永磁直線同步電機自適應反推非奇異終端滑模控制

張 悅,趙希梅

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院,沈陽 110870)

0 引 言

永磁直線電機省去了中間機械傳動環(huán)節(jié),以其結構簡單、可靠性高、定位精度高、響應速度快等優(yōu)點,適用于高速高精度要求的場合,廣泛應用于高檔數(shù)控機床、半導體制造、工業(yè)機器人等各類精密加工領域[1]。但直接驅動方式也導致了各種擾動將直接作用在電機動子上,限制了系統(tǒng)位置跟蹤精度的提高[2]。因此,快速準確的擾動抑制是實現(xiàn)動子高精度跟蹤的關鍵所在,這就對控制系統(tǒng)設計提出了苛刻要求。

眾所周知,滑模控制(以下簡稱SMC)具有設計簡便、控制效果好、魯棒性強等優(yōu)點,在電機控制領域得到了廣泛應用。傳統(tǒng)SMC采用線性滑模面,其跟蹤誤差的收斂時間無窮大;另外由于系統(tǒng)固有延遲及慣性問題的影響,系統(tǒng)狀態(tài)軌跡會在滑模面附近頻繁切換,產生高頻抖振,增加系統(tǒng)的電損耗和機械損耗,因此難以滿足高性能場合下的控制要求。而引入非線性項的終端SMC,可以使得被控狀態(tài)在有限時間內收斂,成為了該領域的研究熱點[3]。文獻[4]提出了非奇異快速終端SMC方法,避免了普通終端滑模中控制量無窮大的問題,并使其在系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點的位置也能得到較快的收斂,但外部擾動出現(xiàn)時系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻[5]在非奇異快速終端滑模中引入自適應控制算法,對系統(tǒng)的不確定性上界進行自適應補償,減小了滑模切換增益,削弱了抖振現(xiàn)象,提高了系統(tǒng)魯棒性。

近年來,反推控制得到了廣泛關注,作為一種非線性系統(tǒng)控制策略,運用遞歸的思想,先引入虛擬控制輸入項,將系統(tǒng)分解為低階子系統(tǒng),同時選擇合適的Lyapunov函數(shù),在保證各子系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時,實現(xiàn)對系統(tǒng)的全局調節(jié)[6]。文獻[7]提出了反推全局快速終端滑模控制的方法,將反推與SMC相結合,先對復雜系統(tǒng)進行分解,再利用全局快速終端SMC,使得系統(tǒng)在平衡點附近也能夠實現(xiàn)快速收斂。但其控制器中指數(shù)項是負數(shù),使系統(tǒng)控制量可能會趨于無窮大,進而產生奇異現(xiàn)象。文獻[8]在全局積分終端滑模的基礎上,引入RBF徑向基神經網絡擾動觀測器,進一步減小切換增益,削弱抖振。針對擾動問題,文獻[9]通過非奇異快速終端SMC方法實現(xiàn)了永磁直線電機位置跟蹤誤差的快速收斂,并將系統(tǒng)集總擾動通過高階超螺旋擾動觀測器反饋給滑模控制器,減小了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。其中非線性擾動觀測器由于其計算簡單,且能做到對非線性系統(tǒng)狀態(tài)的全部觀測,獲得了廣泛應用[10-11]。文獻[12]針對系統(tǒng)外部干擾,采用非線性擾動觀測器(以下簡稱NDO)進行實時辨識并補償,提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和抗干擾能力。

本文提出基于NDO的自適應反推非奇異終端滑模控制(以下簡稱NDO-ABNTSMC)方法,將NDO與反推非奇異終端滑模控制(以下簡稱BNTSMC)相結合,首先通過反推控制將系統(tǒng)降階處理,再利用BNTSMC實現(xiàn)系統(tǒng)有限時間內的快速收斂,并利用自適應控制適時調整滑模控制器切換項,削弱滑模抖振。然后采用NDO觀測系統(tǒng)的集總擾動,并前饋補償給滑模位置控制器,以提高系統(tǒng)的魯棒性。最后,通過仿真對本控制方法的有效性進行了驗證。

1 數(shù)學模型

(1)

式中:ud、uq、id、iq、Ld、Lq分別為d、q軸的電壓、電流和電感;Rs為電樞電阻;ψPM為永磁體磁鏈;p為極對數(shù);x2為直線電機動子速度;τ為極距。

電機電磁推力可表示:

(2)

(3)

式中:Kf為電磁推力系數(shù)。PMLSM動力學方程可表示:

(4)

式中:M為PMLSM的動子質量;B為粘滯摩擦系數(shù);Γ表示系統(tǒng)集總不確定擾動,包括參數(shù)變化、負載擾動、非線性摩擦力、端部效應及齒槽效應等。

