提煉思想方

作者簡介：宋曉東（1975—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.

[摘 要] 微專題課以建構知識體系、強化知識理解、探究數學本質為目標，能夠有效提升學生的數學學習能力. 教師應認真研究教材，深入理解試題本質，采用靈活的教學方法逐層引導學生進行探究，使學生在掌握數學知識的同時有效發展思維能力，從而落實核心素養.

[關鍵詞] 數學思想;微專題課;核心素養

試題是數學知識的載體，在解題應用中能夠深化學生對知識的理解，能提升學生運用知識的能力，但是數學學習不能陷于解題的窠臼，使學生淪為解題的“機器”. 教師要善于在解決問題中引導學生總結思想方法，抓住數學本質，使學生真正掌握知識的內涵，學會研究的方法，從而落實核心素養的培養. 微專題課以相似的數學知識為教學內容，以專題研討的教學模式迅速幫助學生建構知識體系，以實現高效學習.

何謂微專題研討課

數學微專題課是將知識體系、思想方法相互關聯的內容作為一個專題進行專項研討的課程. 微專題課程首先要確定研究的專題，并選擇能夠反映專題研究目標的典型試題，進行循序漸進、由表及里的探究，同時進行相應的鞏固練習和變式提升，使學生逐漸掌握數學研究的思想方法，落實核心素養的培養目標. 微專題課對于學生解決同類問題，幫助學生抓住數學本質特征，建構數學模型起著關鍵性的作用，是提升學生數學能力的重要手段.

本文以二次函數試題為抓手，開展“拋物線的幾何性質”專題研討課，滲透數學思想方法，幫助學生更加深入地理解拋物線的知識，提升知識運用能力.

教學活動

1. 操作實踐，導入課題

問題：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為一條拋物線，我們已經熟知二次函數的解析式和相關性質，如頂點、對稱軸以及拋物線的增減性等. 那么二次函數的圖象還具有哪些性質和特征呢？拋物線究竟是一條怎樣的曲線？下面讓我們通過操作來進行探究.

操作1：如圖1所示，將一張紙進行折疊，使折疊后的點A，B，C，D，E，G，H，M，N分別與點F重合，折痕分別與直線a，b，c，d，e，g，h，m，n相交于點A，B，C，D，E，G，H，M，N.

學生紛紛動手操作.

師：觀察折疊后的紙張，假設我們用光滑的曲線將這些點連接起來，能夠得到什么樣的曲線呢？

生1：像一條拋物線.

師：是的，讓我們進一步觀察紙張的折痕和點A，B，C，D，E，G，H，M，N，請問這些折痕和點具有怎樣的幾何特征？

生2：折疊之后的每條折痕分別是線段AF，BF，…，NF的垂直平分線，因此可以得到AA與AF相等，BB與BF相等，……，NN與NF相等.

師：講得非常好，下面我們用幾何畫板將剛才的操作過程還原出來.

操作2：如圖2所示，現在有一個定點F和一條不經過點F的定直線l. 首先在直線l上取一個點H，連接HF，接著作HF的垂直平分線m;再次，過點H作直線l的垂線HM，與垂直平分線m相交于點M;最后連接MF.

師：假設我們移動點M，這些點M滿足怎樣的幾何條件？移動的點M形成了一條怎樣的曲線？

生3：我們發現MH與MF相等，并且點M在平面上形成了一條拋物線.

師：你觀察得非常仔細. 根據剛才的操作和觀察，我們可以將拋物線進行如下定義——平面內有一個定點F和不經過點F的直線l，與這一定點和直線距離相等的點的集合便為拋物線.

設計意圖 本環節通過兩個操作活動將學生引入學習拋物線的狀態. 學生通過自己的實際操作，對拋物線產生了更加直觀的認識，進一步了解了拋物線的形成，初步建構起了拋物線的幾何模型，這就為接下來進一步研討拋物線的性質奠定了基礎.

2. 數形結合，建構模型

師：研究拋物線的性質時，我們通常采用數形結合的方式，通過建立平面直角坐標系來求拋物線的函數解析式，將幾何與代數進行相互轉化，通過“數”的計算，將“形”與“數”相結合. 那么，我們應該建立什么樣的平面直角坐標系才更加符合要求呢？

生4：如圖3所示，我們可以根據函數y=ax2建立平面直角坐標系的方式，利用經過點F并且與直線l相垂直的直線FP（點P在直線l上）為y軸，將線段FP的垂直平分線作為x軸建立平面直角坐標系，由此拋物線的頂點便落在坐標原點.

師：非常好！現在我們能否根據拋物線的幾何性質求拋物線的解析式？

生5：我們可以設點F的坐標為（0，p），直線l的解析式為y=-p，點M（x，y）是拋物線上的任意一點，根據MF與MH相等，可以得到（x-0）2+（y-p）2=（y+p）2，化簡后可以得到拋物線的解析式為y=x2.

師：解答得非常好，根據這個解析式我們可以知道這是一個二次函數. 當然，我們還要注意，建立平面直角坐標系的方法是不唯一的，我們還可以將EF所在的直線作為x軸，將直線l作為y軸建立平面直角坐標系.

設計意圖 本環節引導學生通過數形結合的方式求拋物線的解析式，將“數”與“形”的結合進行了具體的應用，初步滲透了數學研究的思想，不僅讓學生掌握了求解函數解析式的方法，而且讓學生初步掌握了圖形問題中的數學運算思想.

