雙層耦合網(wǎng)絡(luò)交通驅(qū)動病毒傳播過程研究

摘要：目前對于多層網(wǎng)絡(luò)上病毒傳播問題的研究都在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上進行，然而絕大多數(shù)的實際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都具有時變特性，對動態(tài)多層網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播問題的研究尚不深入。研究了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的雙層網(wǎng)絡(luò)模型下病毒和信息相互作用的病毒傳播行為學(xué)，發(fā)現(xiàn)信息層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、路由策略以及信息傳播概率、病毒抑制度對病毒傳播閾值有顯著影響。當(dāng)信息完全抑制病毒時，自我意識率可以有效地控制病毒感染規(guī)模。通過調(diào)整病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點移動速度和接觸半徑，研究了病毒傳播與交通動態(tài)之間的相互作用，發(fā)現(xiàn)隨著節(jié)點移動速度的增加，病毒傳播閾值減小，但隨著接觸半徑的增加，會有效抑制病毒的爆發(fā)。

關(guān)鍵詞：多層網(wǎng)絡(luò)；動態(tài)網(wǎng)絡(luò)；交通驅(qū)動；病毒傳播；路由策略

中圖分類號：U491.1⁺³; TP393.08 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1002-4026（2023）04-0089-08

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)志碼（OSID）：

Traffic-driven epidemic spreading in two-layer coupled networks

SUN Xuexin，LING Xiang*

（School of Automotive and Transportation Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China）

Abstract∶Current studies on epidemic spreading in multilayer networks are conducted on static networks. However， most of the real-world networks exhibit temporal properties， and extensive research on epidemic spreading in dynamic multilayer networks is not yet done. This work investigates the epidemic spreading behavior of epidemic and information interactions in a two-layer network model combining dynamic and static networks. It was found that the network structure， routing strategy， information transmission probability， and degree of epidemic suppression had a significant impact on the threshold of epidemic spreading. When information completely suppresses the epidemic， the self-awareness rate can effectively control the scale of the epidemic infection. This paper also studies the interaction between epidemic spreading and traffic dynamics by adjusting the node movement speed and contact radius of the dynamic network of thee pidemic layer and finds that the epidemic spreading threshold decreases as the node movement speed increases， whereas the outbreak of the epidemic is effectively suppressed as the contact radius increases.

Key words∶multilayer networks; dynamic networks; traffic-driven; epidemic spreading; routing strategy

病毒傳播問題與生活息息相關(guān)，例如COVID-19、計算機病毒等等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播問題是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的一個基本問題^［1］，自提出以來一直受到學(xué)者們的密切關(guān)注。研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為和傳播規(guī)律^［2］，對人類社會的發(fā)展有著重要的實際應(yīng)用價值和理論意義。

文獻［3-7］將交通過程與病毒傳播過程相結(jié)合，研究了在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的交通驅(qū)動病毒傳播模型。之后，學(xué)者們在交通驅(qū)動病毒傳播領(lǐng)域進行了廣泛的研究^［8-12］。隨著研究的深入，學(xué)者們構(gòu)建了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型^［13］，用來更準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實時變網(wǎng)絡(luò)，Yang等^［14］研究了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中交通驅(qū)動病毒傳播模型下不同路由策略對病毒傳播的影響。其實當(dāng)病毒爆發(fā)時，不僅僅是網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，與病毒有關(guān)的信息以及防護措施等都會對病毒的擴散造成影響^［15］。近年來，已有部分研究考慮到了病毒與信息的耦合傳播，但大多集中在單層網(wǎng)絡(luò)上^［16］。隨著社會的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模也越來越大、越來越復(fù)雜，多層網(wǎng)絡(luò)相比于單層網(wǎng)絡(luò)，是對真實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)更有效的抽象表達^［17-18］。Granell等^［19］針對雙層網(wǎng)絡(luò)上關(guān)于病毒的信息擴散和病毒傳播的耦合動力學(xué)行為研究，提出了信息擴散-病毒傳播多層網(wǎng)絡(luò)模型。Velsquez-Rojas等^［20］在此基礎(chǔ)上研究了信息和病毒在雙層網(wǎng)絡(luò)中，不同傳播速度對病毒傳播的影響。Ma等^［21］提出了基于大眾媒介的無意識-意識-無意識-易感-暴露感染-恢復(fù)模型，發(fā)現(xiàn)降低無癥狀感染者的比例可以有效阻止疫情的傳播。