2 PMLSM控制系統(tǒng)設計

2.1 反推非奇異終端滑模控制器設計

PMLSM實現(xiàn)高精度位置跟蹤的控制,要求在擾動情況下,電機動子仍可以準確跟蹤給定參考軌跡。因此,本文利用非奇異終端滑模的快速收斂性,再結合反推算法,逐步推導出實際的控制律,實現(xiàn)對系統(tǒng)的全局控制,基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制框圖如圖1所示。

圖1 基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制結構框圖

首先,定義位置跟蹤誤差:

e=x1-xd

(5)

式中:xd為給定參考位置;x1為動子的實際位置。

(6)

式中:x2為動子的實際速度。

定義穩(wěn)定函數(shù):

α1=-k1e+s

(7)

式中:k1>0;s為滑模面。

為保證穩(wěn)定性,構造第一個Lyapunov函數(shù):

(8)

求導可得:

(9)

其次,定義虛擬控制輸入:

(10)

(11)

則:

(12)

將式(11)代入式(9)中可得:

(13)

當s→0時,有:

(14)

由Lyapunov定理可知,當s→0時,位置跟蹤誤差e漸進穩(wěn)定。

接著,選定非奇異終端滑模面:

(15)

式中:設計參數(shù)c1,c2>0;m,n為正奇數(shù),且滿足1

(16)

為證明穩(wěn)定性并保證系統(tǒng)狀態(tài)變量始終保持在滑模面s上,構造第二個Lyapunov函數(shù):

(17)

求導可得:

(18)

代入式(11)和式(12),可整理得:

(19)

(20)

另外,選擇切換控制律:

(21)

式中:δ,η>0,為待設計的控制參數(shù),其中η為一較小值,δ為切換增益,且滿足系統(tǒng)集總擾動|Γ|≤δ,通過選擇合適的δ值,可以削弱滑模抖振現(xiàn)象。

由此,系統(tǒng)總的控制律:

(22)

將式(22)代入式(19)得:

(23)

2.2 自適應反推非奇異終端滑模控制器設計

實際仿真過程中,集總擾動Γ的上界是很難獲得的,通常采用試湊法來選定切換增益δ的值,而切換增益過大會加劇系統(tǒng)抖振,過小則會降低系統(tǒng)的抗擾能力。為此,本文在BNTSMC中引入自適應控制方法,自適應調整切換增益,從而對系統(tǒng)抖振與抗擾效果進行折衷考慮。

令λ=δ+η,則估計誤差:

(24)

(25)

對V3求導,并結合式(23)和式(24)得:

(26)

(27)

此時,自適應切換控制律表示:

(28)

將式(27)代入式(26)可得到:

(29)

由Lyapunov第二方法可知,此時系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

2.3 NDO的設計

采用NDO對集總擾動Γ進行估計補償,來進一步提高系統(tǒng)的魯棒性。NDO主要通過觀測器估計值與實際輸出之間的差值來對估計值進行調整,其控制結構框圖如圖2所示。

圖2 NDO結構框圖

系統(tǒng)的集總擾動:

(30)

引入觀測器增益L,則NDO設計:

(31)

定義輔助變量對式(31)進行降階處理,即:

(32)

對式(32)求導可得:

(33)

即整理得到如下的NDO:

(34)

定義NDO的跟蹤誤差:

(35)

求導得:

(36)

(37)

引入非線性擾動觀測器后,可對集總擾動Γ進行觀測,因此系統(tǒng)的控制律中無需再忽略集總擾動項,此時系統(tǒng)等效控制律表示:

(38)

代入式(28)和式(38),系統(tǒng)總的控制律由式(22)變?yōu)?

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

對式(43)兩端同時積分,可得:

(44)

因此,當t≥0時,Lyapunov函數(shù)非增且有界。又因為e、s有界,當t→∞時,則有:

(45)

由Barbalat引理,k1e2+λ|s|有界,因此有

(46)

可推出s和e漸進收斂,因此基于NDO的ABNTSMC方法可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,保證系統(tǒng)位置跟蹤誤差在有限時間內衰減為零。

3 系統(tǒng)仿真結果及其分析

PMLSM的主要參數(shù):Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,ψPM=0.09 Wb,τ=32 mm,M=16.4 kg,Kf=50.7 N/A,B=8.0 N·s/m。

其中SMC控制器參數(shù):c=18,δ=18,η=0.1;ABNTSMC控制器參數(shù):c1=200,c2=10,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200;NDO-ABNTSMC控制器參數(shù):c1=90,c2=1,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200,L=2 000。

首先,驗證NDO的擾動觀測能力,為便于分析,忽略電機內部參數(shù)的變化,而只改變電機的外加負載情況,施加如圖3所示的突加負載。可以看出,0.5 s時負載由零突變?yōu)?0 N,NDO可以較好地觀測負載變化,在4 ms內逐漸逼近真實值,且?guī)缀鯚o波動。由此可見,本文所設計的NDO具備較高的觀測速度與觀測精度。

