例析函數零點問題的類型及應對策略

廣東省佛山市南海區金石實驗中學(528225) 徐正印

近年高考試題常常出現確定或證明含有參數的函數零點(交點)的個數或根據含有參數的函數零點的個數求參數取值范圍的問題.這類問題通常融合了數形結合、分離參數、等價轉化等數學思想方法,能較好地反映學生分析問題(觀察能力)和解決問題的能力,突出選拔性,備受命題者的青睞,常常困擾考生無法選擇恰當的方法.這類題目一般有兩問,我們只須根據題目第一問的設問特點,就能及時選擇恰當的解題方法.

標志一題目沒有涉及討論函數的單調性,參數容易分離,且分離后得到的函數的導數容易求出.

應對策略分離參數法,即分離參數,將原函數零點的問題轉化為一個函數(該函數求導不復雜)與一條與y軸垂直的直線交點的問題.

例1(2015 年高考新課標Ⅰ卷文科) 函數f(x) =e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點的個數;(2)略.

解(1) 易知,f′(x) 的零點的個數?y= 2xe2x(x>0) 的圖象與y=a的圖象交點的個數.

設g(x) = 2xe2x(x>0), 則g′(x)=2(1+2x)e2x,在(0,+∞)上,g′(x) > 0,g(x) 單調遞增.當x→ 0+時,g(x) → 0+; 當x→+∞時,g(x) →+∞; 函數y= 2xe2x(x>0) 的大致圖象如圖1 所示.

圖1

當a≤0 時,y=2xe2x(x>0)圖象與直線y=a沒有交點,f′(x)的零點的個數為0;當a> 0 時,y= 2xe2x(x> 0)圖象與直線y=a的圖象有且只有一個交點,f′(x)的零點的個數為1.故,當a≤0 時,f′(x)零點個數為0;當a> 0時,f′(x)零點個數為1.

例2(2018 年高考新課標Ⅱ卷理科第21 題)已知函數f(x)=ex-ax2.

(1)略;(2)若f(x)在(0,+∞)上只有一個零點,求a.

解(2) 當x> 0 時,.f(x) 在(0,+∞) 上只有一個零點只有一個正根的圖象與y=a的圖象只有一個交點.設, 則, 在(0,2) 上,g′(x) < 0,g(x)單調遞減; 在(2,+∞)上,g′(x) > 0,g(x)單調遞增;.當x→0+時,g(x) →+∞.因為與y=a只有一個交點,所以.

類似題1.1 (2016 年高考新課標Ⅰ卷理科) 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;(2)略.

類似題1.2(2022 年高考全國乙卷理科第21 題)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)略;(2)若f(x)在區間(-1,0)、(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

標志二題目第一問只討論參數取某一值時函數的單調性,沒有討論參數取其它值時函數的單調性.參數容易分離,且分離后得到的函數的導數容易求出.

應對策略分離參數法,即分離參數,將原函數零點的問題轉化為一個函數(該函數求導不復雜)與一條與y軸垂直的直線交點的問題.

例3(2020 年高考新課標Ⅰ卷文科第20 題) 已知函數f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

解(1)略.(2)易知f(-2)=e-20,-2 不是f(x)的零點.當x-2 時,.f(x)有兩個零點的圖象與y=a的圖象有兩個交點.設, 則, 在(-∞,-2)、(-2,-1) 上,g′(x) < 0,g(x) 單調遞減.在(-1,+∞) 上,g′(x) > 0,g(x) 單調遞增.在(-1,+∞) 上,g′(x) > 0..在(-∞,-2) 上,g(x) < 0; 當x→-∞時,g(x) →0; 當x→-2-時,g(x)→-∞;當x→-2+時,g(x)→+∞;當x→+∞時,g(x)→+∞.

圖2

類似題2.1(2018 年高考新課標Ⅱ卷文科第21 題)已知函數f(x)=-a(x2+x+1).

(1)當a=3 時,求f(x)的單調區間;

(2)證明:f(x)只有一個零點.

標志三題目第一問明確討論函數的單調性.

應對策略利用函數的單調性和零點存在定理.

例4(2019 高考新課標Ⅱ卷理科第20 題)已知.

(1)求f(x)的單調性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;(2)略.

解(1), 在(0,1)、(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調遞增.因為

所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零點.因為

所以f(x)在(0,1)上有唯一的根.

綜上所述,f(x)有且僅有兩個零點.

類似題3.1 (2015 年高考北京卷文科第19 題) 設函數,k>0.

(1)求f(x)的單調區間和極值;

(2)求證: 若f(x)存在零點,則f(x)在區間上僅有一個零點.

類似題3.2(2020 年高考新課標Ⅲ卷文科第20 題)已知函數f(x)=x3-kx+k2.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有三個零點,求k的取值范圍.

類似題3.3(2021 年高考甲卷文科第20 題) 設函數f(x)=a2x2+ax-3 lnx+1,其中a>0.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若y=f(x)的圖像與x軸沒有公共點,求a的取值范圍.

類似題3.4(2017 年高考新課標Ⅰ卷理科第21 題)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

類似題3.5(2016 年高考新課標Ⅰ卷文科第21 題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

標志四題目中沒有要求討論函數的單調性,參數也不能分離參數或分離參數得到的函數求導復雜.

應對策略解決問題的方法要利用函數的單調性.

例5(2022 年高考全國乙卷文科第20 題) 已知函數.

(1)當a=0 時,求f(x)的最大值;

(2)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.

解(1)略;(2)

1)當a≤0 時,在(0,1)上,f′(x) > 0,f(x)單調遞增;在(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;fmax(x)=f(1)=a-1<0,此時函數無零點,不合題意.

2)當a>0 時,

(ⅰ)當0 0,f(x) 單調遞增; 在上,f′(x) < 0,f(x) 單調遞減.f(1)=a-1<0,當x→+∞時,f(x)→+∞;f(x)僅在有唯一零點,符合題意.

(ⅱ) 當a= 1 時,, 在(0,+∞) 上,f′(x) ≥0,f(x) 單調遞增;f(1) =a- 1 = 0,f(x) 有唯一零點,符合題意.

(ⅲ) 當a> 1 時, 在、(1,+∞) 上,f′(x) > 0,f(x) 單調遞增; 在上,f′(x) < 0,f(x) 單調遞減;f(1) =a-1 > 0,,當n→+∞,;f(x) 在有一個零點, 在無零點,f(x)有唯一零點,符合題意.

綜上所述,a的取值范圍為(0,+∞).

類似題4.1(2019 年高考新課標Ⅰ卷文科第20 題)已知函數f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數.

(1)f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點;

(2)當x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范圍.

類似題4.2(2019 年高考新課標ⅠⅠ卷理科第20 題)已知函數f(x)=sinx-ln(x+1),f′(x)為f(x)的導數,求證:

(1)f′(x)在區間存在唯一極大值點;

(2)f(x)有且僅有2 個零點.

類似題4.3(2020 年高考新課標Ⅲ理科第21 題節選)設,若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點,證明:f(x)所有零點的絕對值都不大于1.