三弧段與四弧段等距型面聯接接觸應力分析

孫紅暉，黃樹濤

（沈陽理工大學 機械工程學院，沈陽 110159）

0 引言

等距型面，即指聯接處的截面廓形曲線上任何兩條平行切線間的距離都相等。與傳統的鍵聯接相比，等距型面聯接的結構沒有形狀突變，明顯減小了應力集中，通過其非圓異形截面的軸與輪轂聯接來傳遞轉矩；在型面軸與輪轂的聯接中可以選擇間隙配合、過渡配合及過盈配合；在生產制造上，目前可以應用數控加工[1]和正交車銑[2]等加工方法完成，可減少生產成本。由于型面聯接適用于承載大、傳遞轉速高并且可以滿足高精度要求或者安裝空間小的地方[3]，國外的一些精密機床上應用頗多。作為傳動裝置的聯接部分，也可應用于汽車傳動軸聯接、石油鉆桿接頭、特定的醫療器械聯接部分等，在國內的一些大型礦山機械、農用機械中也有很多應用[4]。為研究型面聯接結構的真實應力分布，國內外學者進行了很多嘗試，在對接觸應力的分布采用假設的前提下，應用邊界元與有限元方法得出的應力分布規律基本一致[5]，應用二維1/3型面聯接模型進行靜態聯接特性分析，得出應力呈三角形分布規律[6]，優化三弧段等距型面廓形曲線小圓弧段的形狀，以減小接觸應力[7]。本文分別分析了三弧段與四弧段等距型面聯接接觸應力的分布規律，通過改變轉矩、偏心距、摩擦因數及配合間隙，分析聯接表面接觸應力的變化規律，為等距圓弧型面聯接的應用推廣提供參考。

1 有限元模型的建立

1.1 等距多邊形的數學表達

等距多邊形廓形曲線是外延曲線的一種特殊形式，形成過程為一個動圓繞著一個定圓無表面滑動地做旋轉運動，動圓內距離動圓圓心固定距離為e的點P所形成的曲線就稱為外延曲線，因為動圓、定圓半徑及距離e的不確定性，所形成的外延曲線是無限的，當選取的參數使得外延曲線不具有凹凸的分支，且選取的距離e和動圓半徑與動圓半徑之和為有限的，并與所形成的外延曲線平行，則稱此時得到的曲線為等距多邊形廓形曲線。任何一條等距多邊形曲線都可由同一個數學公式表達，圖1給出了三弧段等距廓形曲線的數學描述。

圖1 三弧段等距廓形曲線的數學描述

等距多邊形的直角坐標參數方程表達式為：

極坐標參數表達式為：

式中：dm為輪廓的公稱直徑，e為偏心距，n為圓弧個數，參數v（0≤v≤2π）為輪廓的生成變量，并且與輪廓上每個點的法線與X軸的角度相同。

圖2所示為三弧段與四弧段等距型面廓形曲線，圖中d1、d2分別為廓形曲線的外切圓與內切圓的直徑。

圖2 三弧段與四弧段等距型面廓形曲線圖

對于等距圓弧多邊形廓形曲線來說，根據聯接所需場合，首先要確定輪廓曲線的公稱直徑，然后再選取n的值，在公稱直徑與n值確定后，為使得廓型曲線是一個光滑完整的閉合曲線，偏心距e的取值也將被限制，取值超過最大偏心距的范圍將得到圖3所示的曲線，這樣的曲線無法作為型面聯接軸與輪轂的截面曲線，偏心距的最大值計算公式為

圖3 等距廓形曲線特例

因此滿足用于等距型面軸與輪轂的廓形曲線的偏心距取值范圍為0≤e≤emax。

1.2 等距圓弧型面聯接有限元模型建立

為了更加真實地模擬等距圓弧型面軸與輪轂聯接的工作狀態，分別建立三弧段與四弧段等距型面聯接的三維模型進行有限元分析。為了將兩種聯接進行對比分析，公稱直徑都取50 mm，三弧段偏心距取2.5 mm，四弧段偏心距取1.6 mm，此時四弧段的偏心距為該公稱直徑下所能取得的最大值，輪轂外徑取80 mm。

首先建立有限元模型，已知廓形曲線的參數方程，在繪圖軟件UG中，通過輸入表達式來生成規律曲線，然后進行拉伸，即可完成建模。再將建好的模型導入有限元分析軟件ABAQUS中，進行有限元模型的建立，在ABAQUS中分別對兩種聯接的模型進行網格劃分，網格類型選擇六面體8節點縮減積分單元C3D8R，六面體單元在計算分析中比四面體單元抗網格畸變的能力強，計算精度高，并對聯接處的型面進行網格加密，三弧段等距型面聯接共劃分出88 022個單元，97 036個節點，四弧段等距型面聯接共劃分出89 560個單元，98 523個節點，得到的有限元模型如圖4、圖5所示。

