基于四足機器人的運動學分析與仿真

赫萬恒，任國全，韓保紅，曹洪娜，張淑琴，韓校粉

（中國人民解放軍陸軍工程大學石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

自波士頓動力公司研發(fā)出軍用運輸機器人Bigdog[1]以來，因其強大的負載能力和優(yōu)秀的運動能力，引起四足機器人研究熱潮。四足機器人的運動主要體現(xiàn)在，隨著腿部機構的擺動使足端相對地面發(fā)生運動，從而帶動軀干運動。機器人運動學就是依據已有的機構尺寸及約束，利用數學的方法建立各個連桿和足端位置的關系[2]。在運動學分析的前提下，我們可以利用多剛體動力學分析四足機器人的動力學分析，同時可以對其運動軌跡進行規(guī)劃，對其運動速度、加速度等進行控制。

1 運動學建模

本文采用經典的Denavi-Hartenberg方法（D-H）進行分析。針對中間鉸鏈約束和連接桿件的類型，Denavit和Hartenberg在1955年提出了該方法，經過分析應用證明該方法的普適性很好，既可用于簡單的連桿機構，也可以用于復雜的機器人結構，并且對坐標系的選取沒有任何限制，只需要引入相應的變換矩陣[3]。四足機器人在運動過程當中一般可以忽略各個零部件的變形，因此可以將各連桿簡化為剛體，而連接的各個關節(jié)就是鉸鏈。在運動過程中，各個連桿相對鉸鏈發(fā)生相對轉動，從而帶動其它部位發(fā)生轉動或移動[4]。通過分析相鄰運動連桿上相互之間的約束類型確定相應的約束方程，從而得到機器人各部件之間的運動關系。為了研究方便，將鉸鏈作為坐標原點，建立一系列的坐標系，根據連桿連接順序依次確定相鄰坐標間的坐標變換關系，從而利用矩陣乘法得到最終的總變換矩陣。由四足機器人結構可知，腿部結構是依據串聯(lián)的關系將多個鉸鏈約束和桿件連接在一起。為研究方便，將機器人軀干定義為編號0，然后依據從軀干出發(fā)逐漸遠離的順序依次定義為1、2、3……。

為了研究方便，依據機器人的實際結構可以利用4個幾何參數來定義連桿間的關系：連接關節(jié)n-1和n的桿件長度li、關節(jié)n-1和n的布置的相對平移量di、關節(jié)n的轉角θi，以及連接關節(jié)n-1和n的扭角αi[5]。其中關節(jié)n-1和n的長度li指的是沿運動傳遞方向上四足機器人腿部結構兩端相鄰兩個鉸鏈軸線之間的最短垂線長度；鉸鏈平移量di指的是沿運動傳遞方向，連續(xù)3個鉸鏈軸線中邊界兩條依次向中間軸線所做垂線垂足間的距離；鉸鏈回旋量θi指的是通過該鉸鏈相連的連桿，向某個以其軸線為垂線的平面上的投影的夾角；連接關節(jié)n-1和n的扭角αi指的是連桿沿軸線方向投影到一個平面上的關節(jié)n-1和n的軸線夾角。建立四足機器人腿部各個坐標后，使用li、di、θi及αi，各運動連桿之間的位置姿態(tài)關系就可以使用空間坐標系變換的方法確定了。

結合關于空間的幾何知識，將一個坐標系{i-1}和{i}設置在相互挨著的兩個連桿i-1和i之間，可以得到：第i根連桿的坐標系{i}是第i-1根連桿坐標系{i-1}繞xi-1軸旋轉αi-1角度，同時沿xi-1平移li-1的距離，再繞zi軸旋轉θi，同時沿著zi軸平移距離di得到的。利用不同坐標系的坐標變換可以得到，從{i-1}到{i}坐標系的坐標變換矩陣。