上述研究中采用的多層網(wǎng)絡(luò)大多數(shù)是靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)之間相互耦合，然而在現(xiàn)實生活中，交通個體（行人、車輛等）會隨著時間不斷移動，同時交通個體之間進行著信息傳遞（在線網(wǎng)絡(luò)社交，如QQ、微信等），即病毒傳播在動態(tài)的接觸網(wǎng)絡(luò)上進行，信息傳播則在靜態(tài)的虛擬網(wǎng)絡(luò)上進行。因此，在本文的研究中，將動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)耦合起來，通過對雙層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的大量模擬實驗，分析了虛擬層（信息傳播層）不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的信息傳播概率、病毒信息抑制度、自我意識概率、信息傳播的路由策略和物理層（病毒傳播層）動態(tài)網(wǎng)絡(luò)接觸半徑、節(jié)點移動速度等相關(guān)參數(shù)對病毒傳播影響。

孫雪心，等：雙層耦合網(wǎng)絡(luò)交通驅(qū)動病毒傳播過程研究

1 理論模型

多層網(wǎng)絡(luò)由M層構(gòu)成，每層N個節(jié)點。為了簡化模型，本文取M=2，采用由一層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)和一層靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的雙層耦合網(wǎng)絡(luò)。兩層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點一一對應(yīng)，即每一個節(jié)點在另一層中都存在一個副本，但擁有不同的鄰居節(jié)點。

動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型具體為在一個具有周期性邊界條件的二維正方形區(qū)域內(nèi)（正方形的邊長L=10），有N個獨立的節(jié)點隨機移動^［22］。初始狀態(tài)，所有節(jié)點隨機分布在正方形的區(qū)域。每個時間步，節(jié)點將以固定的速度v和隨機的方向δ移動。對于任何一個節(jié)點，其位置更新如下：

其中：x_i（t）和y_i（t）對應(yīng)了節(jié)點i在t時刻的x軸和y軸坐標(biāo)；Ψ_i是一個均勻分布在區(qū)間［-π，π］上的獨立隨機變量，用來描述節(jié)點的移動方向。在t時刻，節(jié)點i和節(jié)點j之間的歐式距離D_ij（t）可以計算為：

本文中靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型主要采用了Erdás-Rényi隨機網(wǎng)絡(luò)（ER網(wǎng)絡(luò)）和Barabási-Albert無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（BA網(wǎng)絡(luò)）^［23］模型。

1.1 交通模型

在交通過程中，每個節(jié)點都可以生成數(shù)據(jù)包，同時也可以傳遞數(shù)據(jù)包。在每層網(wǎng)絡(luò)上，每個時間步會產(chǎn)生R個數(shù)據(jù)包，產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包隨機選擇初始節(jié)點目的節(jié)點，數(shù)據(jù)包到達目的節(jié)點就從系統(tǒng)中刪除。排隊規(guī)則為先進先出（FIFO）。為了避免系統(tǒng)中出現(xiàn)擁堵，設(shè)置節(jié)點數(shù)據(jù)包容量和處理能力都是無限大的。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點產(chǎn)生了一個數(shù)據(jù)包，每個時間步會按照給定的路由策略向下一個節(jié)點傳送一步。

兩中層數(shù)據(jù)包采用不同的路由策略進行傳輸，路由策略如下：（1）在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)層，為了發(fā)送一個數(shù)據(jù)包，每個時間步節(jié)點會在其接觸半徑r內(nèi)對鄰居節(jié)點進行搜索。如果數(shù)據(jù)包的目的地在搜索區(qū)域內(nèi)，它將被直接發(fā)送到目的地。否則，數(shù)據(jù)包將按照指定的路由策略發(fā)送給某個鄰居。（2）在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，具體路由策略為有效路由^［24］：

其中k（x_i）為節(jié)點x_i的度，α為可調(diào)參數(shù)。當(dāng)α=1時，數(shù)據(jù)包傳輸選擇的路徑為節(jié)點度之和最小的路徑，即有效路由；當(dāng)α=0時，數(shù)據(jù)包傳輸選擇的路徑為節(jié)點數(shù)之和最小的路徑，即最短路徑。

