一道2023 年浙江聯(lián)賽試題的求解與思考

山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué)(271400)張志剛

1 試題呈現(xiàn)

題目(2023 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)預(yù)賽第13 題)已知橢圓的上頂點(diǎn)A與左頂點(diǎn)B的距離為,離心率為,P(t,0)(-4 ≤t≤-1)為x軸上一點(diǎn).

(1)求橢圓方程;

(2)連接AP交橢圓于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線,交橢圓另一個(gè)點(diǎn)D,求S?ABD的取值范圍.

本題探求解析幾何經(jīng)典問(wèn)題之一的“三角形面積的取值范圍”,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用解析幾何的基本思想方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化,達(dá)到通過(guò)增加思維量來(lái)選拔創(chuàng)新拔尖人才的目的,同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)、引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的導(dǎo)向作用.

2 試題解答

2.1 解題思路

解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形, 以平面直角坐標(biāo)系為研究工具, 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何問(wèn)題.這是解析幾何的特征[1].坐標(biāo)法的要點(diǎn)是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和推理研究幾何圖形, 同時(shí)這里的運(yùn)算帶有幾何直觀.第(1) 問(wèn), 由題設(shè)條件,結(jié)合離心率性質(zhì),可輕松確定橢圓的方程, 通過(guò)本小問(wèn)“鋪路搭橋”, 讓考生有獲得感.第(2) 問(wèn)探求?ABD面積的取值范圍,關(guān)鍵步驟是: 一是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量表示?ABD的面積, 建立目標(biāo)函數(shù); 二是求出該目標(biāo)函數(shù)的值域.如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),對(duì)考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的考查增加了難度,提升了思維強(qiáng)度,要求考生結(jié)合點(diǎn)A,P,C,D坐標(biāo)的關(guān)系及橢圓的方程,從直接表征或間接刻畫(huà)等視角構(gòu)建目標(biāo)函數(shù).若選取題設(shè)參數(shù)t作為自變量, 通過(guò)運(yùn)算將?ABD的面積表示為函數(shù), 經(jīng)換元m= 5-t后, 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,借助對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域, 具體見(jiàn)解法1-5.也可另辟蹊徑, 選取某直線(如OD)的斜率為k作為自變量, 將?ABD的面積表示為k的函數(shù),同樣可由對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性求出值域,見(jiàn)解法6.解答中應(yīng)充分利用橢圓的幾何性質(zhì)及平面幾何中的定理、性質(zhì)等輔助求解,如解法2.

2.2 解題過(guò)程

思路一(直接法)考慮利用建立目標(biāo)函數(shù),其中d是點(diǎn)D到直線AB的距離,如圖1 示.

圖1

解法2(特殊位置分析)本題中,點(diǎn)D的位置受制于點(diǎn)P.下面借助幾何直觀,考查點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)d的變化規(guī)律,由臨界位置確定d的極值,進(jìn)而求得面積的取值范圍.

由解法1 知, 點(diǎn)D的坐標(biāo)是,.

如圖2,當(dāng)t=-1 即點(diǎn)P位于P1(-1,0)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

圖2

當(dāng)t= -4 即點(diǎn)P位于P2(-4,0) 時(shí), 點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

當(dāng)平行于AB的直線與橢圓切于第二象限內(nèi)的點(diǎn)D(x0,y0) 時(shí),d取得最大值,S?ABD最大.設(shè)此切線為: 4x- 5y+m= 0(m>0), 將其與橢圓方程聯(lián)立得32x2+ 8mx+m2- 400 = 0, 由?= 0 得,此時(shí)的解是, 即.此時(shí),.

綜上,S?ABD的取值范圍是.

思路二(間接法)通過(guò)作輔助線, 借助?ABD與其他三角形之間的聯(lián)系表示其面積,體現(xiàn)分解與綜合、化難為易的轉(zhuǎn)化思想.

解法3(作差法表示面積)如圖3,延長(zhǎng)AD交x軸于點(diǎn)E,由解法1 知,點(diǎn)D的坐標(biāo)是,所以直線AD的方程是.令y= 0,解得,故點(diǎn)E的坐標(biāo)是,故

圖3

圖4

圖5

下同解法1.

解法4(間接法——解法3 優(yōu)化)

評(píng)注解法4 利用橢圓的性質(zhì),規(guī)避了解法3 中求解點(diǎn)D的坐標(biāo)的繁瑣運(yùn)算,確定直線AD的方程更便捷.