1）繞xi-1軸旋轉αi-1角度：

2）沿xi－1軸平移li－1的距離：

3）繞zi軸旋轉θi角度：

4）沿著zi軸平移di距離：

從以上四個轉換矩陣可得到相鄰連件之間的位姿矩陣：

使用D-H方法建立坐標系的規(guī)則一般有：

1）建立局部坐標系。規(guī)定如下的連桿坐標系：按運動傳遞方向，第i+1個鉸鏈旋轉軸方向為Zi坐標軸方向；前一個Zi－1軸與Zi軸的公垂線為Xi坐標軸，且指向背離Zi－1軸的方向；根據右手笛卡爾坐標系來判斷Yi坐標軸的方向。

2）單連桿參數。沿運動傳遞方向相鄰兩個鉸鏈軸線之間的公垂線長度即為連桿長度，也就是Zi和Zi－1軸的公垂線長度，并且等于沿Xi軸方向的長度。由于長度Li≥0，如果Li=li，則說明兩關節(jié)軸線平行，li為連桿的長度；如果Li=0則說明兩關節(jié)軸線垂直。

3）相鄰兩桿之間的參數。連桿距離Di為在Zi－1軸上測量的兩條公垂線Xi與Xi－1軸之間的距離。如果Di為常數，說明為轉動鉸鏈；如果Di為變量，說明為移動鉸鏈。Xi與Xi－1軸之間的夾角為連桿轉角Θi，也就是兩條公垂線之間的夾角。如果Θi為變量，說明鉸鏈為轉動鉸鏈；如果Θi為常數[4]，說明鉸鏈為移動鉸鏈。

由此可以用4個參數來表示變換矩陣，連桿自身尺寸和相對位置關系各占2個參數。為了計算方便，可以每次只變化1個參數，從而得到4個子矩陣，4個子矩陣相乘得到最終的變換矩陣。

2 四足機器人的正運動學分析

進行正運動學分析，就是把D-H 坐標系設置在四足機器人一條腿上的3個關節(jié)上面，從X轉角、Y轉角、Z轉角以及坐標變換值4個參數關系出發(fā)考慮，利用前述的D-H方法，各個關節(jié)的參數如表1所示。

表1 機器人單腿各關節(jié)參數

根據位置和姿態(tài)矩陣公式，將表1中關節(jié)參數代入矩陣公式可得：

因此可得：

式中：矩陣中的c1=cos θ1，s1=sin θ1，c23=cos θ2cos θ3－sin θ2·sin θ3，s23=sin θ2cos θ3+cos θ2sin θ3。

由此可得足端運動解：

相應的雅可比矩陣為

3 計算機建模及仿真

仿真采用YoboGo-10B型機器人實際尺寸進行建模，如圖2所示。

4 仿真結果分析

圖8為機器狗身體（軀干）的位移（水平位移）曲線，從曲線上可以看出，每間隔1 s，曲線上有一個陡降，此瞬時為每個步態(tài)周期對角足發(fā)生了兩次支撐相與擺動相的交換，此瞬時四足都為支撐相。支撐相的四條腿關節(jié)在轉動時，會產生一個轉矩反作用于身體，使身體有一個微小的后移。在其余時間段，機器狗都正常向前運動。

圖9為機器狗的速度曲線，由圖得知，機器狗在運動過程中，處于擺動相的兩腿抬起時，作用于機器狗的反作用力使機器狗的身體有一個微小的后傾，在圖上表現(xiàn)為起始時的一小段時間速度為負值。仿真截取的較短的時間（8 s）內，機器狗的速度以線性增加并以1 s為周期（也即1/2個步態(tài)周期）上下波動。隨著仿真時間的延長，速度在一個步態(tài)周期內的波動會趨于平緩，最終的速度也會收斂到一個恒定的值。

圖10為機器狗的加速度曲線，從曲線上可以看出，機器狗的加速度呈周期性波動。與速度曲線初始時的負值相對應的，啟動時，加速度突變到一個比較大的負值，隨后迅速回歸正值，機器狗開始正常地向前運動。支撐相的兩腿伸直時，加速度達到最大值，并在隨后的時間里迅速回落，當支撐相的兩腿轉入擺動相，原本擺動相的兩腿還未落地，加速度迅速下降。每一個運動的周期（2 s），機器狗都要經歷兩次對角腿在支撐相與擺動相之間的轉換，在圖線上就表現(xiàn)加速度曲線、速度曲線及位移曲線都大致以1 s為周期的波動。

