsk τtgt;∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt。（18）

式（17）與式（18）相矛盾，故njaqgt;0，njalgt;0，nj′aqgt;0，nj′algt;0不可能同時成立。所以目的地為第一站之外的不同類型乘客最多在一個班次上混乘。

性質6 均衡狀態下，若jlt;j′≤j*a，g′q ？ gt;g′l · ，a∈ 2，3，…，n 有∑ n s=a ∑ k njsk≤∑ n s=a ∑ k nj′sk，則不可能有nj′aqgt;0，njalgt;0同時成立。

證明 利用反證法。假設nj′aqgt;0，njalgt;0同時成立，由式（3）有λj′aq=λaq，λjal=λal同時成立。由于njaq和nj′al未知，所以第q類乘客未必在在Wa站乘坐第j班次，第l類乘客未必在Wa站乘坐第j′班次，由式（3）有λjaq≥λaq，λj′al≥λal同時成立。所以有，λjaq-λjal≥λj′aq-λj′al成立，由式（2）有：

∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k njsk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k njsk τt≥∑ a t=1 gq ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt-∑ a t=1 gl ∑ n s=t ∑ k nj′sk τt（19）

根據性質1 有∑ n s=1 ∑ k njsk≤∑ n s=1 ∑ k nj′sk，又因為a∈ 2，3，…，n ，有∑ n s=a ∑ k njsk≤∑ n s=a ∑ k nj′sk，而g′q · gt;g′l · ，得到式（18）成立。

式（18）與式（19）矛盾，因此原假設不成立，不可能有nj′aqgt;0，njalgt;0同時成立。所以，目的地為非首站的任意站點的乘客中，對擁擠敏感、擁擠成本高的乘客會乘坐遠離期望到達時間的班次；對擁擠不敏感、擁擠成本低的乘客會乘坐靠近期望到達時間的班次。

3算例分析

為了驗證本文推導的考慮用戶異質性單起點多訖點的均衡性質，本節給出兩個算例，用以上模型來模擬仿真出行者的班次選擇行為。如圖2所示，算例1包含兩個訖點車站（W1，W2），通過調整最優到達班次，得到乘客不同的班次選擇結果，以展現雙訖點場景下的基本的均衡性質；算例2包含三個訖點車站（W1，W2，W3），計算乘客班次選擇的結果，以全面展現多訖點場景下的均衡性質。算例1和2均考慮兩類乘客，Q= 1，2 ，其中g1 n =0.5n，g2 n =n。

算例1：考慮單起點雙訖點的公交線路，A= 1，2 ；Z= 1，2，3，4，5 ；發車間隔h=0.15 h，β=5元/h。nak表示目的地為Wa的第k類乘客的總人數，n11=n12=70，n21=n22=50。分別設置j*1=5，j*2=4和j*1=5，j*2=3，通過Matlab R2018b計算，結果如圖2所示。

圖3給出兩種情況的均衡計算結果，這兩種情況只有兩工作地之間的自由流行駛時間不同導致的最優到達班次不同，其他參數完全相同。從結果可以看出，雖然W2最優到達班次不同導致均衡狀態各不相同，但均衡結果一致，都符合本文推導的均衡性質。從圖3（a）可以看出，從初始班次開始，隨著班次靠近最優到達班次，乘車總人數也逐漸增多，在j*1達到最大值（n511=62）。在僅考慮目的地不同時，目的地為W1的乘車人數隨著靠近j*1在逐漸增大；目的地為W2的乘車人數隨著靠近j*2也在逐漸增大，上述結果符合均衡性質1。由圖3（a）還可以看出，目的地為W1的所有乘客中，兩類乘客僅在第4個班次上混乘（∑an4a2=44，∑an4a1=8）；目的地為W2的所有乘客中，兩類乘客僅在第3個班次上混乘（∑an3a2=24，∑an4a1=23）。這些結果符合性質3和性質5。圖3還顯示了目的地相同的乘客分布在連續班次，由于第二類乘客比第一類乘客對擁擠更加敏感，因此第二類乘客分布在遠離期望到達時間的班次（前4個班次），第一類乘客分布在靠近期望到達時間的班次（后3個班次），這一結果符合性質4和性質6。

算例2：考慮單起點三訖點的公交線路，A= 1，2，3 ；Z= 1，2，3，4，5 ；發車間隔h=0.15 h，β=10元/h， j*1=5，j*2=4，j*3=3，n11=n12=60，n21=n22=50，n31=n32=40，通過Matlab R2018b計算，結果如圖4所示。

圖4為算例2的均衡計算結果，由圖可以看到結果符合推導出的各條均衡性質。隨著班次靠近最優到達班次，符合均衡性質1中的累計乘車人數也逐漸增多，且目的地相同的乘客分布在連續班次，目的地為W1的乘客連續分布在后4個班次，目的地為W2的乘客連續分布在前4個班次，目的地為W3的乘客連續分布在前3個班次。班次1去往W3的乘客人數固定（為23人）；班次2和班次3去往W2、W3的總乘客人數固定（均為44人）；班次3去往W2的乘客人數固定（為50人）。上述結果符合均衡性質2。兩類乘客最多在一個班次上混乘，目的地為W1的兩類乘客僅在第5個班次上混乘，目的地為W3的兩類乘客僅在第2個班次上混乘，結果符合性質3和性質5中不同類型乘客最多在一個班次上混乘。對擁擠敏感的第二類乘客分布在遠離期望到達時間的班次，對不擁擠更加敏感的第一類乘客分布在靠近期望到達時間的班次，與本文推導的性質4和性質6結論一致。

4結論

本文建立了考慮用戶異質性的單起點多訖點早高峰公共交通乘車模型，通過分析推導可以得到均衡狀態的乘車分布具有一些特點和性質。研究發現，在早高峰均衡狀態時，目的地相同的乘客分布在連續班次，且越靠近最優到達班次，累計乘客人數越多；目的地相同的不同類型乘客最多在一個班次上混乘，對擁擠敏感、擁擠成本高的乘客會乘坐對應的遠離期望到達時間的班次；對擁擠不敏感、擁擠成本低的乘客會乘坐對應的靠近期望到達時間的班次。最后給出兩個算例，驗證本文推導的單起點多訖點公交均衡性質。

本文所得結論有助于理解公交出行者的乘車模式，為公交運營者制定公交運營政策和進行公交調度管理提供決策支持。公交運營者可以在早高峰靠近上班時間提高公交發車頻率；針對不同類型乘客，也可以設置分時段階梯票價和相應的票價獎勵制度來調控出行者班次選擇行為，以此來緩解各個班次乘客人數的不均衡性，減少靠近最優到達班次公交的內部擁擠，提高公交服務水平。

本文所構建的模型與實際情況還有一定差異，需要擴展到多起點多訖點模型，考慮遲到懲罰、座位與站位差異等因素。

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