圖3 突加負載實際值與觀測值曲線

為驗證有效性,分別對SMC、ABNTSMC、NDO-ABNTSMC三種方法控制的PMLSM伺服系統(tǒng)在不同工況下進行對比。

1)驗證本方法在階躍信號下的響應性能。

系統(tǒng)空載起動,跟蹤幅值為1 mm的階躍信號,并在0.8 s時刻突加100 N的負載擾動,觀察系統(tǒng)的響應情況。三種控制方法的位置響應曲線如圖4所示。

由圖4可以看出,隨著電機空載起動,SMC方法緩慢跟蹤給定信號,并在突加100 N負載時,立即偏離跟蹤信號,穩(wěn)定后始終維持著平均25 μm左右的穩(wěn)態(tài)誤差;而ABNTSMC和NDO-ABNTSMC方法具有更快的響應速度,電機空載起動后大約0.05 s到達了期望軌跡,其中ABNTSMC方法下系統(tǒng)在起動期間有約20%的超調量,在0.8 s突加負載后產生較大的偏移量,雖然在約0.6 s時可收斂至跟蹤信號,但其突加負載瞬間產生誤差較大,可達到0.13 mm,且收斂緩慢;而基于NDO-ABNTSMC方法在電機起動期間避免了超調現(xiàn)象,在突加負載時的瞬間誤差非常小,只有5.6 μm,且收斂速度非常快,約0.05 s后即收斂到給定值附近。由此可見,相較于另外兩種方法,基于NDO-ABNTSMC方法通過NDO觀測負載擾動并進行前饋補償,使得階躍信號跟蹤下,系統(tǒng)具有更快的響應響應速度和更強的抗擾能力。

2)驗證周期性正弦信號下,本方法的響應性能。

對系統(tǒng)給定如圖5所示的幅值30 mm、周期為2 s的正弦位置信號,在標稱狀態(tài)下和電機參數(shù)變化(粘滯摩擦系數(shù)B變?yōu)?倍)的情況下,三種控制方法下系統(tǒng)的位置響應誤差曲線分別如圖6和圖7所示。

圖5 給定正弦信號

圖7 正弦信號下系統(tǒng)的響應性能曲線(參數(shù)變化)

由圖6可以看出,在標稱狀態(tài)下三種方法對正弦位置信號都有著不錯的跟蹤效果,在給定信號隨著時間發(fā)生變化時,均能夠緊密地跟蹤給定信號。SMC下系統(tǒng)跟蹤誤差跟隨給定信號產生較大的上下波動,誤差約在±5 μm之間。與之相比,ABNTSMC下,位置誤差的波動范圍明顯減小,在±3 μm左右。而NDO-ABNTSMC方法對系統(tǒng)的控制方法進一步優(yōu)化,具有最小的位置跟蹤誤差,誤差波形約在-1.5 μm～1.5 μm的范圍內隨著給定信號小幅度上下波動,與前兩種控制方法相比,位置誤差波動范圍分別減小了70%和50%。可見,NDO-ABNTSMC方法可以較好地抑制擾動,誤差波動更小,系統(tǒng)位置跟蹤效果更好。

如圖7所示,當系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時,三種控制方法下伺服系統(tǒng)仍有著不錯的位置響應性能,只是跟蹤誤差的波動范圍均有所擴大。在參數(shù)變化的情況下,SMC和ABNTSMC方法下系統(tǒng)的位置誤差范圍分別擴大到±10 μm和±8 μm之間。而相較之下,NDO-ABNTSMC方法由于非線性擾動觀測器的加入,電機參數(shù)的變化得以被觀測和補償,因此與ABNTSMC相比,系統(tǒng)的抖振明顯減小,同時位置跟蹤誤差也最小,僅在約±2 μm的范圍內隨著給定正弦信號小幅度波動。因此,NDO-ABNTSMC方法能夠較好地克服參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響,可以較好的提高系統(tǒng)的抗擾能力和位置跟蹤精度。

4 結 語

為提高系統(tǒng)位置響應性能,本文提出了一種基于NDO的ABNTSMC方法,并在PMLSM的數(shù)學模型基礎上,對控制算法的有效性進行仿真驗證。由上述結果可以看出:

1)本文將反推與非奇異終端SMC相結合,提高了系統(tǒng)魯棒性,保證了系統(tǒng)響應的快速性,且避免了奇異問題。同時結合自適應算法,動態(tài)調整滑模切換增益,削弱了滑模抖振;

2)引入的NDO實現(xiàn)了對負載擾動的觀測與補償,提高了系統(tǒng)抗擾能力,進一步提高了系統(tǒng)位置跟蹤性能;

3)在負載擾動和參數(shù)變化條件下,基于NDO的ABNTSMC方法可以對擾動進行有效識別,系統(tǒng)響應更快誤差更小,抖振現(xiàn)象減弱,具有強魯棒性。