最值問題教學“三步走”:建模、運用與變式

作者簡介：殷成葉（1981—），本科學歷，一級教師，從事初中數學教育教學工作.

[摘 要] 中考幾何最值問題是各地熱點考題，學校備課組在復習備考期間都會加強對這類問題的復習研究.如果能將一些同類的最值問題“集中”在一起，根據由易到難、由特殊到一般的邏輯順序展開教學，并注重預設“啟發式問題”促進學生自主發現思路，這樣做不但能讓學生掌握一類最值問題的解答策略，還可以促進學生明辨形異質同的同類問題，發展學生的數學思維.

[關鍵詞] 幾何最值問題;微專題教學;形異質同;啟發式問題

中考幾何最值問題是各地中考試卷中的熱點問題，如何開展這類問題專題訓練與復習備課，成為不少學校備課組集體備課的一個重要課題. 在最近一次集體備課活動中，筆者承擔了一節中考幾何最值微專題的主備任務，經過全組教師的交流討論，最后打磨成一節具有特例引路、變式鞏固、拓展挑戰的幾何最值微專題課例. 本文整理該課教學設計，并給出教學立意的闡釋，提供研討.

教學環節1：特例出發，積累模型

問題1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點D在BC上，且BD=AC，連接AD，分析AD的最小值.

教學預設 由∠ACB=90°聯想到點C在直徑AB的圓上運動，如圖2所示，取AB的中點O，連接OC，過點B作BQ⊥AB，使BQ=OA，連接QD，可證△QBD≌△OAC，得QD=OC=QB，即點D在以Q為圓心，QB為半徑的圓弧上運動，連接AQ，則AD≥AQ-DQ=-1. 即AD的最小值為-1.

同類再練 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=AC，連接AD，當AB=4時，求AD的最小值.

教學預設 圖3與圖1相比，只是圖形位置發生了變化，本質仍然是同類問題，如果學生解答有困難，可提示他們將圖形“適當旋轉”，就可轉化為“問題1”. AD的最小值為2-2.

教學環節2：變式呈現，運用模型

問題2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC上，且BD=AC，連接AD. 分析的最小值.

教學預設 與“問題1”相比，本題沒有提供三角形的邊長，待求中，分子、分母都是“變量”，讓我們先“控制”其中一個變量AB. 取AB中點O，連接OC，過B點作BQ⊥AB，使QB=AO，連接DQ，由“問題1”的分析經驗，不妨設AB=2c，AO=BQ=DQ=c，ADS7gZyTGyvAlSkBR/cgX8lNHZj4zeAytupS26tBLnAsg=≥AQ-DQ=（-1）c. 于是AD的最值為（-1）c. 即的最小值為.

同類再練 如圖6所示，四邊形ABCD是正方形，點P在直線AD上，連接BP，CP. 分析的最小值.

教學預設 如果學生感覺有困難，預設如圖7所示的圖形位置，用虛線隱去正方形，補出垂線段PH，可發現PH=BC，這樣問題就轉化為圖4、圖5的“結構”，分析的最小值仍然是.

教學環節3：走向一般，成果擴大

問題3 如圖8所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在AC上有一點D，且CD=AB，連接BD，分析BD最小值.

教學預設 首先聯想到△ABC的外接圓，如圖9所示，設它的圓心為P，連接AP，BP，CP，可得∠BPC=2∠BAC=120°，所以BP=PC=2，過C作CO⊥BC，使OC=PB，連接OD，導角得到∠OCD=∠PBA，這樣可證△OCD≌△PBA（SAS），于是OD=PA=PB=PC=2，在Rt△BCO中，BO=4，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值為2.

變式 如圖10所示，在△ABC中，BC=2，∠A=60°，在邊AC上有一點D，且CD=AB，連接BD，分析BD的最小值.

教學預設 思路與“問題3”類似，只是構造出的△OCD∽△PBA，相似比為，這樣在Rt△BCO中，BO=，由BD+DO≥BO，可得BD的最小值為-1.

成果擴大 如圖11所示，在△ABC中，BC=a，∠BAC=θ，在邊AC上有一點D，且BD=k·AB，連接BD，分析BD的最小值（用含a，k，θ的式子表示）.

教學預設 與前面“特例圖形”的思路類似，構造如圖12所示分析，BP=，OC=k·BP，OB2=BC2+OC2=BC2

+1，進一步可求出BD=OB-OD=（-k）.

教學環節4：課堂小結，布置作業

小結問題1 本課研究的系列問題中，前后都有一定的關聯，你是如何理解它們之間的聯系的？舉例說說.

小結問題2 你對本課中哪道問題印象較深？你能否對它做一些變式，提出一個同類問題，并讓你的同桌說說解題的思路？

布置作業 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，在邊BC上有一點P，且BP=AC，連接AP，分析AP的最小值.

解法預設 構造如圖13所示，△PBO∽△CAK，則∠CAB=30°+∠CAK，∠ABC=90°-∠CAB，OP=OB=AK=2，∠ABO=∠ABC+∠PBO=90°，AO=2，AP≥AO-PO=2-2.

對于微專題教學，教師要重視同類問題的研究，要促進學生辨明“形異質同”，要善于預設“啟發式問題”.