圖1 串聯(lián)結構表示方法

圖2 YoboGo-10B

圖3 軀干

圖4 髖部

圖5 大腿

圖6 小腿

圖7 整體及步態(tài)控制

圖8 機器狗位移曲線

圖9 機器狗速度曲線

圖10 機器狗加速度曲線

圖11為機器狗右后第1關節(jié)角速度的圖線，由于左前右后為仿真時人為預先設定的主動運動的驅動腿，因此在圖線上表現(xiàn)為平滑的正弦波曲線，周期為2 s。

圖11 右后（左前）第1關節(jié)角速度曲線

通過對比角速度分析可以發(fā)現(xiàn)，作為驅動腿的右后腿，是我們人為輸入的周期性的角速度，與之相對應的是左前腿每個周期的后半周期（如圖12）。

圖12 右后（左前）第2關節(jié)角速度曲線

作為預先設定的驅動腿，右后、左前關節(jié)的角加速度是不受其他因素干擾的，角加速度圖線是平滑的正弦波曲線（如圖13）。

圖13 機器狗右后（左前）關節(jié)1角加速度曲線

驅動腿關節(jié)2的角加速度曲線在其處于擺動相時，只受關節(jié)馬達的力矩作用，所以其角加速度曲線呈平滑的正弦波，但在與地面接觸時，受到地面的影響，導致角加速度曲線不再是平滑的正弦波曲線（如圖14）。

圖14 機器狗右后第2關節(jié)角加速度曲線

右前（左后）腿作為從動腿，在初始驅動的瞬時，獲得一個不為0的角速度，角加速度相應發(fā)生突變。開始運動后第一個周期，由于右前左后小腿處于還未發(fā)生位移的支撐相，主要是關節(jié)1的馬達輸出力矩推動機器人前進，所以小腿第2關節(jié)的力矩處于接近于零的狀態(tài)。在觸底后的支撐相中，第2關節(jié)的角加速度在地面作用力與本身馬達力矩的綜合作用下，角加速度圖線不再呈現(xiàn)平滑的變化（如圖15）。

圖15 左后第1關節(jié)角加速度曲線

關節(jié)1在一個周期中，半個周期的時間段內的力矩輸出都是處于一個平滑的正弦曲線的，在后半個周期，關節(jié)2足端與地面發(fā)生接觸，此時足端受到來自地面摩擦力的作用，此摩擦力與關節(jié)1的力矩協(xié)同推動機器人向前移動，因此，后半個周期關節(jié)1的力矩波動相對減小，呈現(xiàn)有輕微波動的較小的正值（如圖16）。

圖16 右后第1關節(jié)馬達力矩

關節(jié)2力矩曲線（如圖17）說明每個周期的一半時間小腿都處于懸空狀態(tài)，也就是擺動相中，小腿在擺動相中做類似鐘擺的運動，力矩圖線呈正弦波。

圖17 左后第2關節(jié)力矩曲線

圖18為地面給足端的摩擦力。四足機器人運動時，在每個步態(tài)周期只有一小段接觸地面，隨著運動速度的加快，每個周期與地面接觸的時間越來越短，摩擦力的變化幅度與圖線的變化率越來越大。

地面給足端的支持力（如圖19）的變化規(guī)律與摩擦力類似。非初始驅動腿（左后、右前）直接抬腿呈現(xiàn)擺動相，所以第一個周期的足端-地面摩擦力、支持力都為0。

圖18 右后（左前）腿地面摩擦力曲線

圖19 右后（左前）地面支持力曲線

5 結論

通過以上分析，可以得到四足機器人對角小跑步態(tài)的位移、速度、加速度，關節(jié)角速度、角加速度、關節(jié)力矩，地面作用力等的變化規(guī)律。因為地面作用力的影響，機器人的各項參數變化劇烈。所以在實際的機器人分析和測試時，要重點關注機器人支撐相時關節(jié)驅動力矩的變化，確定機器人的極限狀態(tài)。

本次仿真中，只是分析了對角小跑步態(tài)，對于更多步態(tài)的運動規(guī)律以及受力情況，還需要后期更深入的研究。