3. 探究性質，深刻理解

（1）幾何性質1

師：拋物線還有哪些幾何性質呢？下面我們一起來探究. 如圖4所示，過點F（0，p）的直線與拋物線相交于A，B兩點. 假設AB與x軸平行，連接AP，BP，你可以得到哪些結論？

生6：我們可以得到線段AF與BF相等，AP與BP相等，∠APF與∠BPF相等.

師：如圖5所示，過點F（0，p）的直線與拋物線相交于A，B兩點. 假設直線AB與x軸不平行，那么上述結論還成立嗎？

生6：只有∠APF與∠BPF相等這個結論可能成立.

師：由題意我們可以得到拋物線的解析式為y=x2，直線AB的解析式為y=kx+p（k≠0），于是設點A的坐標為

x，

，點B的坐標為

x，

. 我們能證明∠APF與∠BPF相等嗎？

生7：根據全等三角形或者銳角三角函數值來進行說明. 因為tan∠APF==-，tan∠BPF==，所以我們只需要證明這兩個角的正切值是否相等，即證明tan∠APF=tan∠BPF能否成立.

師：那么怎么驗證這兩個角的正切值是否相等呢？

生7：根據剛才的分析，我們已經將兩個角的正切值表示出來了，那么我們只要用作差法進行證明就可以了，即證明--=0是否成立.

師：這種方法是我們常用的一種證明方法，但是由這個算式我們可以看到計算量非常大，似乎很難求解. 那你們還有其他的計算方法嗎？

生8：證明兩個角的正切值相等也可以通過作商來比較，即證明=-=1是否成立.

師：這個算式讓我們想到了什么？

生8：想到了韋達定理. 聯立方程

y=x2，

y=kx+p， 化簡后可以得到x2-4pkx-4p2=0，于是有x+x=4pk，xx=-4p2. 所以=-==1. 所以∠APF與∠BPF相等.

（2）幾何性質2

師：拋物線的性質還不止于此，根據拋物線上點的坐標的特殊性，我們還能繼續探究它的其他性質. 如圖6所示，經過點A作直線l的垂線AC，垂足為C，連接OC，OB，你發現C，O，B三點之間具有怎樣的關系了嗎？

生8：我們可以通過證明點C的坐標符合直線OB的函數解析式，得到C，O，B三點共線這一結論.

師：很好，你能說一說證明過程嗎？

生8：由題意可知點C的坐標為（x，-p），直線OB的解析式為y=x，對于y=x，令x=x，可得y===-p，所以點C在直線OB上，即C，O，B三點共線.

師：非常好，除此之外，還有其他的證明方法嗎？

生9：我們還可以通過三角形相似的性質或者斜率來進行證明.

（3）幾何性質3

師：如圖7所示，過點B作BD⊥l，垂足為D，你能用剛才的類似證明方法證明線段AC，FP，BD之間的數量關系嗎？

學生合作討論.

生10：根據剛才證明三點共線的方法，我們也同樣可以證明A，O，D三點共線. 因為AC，OP，BD相互平行，所以有=，=. 所以+=1. 又因為FP=2p=2OP，所以AC，FP，BD之間的數量關系為+=.

設計意圖 教師進一步引導學生探究拋物線的性質，通過問題引導，由淺入深地引導學生進行深入思考. 本環節教師首先以開放性的問題引導學生展開數學猜想，緊接著引導學生進行數學證明，滲透了從猜想到論證的一般數學研究方法. 從研究角的關系到點的位置，最后到線段的數量關系，層層深入，發展學生思維的深刻性，提升了學生對問題的認識.

4. 變式練習，深度學習

如圖8所示，若拋物線的解析式為y=ax2，點Q（0，b）是y軸正半軸上任意一點，直線l的解析式為y=-b，那∠APQ與∠BPQ是否相等？C，O，B三點共線的結論還成立嗎？AC，QP，BD之間有著怎樣的數量關系？請同學們在課后進行拓展學習.

設計意圖 本環節以變式練習的形式進行知識拓展延伸，促進學生深度學習，考查學生的知識掌握情況，將課堂學習延伸到了課外，有效提升了學習效果.

5. 聯系生活，拓展延伸

假設我們在拋物線上確定一個定點F，將這一定點命名為焦點，即光線的聚焦點，由此可知，拋物線不僅具有幾何性質，還具有光學性質. 下面我們一起來觀看一個視頻，通過視頻可以知道從焦點發出的光線經過拋物線上的一個點反射后，反射得到的光線與拋物線的軸平行.

師生共同觀看視頻，發現呈自由落體的小球落在拋物面上后經過反射，能夠全部擊中鈴鐺（如圖9所示）. 在日常生活中我們看見的探照燈、汽車遠光燈等都是利用了拋物面的這一光學性質.

設計意圖 本環節將數學知識與生活進行聯系，豐富了學生的認識，使學生認識到數學知識在生活中的具體應用，激發了學生的數學學習興趣，提高了學生學習的積極性.

教學反思

微專題研討課是基于相類似的數學知識在不同試題中的應用而進行的研討，能使學生更加全面和深刻地掌握數學知識的本質，提升知識遷移能力，完善知識體系，從而實現解題能力的提升.

總之，微專題課教學要基于教學目標和學情進行設計，并選擇合適的問題以及教學模式引導學生在專題探討中獲得知識和能力的提升，并由此掌握數學思想和方法，實現數學學習能力的提升.