圖4 三弧段等距型面聯接有限元模型圖

圖5 四弧段等距型面聯接有限元模型圖

1.3 ABAQUS仿真條件設置

等距圓弧型面軸與輪轂聯接在傳遞轉矩時，通過型面軸外表面與輪轂內表面之間的相互擠壓來完成轉矩的傳遞，在ABAQUS里的相互作用模塊需要定義型面軸的外徑表面與輪轂內徑表面的面-面接觸，選取軸的外表面為主表面，輪轂內表面為從表面，在接觸屬性中進行表面的力學設置，切向選擇罰定義摩擦因數，法向選擇“硬”接觸。等距圓弧型面聯接作為軸與輪轂聯接的接頭，軸與輪轂的材料采用45鋼，具體的材料性能參數如表1所示。

表1 等距型面軸與輪轂材料參數

為模擬真實的軸與輪轂的聯接狀態，把輪轂作為主動件（即轉矩輸入端），帶動型面軸工作，由于在ABAQUS軟件中無法將速度、力及力矩直接加載在模型表面上，所以在輪轂表面建立RP點，通過點與面的耦合命令，將轉矩加到RP點上，即等效為加載在整個輪轂上，在RP點施加使得輪轂繞軸向旋轉的轉矩，轉矩輸出端的型面軸的端面固定。

2 仿真結果分析

首先在無間隙配合時，分別對兩個輪轂施加500 N·m的轉矩，聯接表面無摩擦時鋼對鋼摩擦因數取0.1，得到的兩種聯接的接觸應力分布云圖。如圖6所示，聯接表面的接觸應力沿著廓型曲線呈周期性分布，周期數即為圓弧個數，接觸應力在轉矩輸入輸出端小圓弧與大圓弧聯接處數值較大，可以理解為軸與輪轂的初始接觸點處，軸向遠離初始接觸點處的接觸應力分布較為均勻，接觸應力在周向遠離初始接觸點接觸應力減小。采用無間隙的聯接方式，從云圖中可見，接觸應力的分布只占整個型面的部分區域。

圖6 接觸應力分布云圖

2.1 偏心距對接觸應力影響

偏心距的改變直接影響廓形曲線形狀，其他條件保持不變，只改變廓形曲線的偏心距進行仿真，得到的兩等距型面聯接表面接觸應力如圖7和表2所示。

表2 不同偏心距接觸應力最值及分布范圍

圖7 接觸應力隨偏心距變化分布曲線

圖7左右兩側分別為三弧段與四弧段1/3和1/4聯接表面接觸應力隨偏心距變化曲線圖，圖中橫坐標為廓形曲線對應的極坐標角度（接觸范圍），縱坐標為最大接觸應力，可以看出，等距圓弧型面聯接的接觸應力隨著偏心距的減小而增大，接觸范圍隨著偏心距的減小而有所減小，相同公稱直徑的四弧段的接觸應力大于三弧段的接觸應力。

2.2 轉矩及表面有無摩擦對接觸應力的影響

當等距圓弧型面聯接傳遞轉矩時，聯接面的接觸應力和摩擦力共同決定著所傳遞的轉矩，接觸應力是聯接表面一切應力的來源之一，也是決定著型面聯接承載能力的重要因素之一。理論上計算接觸壓力的方法都是理想狀態下，需要假設很多條件，實際上等距型面聯接只有摩擦力和接觸應力來傳遞轉矩，可以根據下列公式計算：

式中：Ff為摩擦力，Fn為法向的接觸力，其中Ff=fFn，f為聯接表面的摩擦因數；hf為摩擦力對軸心的力臂，hn為接觸力對軸心的力臂，即偏心距。

其他條件不變，設置摩擦因數為0.1 及無摩擦時，轉矩設置為500、1000、1500 N·m對輪轂進行加載，得到的兩聯接接觸應力分布如圖8所示，最大接觸應力及分布范圍如表3所示。