解法5(面積拆分與重組)如圖6,

圖6

下同解法1.

以上解法均是選用題設(shè)中的參數(shù)作為自變量,建立了面積的目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出取值范圍.然而,選取直線的斜率作為自變量建立函數(shù)關(guān)系,是解析幾何范圍(最值)問(wèn)題更常見(jiàn)的操作.下面嘗試選取某條直線,以其斜率k建立三角形面積的函數(shù).

解法6(變換變量) 如圖5, 延長(zhǎng)DO, 交橢圓于點(diǎn)E,設(shè)直線OD的斜率為k(k<0),則直線OD的方程為:y=kx(k<0),將其與橢圓方程聯(lián)立得(16+25k2)x2-400 =0, 解得(舍) 或, 故點(diǎn)D的坐標(biāo)是,

3 思維障礙與突破

以上解答各有千秋, 建立的三角形面積的目標(biāo)函數(shù)也不盡相同, 如或.但在后續(xù)求解函數(shù)的值域時(shí), 不少考生表現(xiàn)出手足無(wú)措,解答結(jié)果不盡如人意.究其原因,主要是當(dāng)前各版本教材都未對(duì)分式函數(shù)值域進(jìn)行系統(tǒng)闡述,學(xué)生缺乏成熟的求解策略.事實(shí)上, 分式多項(xiàng)式函數(shù)有“齊次”(如)和“非齊次”(如)兩類(lèi),處理路徑如下:

途徑1(齊次式: 分子常數(shù)化) 若, 可借助“添項(xiàng)、拆項(xiàng)、系數(shù)拼湊”等技巧, 通過(guò)恒等變形把分子化為常數(shù), 即將函數(shù)變形為,然后結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性及圖象變換知識(shí)確定值域.例如, 求的值域.由于, 結(jié)合f(x) 的圖象知,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以.對(duì)于“”型可進(jìn)行類(lèi)似處理.

途徑2(非齊次式:1 次式換元)若時(shí),可令t=ax+b,則函數(shù)轉(zhuǎn)化為,然后分子分母同時(shí)除以t, 再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式討論其值域.若, 可進(jìn)行類(lèi)似換元處理.例如, 求的值域.令t= 2x+1,t≥3, 則,因?yàn)楹瘮?shù)在[3,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)∈[3,+∞).

下面再舉兩例說(shuō)明.

例1(2014 年高考全國(guó)新課標(biāo)I 卷理科第20 題)已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓的離心率為,F是橢圓的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)?OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.

評(píng)注本題中的目標(biāo)函數(shù)本質(zhì)上是“”型分式函數(shù), 經(jīng)換元轉(zhuǎn)化為,再借助基本不等式求出值域.

由于四邊形的面積可分解為三角形面積之和,故上述策略也適用于四邊形面積的取值范圍.

例2(2016 年高考全國(guó)新課標(biāo)I 卷理科第20 題)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0 的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;

(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解(I),過(guò)程從略.

(II)因?yàn)橹本€l與x軸不重合,故設(shè)l:x=my+1,過(guò)B且與l垂直的直線PQ的方程為:y=-m(x-1).將l與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my-9=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則.又

故四邊形MPNQ的面積

因?yàn)閙2≥0,所以,故即四邊形MPNQ面積的取值范圍為.

評(píng)注以上計(jì)算得四邊形MPNQ面積中, 此時(shí)根號(hào)內(nèi)為“”型齊次式, 為此進(jìn)行分子常數(shù)化處理得,進(jìn)而求得值域.

4 結(jié)束語(yǔ)

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的學(xué)科,“通過(guò)幾何建立直觀,通過(guò)代數(shù)予以表達(dá)”是其基本理念[2].解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算,所以先用幾何眼光觀察,分析幾何圖形的要素及其基本關(guān)系,再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá),而且要注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系簡(jiǎn)化運(yùn)算.例如,前文對(duì)三角形面積取值范圍的研究中,直觀認(rèn)識(shí)各幾何要素間的位置分析是第一步.教師要以典型例題為載體,引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),深刻理解運(yùn)算對(duì)象,科學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,明晰運(yùn)算機(jī)理,熟練掌握運(yùn)算法則,準(zhǔn)確求得運(yùn)算結(jié)果,有效解決實(shí)際問(wèn)題,如本文探討的分式函數(shù)的值域.