選編“形異質同”題

作者簡介：李井凡（1979—），本科學歷，中學一級教師，從事中學數學教育教學工作.

[摘 要] 傳統的幾何專題課有開放式專題課、數學思想方法的專題課、閱讀理解專題課等，近年來以“一圖一課”“微專題課”等為代表的專題教學漸漸得到很多教師的實踐與研究. 這類課型主題聚焦，求深、求透，能有效提升解題教學效率.

[關鍵詞] “形異質同”;幾何專題課;一圖一課;回顧反思

近年來幾何專題課得到不少教師的關注和研究，這類專題課常常聚焦某一個基本圖形或某一類設問方式，切口較小，有教師將其描述為“微專題課”“一圖一課”等. 下面是筆者整理的最近在備課組內開設的一節“探究兩條線段之間的數量關系”專題研討課的教學流程，并跟進了一些教學思考，供大家研討.

“探究兩條線段之間的數量

關系”專題課教學流程

教學環節1：從經典問題出發

問題1：如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，連接對角線BD，作∠CBD的平分線交CD于點E.

（1）求證：DE=CE.

（2）過點D作DH⊥BE，交BC的延長線于點G，垂足為H.

①求證：H是DG的中點;

②若BH上有一點P，滿足PB=PD，探究PD與BE之間的數量關系，并說明理由.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（12期）＼2023數學教學通訊中旬（12期） c＼12-165.tif>[圖1][B][D][C][E][A]

解法預設與教學組織：教師出示正方形ABCD之后，不要急于出示小問，可以先讓學生回顧基礎問題“若正方形ABCD的邊長為1，求其對角線BD的長”，然后依次研究第（1）（2）問. 對于第（1）問，學生可以有不同的解法，比如面積法、角平分線的性質等，教師可以通過追問讓學生分享他們的不同思路. 對于第（2）①問，需要學生補全圖形后，證明△BDH≌△BGH，從而得H是DG的中點;對于第（2）②問，當點P滿足PB=PD時，可知△PDH是等腰直角三角形，從而得PD=DH，結合△BCE≌△DCG，可得BE=DG=2DH，于是BE=PD.

教學環節2：以正方形為背景的題組

問題2：如圖2所示，正方形ABCD的對角線BD所在直線可以看成正方形ABCD的一條對稱軸.

（1）畫出正方形ABCD的所有對稱軸.

（2）如圖3所示，以點B為圓心、BC的長為半徑的圓弧交其中一條對稱軸于點E，連接OE，DE.

①求∠DCE的度數;

②分析OE與DE之間的數量關系.

解法預設與教學組織：第（1）問比較基礎，讓學生從軸對稱的角度思考正方形問題，這為第（2）①問構造并發現等邊三角形BCE做鋪墊，于是可得∠DCE=30°. 解決第（2）②問的關鍵是將解題目光聚焦在△DEO中，分析出該三角形有兩個特殊的銳角30°，45°，從而想到過點E作EH⊥DO，垂足為H，得到DE=OE.

教學環節3：以等腰直角三角形為背景的綜合題

問題3：如圖4所示，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，AC=BC，連接AP，BP，CP，將線段CP繞點C順時針旋轉90°后得到線段CP′，連接PP′，AP′.

（1）求證：∠CAP′=∠CBP.

（2）當∠APB=135°時，

①求∠PAP′的度數;

②若Q為AB的中點，連接PQ，分析PQ與PP′的數量關系，并說明理由.

解法預設與教學組織：第（1）問只需證明△ACP′≌△BCP即可. 第（2）①問可運用第（1）問得到的結論，將求∠PAP′的度數轉化為求∠PAC+∠PBC，再借助△ABC中一個重要的“二級結論”——∠APB=∠PAC+∠PBC+∠ACB得到∠PAP′的度數為45°. 對于第（2）②問，有不同的構造思路，如圖5所示，延長PQ到點M，使MQ=PQ，連接BM，接下來重點攻克△APP′≌△BMP，條件可找“BM=AP，BP=AP′，∠PAP′=∠MBP=45°”. 順便指出，如果延長PQ到點M，使MQ=PQ，連接AM，則可證△APP′≌△APM，條件類似. 以上方法可看成“倍長中線”法. 還可以延長AP到點G，使PG=AP，連接GB，則GB=2PQ，再證△APP′≌△PGB，得GB=PP′，代換即可得到結論.

教學環節4：回顧反思，布置作業

小結問題1：在本課學習中，你積累了哪些基本圖形及性質？請舉例.

小結問題2：請結合本課所學習的“問題1～3”，挑選其中某個你認為比較有挑戰的問題，將其稍作改編，提出一個不同的問題，先在組內交流，組內討論后選一個問題在全班展示.

布置作業：

1. 如圖6所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧，交BA的延長線于點E，過點A作AD∥BC，交于點D，連接CD，分析AD，CD之間的數量關系.【對應“問題2”的第（2）問】

2. 如圖7所示，P為等邊三角形ABC內一點，且∠BPC=120°，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉60°后得到AP′，連接PP′，BP′. 設Q為邊BC的中點，連接PQ，分析PQ與AP之間的數量關系，并說明理由.【對應“問題3”的第（2）問】

對幾何專題課的教學思考

1. 幾何專題課的備課素材重在平時歸類收集

教師在平時的解題研究中要注重對同類問題（同類方法、同類設問等）進行歸類收集，待到要開設幾何專題課時，這些學材就能很快找齊. 對于專題課來說，最有價值的是將一些“形異質同”問題關聯在一起開展教學，這樣能提高學生的解題能力，能促進學生識別具有相同或相近深層結構問題的能力.

2. 幾何專題課的教學流程應該由易到難展開

開展幾何專題課教學時，教師宜先從學生熟悉的經典問題出發，讓更多的學生在開課階段便能理解、參與，然后進行一些變式、提升與拓展，把學生的思維卷入有挑戰的課堂問題中. 教師在課前預設的一些鋪墊問題有時可以“密集”一些，但是在實際教學時要根據學生的學情相機呈現，比如學生的學情較好時，有些鋪墊問題就不急于給出，而是要讓學生獨立面對挑戰，如果有少數優秀學生能貫通思路，則教師可以通過追問暴露其思維過程，讓那些理解稍慢的學生也能跟上班級節奏. 這里可提及印發給學生的“學案”的設計技巧. 一般來說，像上文課例中的“問題”的“題干”和“基礎圖形”均可以印制在“學案”上，但是后續設問一般不“和盤托出”，而是借助課件漸次呈現或相機出示，這樣的學案就是所謂的“留白式學案”.

3. 幾何專題課的小結與作業布置要精心預設

曹才翰、章建躍兩位先生在《中學數學教學概論（第二版）》一書中關于解題教學曾指出：“在解題過程中，關鍵是能靈活地將問題轉化為自己熟悉的表述方式，而轉化的過程就是尋找問題的條件、結論的等值語言表示，連接相關通道的過程. 因此，加強‘多元聯系表示’思想的運用是提高解題能力的基本途徑”. 從上文課例中可以看出，幾何專題課同樣需要教師精心預設課堂小結. 上文課例運用兩個小結問題，促進學生全面回顧、反思本課所學，特別是“小結問題2”，更是讓學生參與問題的設計與改編. 想來，這也是在積極實踐“多元聯系表示”思想吧！