一類無關聯雙變元問題的解析

福建省福清第三中學(350000)唐洵

1 題目呈現

以雙變元問題為壓軸的導數試題在高考中屢見不鮮,問題中的兩個變元之間往往存在著某些聯系,解題時可以此為依據,通過消元或換元來減少變元的數量;但若是雙變元之間不存在任何關聯,問題又當如何處理?

題目1(2023 年嘉興二模第22 題)已知函數f(x)=ex,g(x)=lnx.

(1)若存在實數a,使得不等式f(x)-g(x)≥f(a)-g(a)對任意x∈(0,+∞)恒成立,求f(a)·g(a)的值;

(2) 若1

①存在x0∈(x1,x2),使得成立;

2 解法探究

由于本文的重點在研究第(2)小題的第②問,對于第(1)小題以及第(2)小題的第①問,這里僅給出參考答案,不作說明,有興趣的讀者可以自行探究.

解析(1)令h(x) =f(x)-g(x) = ex-lnx,;令u′(x) =xex-1,則u(x)在(0,+∞)上單調遞增,而,u(1)=e-1>0,故存在,使得u(a) =aea-1 = 0,且h(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增,所以h(x)≥h(a)對任意x∈(0,+∞)恒成立;此時;

當x∈(1,+∞)時,則, 故h′(x)在(1,+∞)上單調遞增且下凸,作出y=h′(x)的大致圖像如圖1 所示,∫表示曲邊梯形ABCD的面積,表示梯形ABCD的面積,故由圖可知,故(?)式成立,即.

圖1

3 試題背景

(1)凹凸性定義設函數y=f(x) 在區間I上連續:若?x1,x2∈I, 恒有, 則稱y=f(x)的圖像是凹(下凸)的,函數y=f(x)為凹(下凸)函數;若?x1,x2∈I,恒有,則稱y=f(x)的圖像是凸(上凸)的,函數y=f(x)為凸(上凸)函數;

(2)凹凸性判定設y=f(x)在[a,b]上連續,且在(a,b)內具有一階和二階導數; 若f(x) 在(a,b) 內有f′′(x) > 0,則f(x) 在[a,b] 上是凹(下凸) 函數, 若f(x) 在(a,b) 內有f′′(x)<0,則f(x)在[a,b]上是凸(上凸)函數;

(3)哈達瑪(Hadamard)積分不等式設函數f(x)是區間[a,b] 上的凹(下凸) 函數, 其中a≤x1

注哈達瑪(Hadamard)積分不等式的證明文[1]中已經給出,這里不再贅述.

(4)對數平均不等式若a>0,b>0,且ab,則

其中a,b∈R,且ab;事實上①②兩個不等式是哈達瑪積分不等式的特殊形態.

4 命題步驟

根據上述背景,本題第(2)題第②小題命題步驟如下:

第一步, 確定母函數: 選取一個函數F(x), 確定區間[a,b],使得F(x)在[a,b]上是凹(下凸)函數,題1 選擇的函數為,x∈(1,+∞);

第二步,代入不等式: 利用哈達瑪積分不等式得到一個相關的不等式鏈,題目1 中的不等式鏈為

第三步,選擇證明點: 在上述不等式中,選擇合適的部分作為證明的主體(左右兩側不等式均可,常見的為右側的證明),即

第四步,均值來變形: 為了加大難度,先利用基本不等式進行放縮,得到

再整理得到

再注意到(ex)′= ex,于是令f(x) = ex,g(x) = lnx,便得到題目1 的主干部分.

對該問題進行簡單推廣可以得到: 若a> 1, 函數f(x) =ax,g(x) = logax,h(x) =f(x) -g(x), 則當1

5 類題賞析

題目2 (2023 年濰坊三月測評第22 題) 已知函數f(x)=ex+kln(x+1)-1(k∈R).

(1)當k= 1 時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)對任意x∈(-1,+∞),都有f(x)≥0,求實數k 的取值范圍;

題目3(2020 年高考天津卷第22 題) 已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導函數.

(1)當k=6 時,

①求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)當k≥-3 時,求證: 對任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.

題目4(2013 年高考陜西卷理科第21 題) 已知函數f(x)=ex,x∈R.

(1)若直線y=kx+1 與y=f(x)的反函數的圖像相切,求實數k的值;

(2)設x> 0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數;

(3)設a

簡析題目2(3): 當時,在(0,+∞) 上恒成立, 故f′(x) 在[0,+∞)為凹(下凸)函數,不妨設s

題目3(2): 當k≥-3 時,在(1,+∞)上恒成立,故f′(x)在[1,+∞)為凹(下凸)函數,根據哈達瑪積分不等式,

題目4(3): 易知f(x) = ex為凹(下凸) 函數, 且f′(x)=f(x),根據哈達瑪積分不等式,