實踐驗證結(jié)論探

作者簡介：趙向榮（1978—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學與研究工作.

[摘 要] “三角形的內(nèi)角和”作為蘇科版七年級下冊的內(nèi)容，與小學知識銜接緊密，其中的內(nèi)角和定理是幾何推理的重要依據(jù). 教學中教師要注重論證過程，設(shè)計豐富的活動，引導學生探究論證. 文章圍繞定理核心，開展說理論證，探討教學實踐.

[關(guān)鍵詞] 三角形;內(nèi)角和;定理;證明

三角形的內(nèi)角和是初中數(shù)學三角形部分的重要內(nèi)容，是后續(xù)角度推理、計算的依據(jù). 學生在小學階段通過觀察操作已經(jīng)了解到三角形的內(nèi)角和為180°，而初中階段教學的重點是探索證明三角形的內(nèi)角和定理，即引導學生從感性認識上升到深層的理性認識. 因此教學的重點是關(guān)于定理的推理與證明過程，下面開展教學探討，探究活動設(shè)計.

設(shè)計豐富活動，引導學生認知

“三角形的內(nèi)角和”章節(jié)知識銜接了小學與初中知識，同時學生已經(jīng)掌握了三角形的相關(guān)知識. 關(guān)于三角形的內(nèi)角和定理教學，教師可以從如下兩方面來引入：一是直接給出三角形，讓學生回顧三角形內(nèi)角和的度數(shù)，喚起舊知;二是展示實際問題，讓學生提出解題思路，具體如下.

1. 知識回顧，調(diào)動舊知

如圖1所示，△ABC是我們所熟悉的三角形，那你們還記得三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？

設(shè)問：對于三角形內(nèi)角和的結(jié)論，大家有哪些證明方式？

學生在小學階段通過裁剪、拼接得到了“三角形的內(nèi)角和為180°”這一結(jié)論，教學中教師可以引導學生回顧此方法，通過小組討論，展示更多的拼接方法.

2. 實例引入，啟發(fā)思考

問題：如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).

設(shè)問：求∠ADB的度數(shù)時，具體的求解思路是什么？請說理理由.

教學引導：根據(jù)已知條件，我們可以得到，在△ADB中，∠B=75°，∠DAB=20°，所以需要借助三角形的內(nèi)角和來進行計算. 此時教師可以引導學生思考求解依據(jù)，從而引出三角形的內(nèi)角和知識.

立足學生的知識起點構(gòu)建新知，喚醒學生的認知，可以充分調(diào)動學生的探究熱情. 在教學中，教師要注重說理引導，即讓學生思考如何證明，為后續(xù)的推理探究做鋪墊.

實踐探究說理，完成定理證明

三角形的內(nèi)角和定理是初中幾何重要的定理，對于定理的說理教學，建議教學時分三個階段來開展：第一階段，直觀的幾何感知;第二階段，實踐幾何體驗;第三階段，嚴謹?shù)膸缀握撟C.

1. 直觀感知

“直觀感知”環(huán)節(jié)需要教師引導學生觀察圖形，初步做出判斷. 故教學中學生可借助量角器來測量角. 如教師給出如圖3所示的△ABC紙板，讓學生用量角器分別測量三個內(nèi)角，計算角度之和，并完成表1.

實際測量是驗證三角形內(nèi)角和最為直接的方法，學生可直觀感知結(jié)論，但測量存在誤差，教學中教師要注意引導學生小組交流，共享結(jié)論并做出判斷.

2. 實踐體驗

“實踐體驗”環(huán)節(jié)可同樣借助紙板裁剪拼接的方式，讓學生通過動手操作來做出準確的判斷. 當然，學生拼圖的方式存在一定的差異，教學中教師要引導學生進行對比思考.

活動：請將如圖3所示的△ABC的三個內(nèi)角撕下，然后將三個內(nèi)角的頂點拼接在點B處.

設(shè)問：（1）所形成的新角的兩邊是否在同一條直線上？你有何猜想？（2）拼圖的本質(zhì)是什么？

實踐操作時，學生可能會拼出如圖4所示的兩種圖案. 教學中，教師要引導學生關(guān)注pvBjQ+rMOeWapGJbvMOBww==新角的兩邊在同一條直線上，故可驗證三角形的內(nèi)角和為180°. 教師還可以讓學生在任意頂點處進行拼接，從中獲得啟示. 此外，教師要注意引導學生關(guān)注拼圖的本質(zhì)，即三角形內(nèi)角的等角轉(zhuǎn)移，在平面內(nèi)的同一點處構(gòu)成平角.

3. 嚴謹論證

“嚴謹論證”環(huán)節(jié)需要教師引導學生用數(shù)學的公式定理、方法思路來加以證明. 該環(huán)節(jié)同樣需要依托上述裁剪拼接實驗，通過作輔助線、設(shè)點的方式來構(gòu)建模型，實現(xiàn)問題的數(shù)學化. 故教學中教師要引導學生作輔助線，把握圖形的關(guān)鍵點，并進行邏輯推理.

活動：根據(jù)圖4來作輔助線，并設(shè)定新角的頂點，作出如圖5所示的數(shù)學模型. 思考圖5模型中有哪些等角，如何證明三角形的內(nèi)角和為180°.