1.2 傳播模型

在雙層網(wǎng)絡(luò)中，動態(tài)網(wǎng)絡(luò)用來模擬病毒層，病毒在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)上傳播，靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)用來模擬信息層，與病毒有關(guān)的信息在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上傳播。本文采用易感-感染-易感（SIS）模型^［18］來描述病毒傳播，未知-已知-未知（UAU）模型來描述信息傳播。在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點存在兩種狀態(tài)：易感態(tài)（S）和感染態(tài)（I），靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)層中節(jié)點中也存在兩種狀態(tài)：未知態(tài)（U）和已知態(tài)（A）。

對于SIS模型，病毒會隨著數(shù)據(jù)包在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的傳輸而擴散，當(dāng)一個S狀態(tài)的節(jié)點收到一個I狀態(tài)節(jié)點發(fā)送出來的包時，該S狀態(tài)節(jié)點將以β₁的概率變?yōu)镮狀態(tài)，以1-β₁的概率保持S狀態(tài)。該I狀態(tài)節(jié)點將在下一個時間步以μ₁的概率恢復(fù)到S狀態(tài)。

對于UAU模型，與SIS模型類似。當(dāng)U節(jié)點收到A節(jié)點的數(shù)據(jù)包會有β₂的概率接受到與病毒有關(guān)的信息，同時A節(jié)點會以μ₂的概率遺忘信息。其中數(shù)據(jù)包攜帶的信息可以視為與病毒防護有關(guān)的知識或者預(yù)防方法。因此，對于已知信息的節(jié)點，會對病毒層對應(yīng)的節(jié)點的感染率產(chǎn)生抑制作用，用γ（0≤γ≤1）來表示節(jié)點對病毒的抑制程度。當(dāng)病毒層節(jié)點i₁在信息層的對應(yīng)節(jié)點i₂為已知節(jié)點（A），那么i₁的感染概率則為γβ₁≤β₁。同時，感染節(jié)點（I）的對應(yīng)節(jié)點如果是未知節(jié)點（U），那么該節(jié)點會有θ的概率自我意識到病毒的有關(guān)信息，即由U狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)锳狀態(tài)。

2 模擬結(jié)果與分析

病毒經(jīng)常會隨著交通個體的移動而擴散，同時有關(guān)病毒的信息（預(yù)防方法）或者防護措施（防疫物資）也會隨著病毒擴散而傳播，ER網(wǎng)絡(luò)可以用來模擬有關(guān)病毒的知識（預(yù)防方法）在交通個體之間的傳播，BA網(wǎng)絡(luò)用來模擬防護措施（防疫物資）在交通個體間的運輸。為了研究病毒傳播-信息擴散多層網(wǎng)絡(luò)模型中病毒傳播情況，本文對病毒層和信息層不同的參數(shù)進行了研究。沒有特殊說明下，恢復(fù)概率μ₁與遺忘概率μ₂均取1，信息層路由策略采用最短路由。

2.1 信息層

首先，研究了不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的信息層中抑制度γ對系統(tǒng)中病毒傳播的影響，本小節(jié)中采用雙層網(wǎng)絡(luò)中動態(tài)網(wǎng)絡(luò)分別和ER網(wǎng)絡(luò)、BA網(wǎng)絡(luò)相耦合的情況，其中每層網(wǎng)絡(luò)N=1 000，靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)平均度K=6，數(shù)據(jù)包產(chǎn)生率R=1 000。

結(jié)果如圖1所示，其中病毒層與信息層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點N=1 000。（a）（c）信息層為ER網(wǎng)絡(luò)，（b）（d）信息層為BA網(wǎng)絡(luò)。病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)v=0.5，r=0.5，恢復(fù)概率μ₁=1，信息層自我意識概率θ=0，遺忘概率μ₂=1。