表3 不同轉矩及摩擦接觸應力最值及接觸范圍

圖8 接觸應力隨轉矩及表面摩擦變化曲線

圖8所示曲線左右側分別為三弧段與四弧段加載不同轉矩及表面有無摩擦時的接觸應力分布曲線，根據曲線及表中數據可以看出：接觸應力隨著轉矩的增大而明顯增大；傳遞相同轉矩時，表面有摩擦時的接觸應力比表面無摩擦時的最大接觸應力小，并且在傳遞相同轉矩時，有摩擦聯接的接觸范圍比無摩擦聯接的接觸范圍要大一些，有摩擦與無摩擦時接觸應力的差值比接近42%，也就是說，摩擦力在傳遞轉矩時占了42%；從聯接表面的最大接觸應力的數值來看，三弧段要小于四弧段的最大接觸應力，三弧段等距型面聯接的承載能力更強一些。

2.3 配合間隙對接觸應力的影響

等距圓弧型面軸與輪轂可以采取間隙配合、過渡配合和過盈配合進行聯接。由于等距圓弧廓形曲線是由小圓弧和大圓弧相切光滑聯接而成，軸與輪轂小圓弧和大圓弧的公差共同決定了等距型面聯接公稱直徑的公差帶，公差的選取可以采取國家標準推薦的軸與孔的常用配合，優先采用基孔制[10]。本文選取的等距圓弧面軸與輪轂的公稱直徑均為50 mm，間隙配合采用H7/f6的配合方式，孔的基本尺寸為50～50.03 mm，軸的基本尺寸為49.951～49.97 mm；過盈配合采用H7/n6的配合方式，軸的基本尺寸為50.02～50.039 mm。等距圓弧型面聯接的配合間隙為型面輪轂與型面軸廓形曲線的公稱直徑之差，所以在分析配合間隙對等距圓弧型面聯接接觸應力影響時，在確定型面輪轂的公稱直徑后，改變型面軸的公稱直徑，完成三維建模，通過等距圓弧型面聯接來實現等距型面軸與輪轂在不同的配合間隙下工作。

對輪轂施加轉矩500 N·m，聯接表面摩擦因數為0.1時，得到不同配合間隙時，三弧段與四弧段聯接的接觸應力云圖如圖9、圖10所示，間隙配合時的接觸范圍明顯變小，最大接觸應力出現在轉矩輸入與輸出端的軸與輪轂初始接觸點；過盈配合時接觸應力遍布整個型面，且最大接觸應力出現在轉矩輸入端的大圓弧面。

圖9 三弧段間隙及過盈配合接觸應力云圖

圖10 四弧段間隙及過盈配合接觸應力云圖

三弧段、四弧段在不同配合間隙時得到的最大接觸應力及接觸弧長如表4、表5所示。從表4、表5中的數據得知，最大接觸應力隨著配合間隙的增大而增大，且接觸弧長也隨之減小，最大接觸應力隨過盈量的增加而增大，無間隙配合及小間隙配合時的最大接觸應力相對較小，而四弧段的接觸應力仍大于三弧段接觸應力。

表4 不同配合間隙三弧段接觸應力最大值及接觸弧長

表5 不同配合間隙四弧段接觸應力最大值及接觸弧長

選取小間隙、小過盈及無間隙，分別加載不同轉矩后進行分析，得到圖11所示2種聯接的最大接觸應力隨轉矩及配合間隙變化柱形圖。當轉矩增大時，間隙配合時的最大接觸應力大幅增加，遠遠超出過盈配合時的最大接觸應力；當轉矩增大時，無間隙和過盈配合的最大接觸應力隨之增大，增幅比間隙配合時小很多；傳遞大轉矩時，宜采用過渡或過盈配合，三弧段等距型面聯接的接觸應力比四弧段等距型面聯接的接觸應力小。

圖11 不同轉矩及配合方式最大接觸應力柱形圖

3 結論

本文通過對相同公稱直徑的三弧段與四弧段等距型面聯接三維模型進行接觸應力的對比分析，得出以下結論：1）三弧段與四弧段等距型面聯接表面接觸應力沿著廓形曲線呈周期性分布，周期數為圓弧個數，接觸應力隨著偏心距的增大而減小，接觸范圍隨之增大，在條件允許的情況下，應盡量增大偏心距；2）等距圓弧型面聯接表面接觸應力隨傳遞轉矩的增大而增大，摩擦力的存在大大減小了接觸應力，提高了聯接的承載能力；3）在傳遞小轉矩時，等距圓弧型面聯接宜采用小間隙或無間隙配合，既能滿足裝拆方便的要求，承載能力也比較強；傳遞大轉矩時，宜采用過盈或無間隙；4）相同公稱直徑的三弧段與四弧段等距型面聯接，三弧段能取得更大的偏心距的值，承載能力比四弧段聯接強。