教學時教師要引導學生從拼圖中獲得等角關(guān)系，再借助模型中的平角推得結(jié)論. 基于圖4所示的兩種方案，學生可以得到對應的圖形，根據(jù)圖形特征即可進行證明. 教學時教師可針對圖5引導學生逐個分析.

證法1：如圖5①所示，過點B作AC的平行線EF. 因為AC∥EF，所以∠CBF=∠C，∠ABE=∠A. 因為∠CBF+∠ABC+∠ABE=∠EBF=180°，所以∠C+∠ABC+∠A=180°，即△ABC的內(nèi)角和為180°.

證法2：如圖5②所示，延長AB至點E，再過點B作BF∥AC. 已知BF∥AC，所以∠CBF=∠C，∠FBE=∠A. 因為∠ABC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°，所以∠ABC+∠C+∠A=180°，即△ABC的內(nèi)角和為180°.

上述針對剪裁拼接構(gòu)建了數(shù)學模型，利用幾何的分析方法和思路構(gòu)建了證明過程，教學中教師要引導學生關(guān)注過程中的邏輯關(guān)系和推理步驟，即由“圖案”抽象“模型”，由“特性”提取“條件”，由“已知”推導“未知”，過程分析要有理有據(jù).

以上述“證法2”的推理過程為例，教師要讓學生針對每一步進行說理，使學生充分理解其中的數(shù)理邏輯.

第一步，延長AB至點E，再過點B作BF∥AC——作圖過程.

第二步，已知BF∥AC——作圖所得.

第三步，可得∠CBF=∠C——兩直線平行，內(nèi)錯角相等;∠FBE=∠A——兩直線平行，同位角相等.

第四步，因為∠ABC+∠CBF+∠FBE=∠ABE=180°——平角的定義.

第五步，所以∠ABC+∠C+∠A=180°——等量代換.

開展多樣實踐，實現(xiàn)結(jié)論一般化

三角形的內(nèi)角和定理是幾何中的重要定理之一，在前面的教學過程中，教師引導學生通過拼圖推理完成了證明，但從探究過程來看，并不具有一般性，學生很容易產(chǎn)生“是否其他三角形的內(nèi)角和不符合180°”“三角形中邊的長度變化是否會影響其內(nèi)角和”等疑惑. 故實際教學時，教師有必要設(shè)計豐富的探索活動，讓學生深入感悟三角形的內(nèi)角和定理. 實踐教學時建議教師從如下兩方面來進行探究：一是對三角形進行拼接組合;二是改變?nèi)切沃羞叺拈L度.

1. 疊圖組合，一般性探究

活動：將一張長方形紙片按照圖6所示的方式對折兩次，再在紙片上繪制一個一般的三角形，如圖7所示，剪下后可獲得如圖8所示四張形狀、大小相同的三角形紙片.

思考：用圖8所示的四張小三角形紙片能否拼成一個大的三角形？這個大的三角形的內(nèi)角和是否依然是180°？請說明理由.

教學引導：教師引導學生將四張三角形紙片按照圖9所示的方式拼接. 由于四張三角形紙片完全相同，故其內(nèi)角相當于由四張小三角形紙片的內(nèi)角組合而成，從而使學生感知到任意三角形的內(nèi)角和均為180°.

教學中教師可引導學生根據(jù)上述組合思路來作圖，即過△ABC三邊上任意一點作另外兩邊的平行線，將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到頂點均在邊上的一點處，從而構(gòu)建平角，如圖10所示. 探究驗證時，教師可利用平行線的性質(zhì)來等角轉(zhuǎn)化，使學生感知到：任意三角形的三個內(nèi)角均可以構(gòu)建平角，即任意三角形的內(nèi)角和為180°.

2. 動態(tài)探索，拓展性思考

如圖11所示，△ABC的邊AC所在直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中射線AC與射線BC分別交于點C1，C2，C3，…

設(shè)問1：在直線AC的旋轉(zhuǎn)過程中，三角形的哪些內(nèi)角大小發(fā)生了變化？

設(shè)問2：度量∠BAC1和∠AC1B并求它們的和，度量∠BAC2和∠AC2B并求它們的和……大家有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)問3：當直線AC繞點A旋轉(zhuǎn)到與直線BC平行時（即旋轉(zhuǎn)到圖11中的AC′位置時），度量∠BAC′的度數(shù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

教學引導：教學中教師引導學生關(guān)注旋轉(zhuǎn)過程中，三角形的兩個內(nèi)角變化，即∠BAC逐漸變大，∠ACB逐漸變小，但兩角之和始終保持不變. 而當直線AC繞點A旋轉(zhuǎn)到與直線BC平行時（即旋轉(zhuǎn)到圖11中的AC′位置時），∠BAC′的度數(shù)與前面兩角之和相等.

對于動態(tài)變化中三角形的內(nèi)角和為180°這一結(jié)論的證明，教師可以采用幾何推理的方式，即當AC′∥BC時，有∠CAC′=∠C，∠BAC′+∠B=180°. 因為∠BAC′+∠B=∠BAC+∠B+∠C，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，從而完成證明.

用運動變換的觀點來探究證明三角形的內(nèi)角和，更貼近實際，演繹推理合情合理. 旋轉(zhuǎn)過程中三角形的內(nèi)角會發(fā)生變化，但結(jié)論一致，這能讓學生更加深刻地體會定理. 同時，這種探究方式可以幫助學生積累探究經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)學思維.