圖1展示了不同信息網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下針對不同的抑制度參數(shù)γ，病毒層病毒傳播的概率β₁和最終感染節(jié)點密度ρ_i的函數(shù)關(guān)系。參數(shù)γ說明了健康個體（易感節(jié)點）在獲得了病毒相關(guān)信息后，采取相應(yīng)防護措施后獲得的免疫程度，γ=0為完全免疫，γ=1為完全不免疫。從圖1可以看出，在雙層網(wǎng)絡(luò)上SIS-UAU模型中，不論信息層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是ER或是BA，隨著γ的減小，病毒傳播閾值β^c₁逐漸增大，這是由于采取保護措施后，獲得信息的節(jié)點（A）所對應(yīng)的節(jié)點的感染概率β₁小于未得到信息節(jié)點（U）的感染概率。對于不同的信息傳播概率β₂，在ER網(wǎng)絡(luò)除去完全不免疫情況（γ=1）下，當(dāng)γ=0.5時，β₂=0.5時的β^c₁=0.06，β₂=1時β^c₁=0.07；當(dāng)γ=0時，β₂=0.5時的β^c₁=0.11，β₂=1時β^c₁=0.16。BA網(wǎng)絡(luò)也會有同樣的現(xiàn)象。由此可以看出，相比信息傳播概率β₂=0.5時，β₂=1時病毒傳播概率閾值β^c₁較大。模擬結(jié)果與現(xiàn)實情況相符，即采取相關(guān)的預(yù)防措施可以有效地抑制病毒傳播。同時，對于不同程度的預(yù)防措施（不同γ值），采取強力的預(yù)防措施（小γ值）可以更加有效的抑制病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播。研究還發(fā)現(xiàn)與節(jié)點完全不免疫（γ=1）相比，當(dāng)節(jié)點存在免疫（γ≠1）時，隨著γ的逐漸減小，不僅增大了病毒的傳播閾值，而且可以顯著降低病毒層最終感染節(jié)點密度ρ_i。因此，采取有效的預(yù)防措施不僅可以抑制病毒的傳播，同時還可以控制病毒的傳播規(guī)模。對于圖1（a）和（b）更進一步分析可以得到在γ=1時，閾值β^c₁和最終感染節(jié)點密度基本相同，這是因為γ=1時已知信息的節(jié)點對病毒處于完全不免疫狀態(tài)，病毒傳播取決于病毒層網(wǎng)絡(luò)。隨著γ的減小，ER網(wǎng)絡(luò)BA網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播閾值逐漸增大，最終感染節(jié)點密度逐漸減小。當(dāng)γ=0，已知信息的節(jié)點對病毒完全免疫時，BA網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播閾值（β^BA₁=0.92）會小于ER網(wǎng)絡(luò)（β^ER₁=0.11）。這主要是因為信息傳播采用的最短路由及BA網(wǎng)絡(luò)特性導(dǎo)致的，BA網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度特性會使得網(wǎng)絡(luò)中存在度比較大的節(jié)點，一般稱其為hub節(jié)點。最短路由會使信息傳輸主要集中在hub節(jié)點，已知信息節(jié)點因此變少，病毒傳播閾值相對于ER網(wǎng)絡(luò)會更小。

接下來本文研究了病毒層對信息層的反饋，自我意識概率θ與病毒層最終感染密度的函數(shù)如圖2所示。其中病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)v=0.5，r=0.5，恢復(fù)概率μ₁=1，信息層信息傳播概率β₂=0.5，遺忘概率μ₂=1。圖1（a）、（b）中γ=0.5。

圖2（a）、（b）分別展示了不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下不同自我意識率θ情況下病毒傳播概率β₁與最終感染節(jié)點比例ρ_i的函數(shù)關(guān)系，圖2（c）、（d）展示了不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下θ和ρ_i的函數(shù)關(guān)系。由圖2（a）和（b）可以看出在ER和BA網(wǎng)絡(luò)兩種情況下，BA網(wǎng)絡(luò)病毒傳播閾值β^BA₁與ER網(wǎng)絡(luò)病毒傳播閾值β^ER₁都約為0.06，θ不論對病毒傳播閾值或是最終感染節(jié)點密度的影響都呈現(xiàn)出相似的趨勢和數(shù)據(jù)。從圖2（c）和（d）可以看出，不論信息層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是ER或是BA，當(dāng)系統(tǒng)處于完全抑制狀態(tài)時（γ=0），此時病毒層最終感染節(jié)點密度ρ_i會隨著自我意識率的增加而減小，這說明在完全抑制狀態(tài)下，隨著自我意識率θ的增大，會有效抑制病毒的感染規(guī)模。而當(dāng)系統(tǒng)處于非完全抑制狀態(tài)（γ≠0）時，自我意識率θ對病毒傳播的影響相對較小。這也與文獻［20］的研究結(jié)果相似。

為了更進一步分析信息層網(wǎng)絡(luò)對于病毒傳播的影響，本文研究了信息層為BA網(wǎng)絡(luò)下不同信息傳播路由的影響，其中E代表有效路由，S代表最短路由，病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)v=0.5，r=0.5，恢復(fù)概率μ₁=1，信息層信息自我意識概率θ=1，遺忘概率μ₂=1。

圖3研究了信息層不同路由策略對病毒傳播的影響，首先可以看出不論γ的變化，最短路由下病毒傳播概率閾值β₁都大于有效路由閾值，這主要是因為相較于最短路由，在有效路由的條件下，數(shù)據(jù)包的傳輸會有意繞開BA網(wǎng)絡(luò)中存在的hub節(jié)點，從而hub節(jié)點獲得信息的幾率降低，信息擴散會比最短路由慢，進而導(dǎo)致有效路由下獲得信息的節(jié)點密度要小于最短路由條件下的密度，所以有效路由的病毒傳播閾值會小于最短路由。進一步可以看出，當(dāng)β₁gt;0.1時，兩種不同路由會有相近的最終感染節(jié)點密度ρ_i，說明信息層不同路由會對病毒傳播閾值有明顯影響，但對于病毒感染規(guī)模影響較小。當(dāng)γ=0時，最短路由下病毒傳播閾值β₁約為0.09，有效路由閾值β₁約為0.08，當(dāng)γ=1時，β^s₁=0.05，β^E₁=0.04。即隨著γ的增加，兩種路由的閾值都會逐漸減小，這與圖1所得的結(jié)果相符。

1.2 病毒層

除了信息層對病毒傳播的影響之外，病毒層中動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)也會對病毒傳播產(chǎn)生影響。接下來本文研究了病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中相關(guān)參數(shù)對病毒傳播的影響。

為了方便研究，本節(jié)固定信息層靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)β₂=0.5，γ=0.5。

從圖4可以看出，隨著動態(tài)網(wǎng)絡(luò)v的增加，病毒傳播閾值β^c₁會逐漸減小，是因為隨著動態(tài)網(wǎng)絡(luò)移動速度v的增加，節(jié)點會有更多的機會與其他節(jié)點接觸，意味著感染節(jié)點會更容易與易感節(jié)點連接，病毒會更容易從感染節(jié)點擴散向其他節(jié)點，造成系統(tǒng)病毒傳播閾值降低。同時β₁會隨著動態(tài)網(wǎng)絡(luò)r的增加而增加。在之前的楊涵新^［22］的相關(guān)研究中已經(jīng)表明在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)上交通驅(qū)動的病毒傳播閾值與旅行時間成反比，隨著r的增加，動態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點會有更多的鄰居，數(shù)據(jù)包會更容易傳輸?shù)侥康牡兀敲磾?shù)據(jù)包在網(wǎng)絡(luò)中的旅行時間會更少，途徑的節(jié)點數(shù)會更少，所以感染節(jié)點會有更小的概率去感染易感節(jié)點，系統(tǒng)病毒傳播閾值增加。

3 結(jié)論與討論

本文在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)耦合的雙層網(wǎng)絡(luò)上，探討了交通驅(qū)動的病毒傳播SIS模型和交通驅(qū)動的信息傳播UAU模型之間的相互作用，提出了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的交通驅(qū)動病毒信息交互（SIS-UAU）模型。假設(shè)病毒和信息分別在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)和靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上傳播，交通過程完全獨立，傳播過程是相互影響的。在傳播過程中，兩層的影響通過節(jié)點的病毒抑制度γ和感染節(jié)點自我意識概率θ來控制。研究發(fā)現(xiàn)，節(jié)點的病毒抑制度γ和信息層的傳播概率β₂對控制病毒層的傳播閾值以及病毒感染規(guī)模都非常有效，但節(jié)點的自我意識對傳播閾值的影響較小，當(dāng)γ=0時，θ對控制最終態(tài)感染節(jié)點數(shù)量有顯著作用。調(diào)整信息層的路由策略，發(fā)現(xiàn)信息層不同的路由策略同樣可以對傳播閾值有著顯著的影響。還通過調(diào)整病毒層動態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點移動速度v和接觸半徑r，探討了疫情傳播與交通動態(tài)之間的相互作用。

本文揭示了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的雙層網(wǎng)絡(luò)上病毒傳播過程和交通過程相互作用的動態(tài)規(guī)律，希望對抑制交通網(wǎng)絡(luò)上病毒傳播機制的研究有所幫助。

參考文獻：

［1］龔凱. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的社區(qū)動力學(xué)研究及應(yīng)用［D］. 成都： 電子科技大學(xué)， 2014.

［2］李樹彬， 吳建軍， 高自友， 等. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的交通擁堵與傳播動力學(xué)分析［J］. 物理學(xué)報， 2011， 60（5）： 146-154.

［3］凌翔. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上交通過程的動態(tài)特性研究［D］. 合肥： 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2011.

［4］劉剛， 李永樹. 基于引力約束的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)擁塞問題研究［J］. 物理學(xué)報， 2012， 61（10）： 511-519. DOI： 10.7498/aps.61.108901.

［5］鞏永旺. 考慮個體行為的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)病毒傳播研究［D］. 南京： 南京郵電大學(xué)， 2014.

［6］PASTOR-SATORRAS R， VESPIGNANI A. Epidemic spreading in scale-free networks［J］. Physical Review Letters， 2001， 86（14）： 3200-3203. DOI： 10.1103/physrevlett.86.3200.

［7］MELONI S， ARENAS A， MORENO Y. Traffic-driven epidemic spreading in finite-size scale-free networks［J］. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America， 2009， 106（40）： 16897-16902. DOI：10.1073/pnas.0907121106.

［8］YANG H X， WANG B H. Traffic-driven epidemic spreading on scale-free networks with tunable degree distribution［J］. International Journal of Modern Physics C， 2016， 27（11）： 1650125. DOI： 10.1142/s0129183116501254.

［9］PU C L， LI S Y， YANG X X， et al. Traffic-driven SIR epidemic spreading in networks［J］. Physica A， 2016， 446： 129-137. DOI： 10.1016/j.physa.2015.11.028.

［10］YANG H X， WANG Z. Suppressing traffic-driven epidemic spreading by adaptive routing strategy［J］. Chaos， Solitons amp; Fractals， 2016， 93： 147-150. DOI： 10.1016/j.chaos.2016.10.012.

［11］SHAO F， ZHAO W， CHANG Z N. Suppress traffic-driven epidemic spreading in weighted network［J］. Cluster Computing， 2019， 22（6）： 14201-14206. DOI： 10.1007/s10586-018-2268-y.

［12］王冬. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對傳播動力學(xué)的影響研究［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2021.

［13］YANG H X， WANG W X， XIE Y B， et al. Transportation dynamics on networks of mobile agents［J］. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics， 2011， 83（1 Pt 2）： 016102. DOI： 10.1103/PhysRevE.83.016102.

［14］YANG H X， WANG W X， LAI Y C， et al. Traffic-driven epidemic spreading on networks of mobile agents［J］. EPL （Europhysics Letters）， 2012， 98（6）： 68003. DOI： 10.1209/0295-5075/98/68003.

［15］劉宗華，阮中遠，唐明.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播 ［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［16］RUAN Z Y， TANG M， LIU Z H. Epidemic spreading with information-driven vaccination［J］. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics， 2012， 86（3 Pt 2）： 036117. DOI： 10.1103/PhysRevE.86.036117.

［17］陳杰. 網(wǎng)絡(luò)交通仿真及其在導(dǎo)航策略和病毒傳播方面的應(yīng)用［D］. 合肥： 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2021.

［18］王志雙. 雙層耦合網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為與擴散動力學(xué)研究［D］. 天津： 天津理工大學(xué)， 2021.

［19］GRANELL C， GóMEZ S， ARENAS A. Dynamical interplay between awareness and epidemic spreading in multiplex networks［J］. Physical Review Letters， 2013， 111（12）： 128701. DOI： 10.1103/PhysRevLett.111.128701.

［20］VELáSQUEZ-ROJAS F， VENTURA P C， CONNAUGHTON C， et al. Disease and information spreading at different speeds in multiplex networks［J］. Physical Review E， 2020， 102（2-1）： 022312. DOI： 10.1103/PhysRevE.102.022312.

［21］MA W C， ZHANG P， ZHAO X， et al. The coupled dynamics of information dissemination and SEIR-based epidemic spreading in multiplex networks［J］. Physica A， 2022， 588： 126558. DOI： 10.1016/j.physa.2021.126558.

［22］楊涵新. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的若干動力學(xué)研究［D］. 合肥： 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2011.

［23］BARABASI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks［J］. Science， 1999， 286（5439）： 509-512. DOI： 10.1126/science.286.5439.509.

［24］YAN G， ZHOU T， HU B， et al. Efficient routing on complex networks［J］. Physical Review E， 2006， 73（4）： 046108. DOI： 10.1103/physreve.73.046108.