關(guān)聯(lián)：指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

魯琪

［摘 要］“比例”是小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域最后一部分內(nèi)容。掌握正比例知識(shí)，有助于學(xué)生串聯(lián)和審視整個(gè)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容，初步感受函數(shù)的思想方法。文章以人教版教材“正比例”教學(xué)為例，基于對(duì)影響“正比例”學(xué)習(xí)效果的因素分析，從學(xué)習(xí)進(jìn)階過程內(nèi)容、數(shù)形結(jié)合思想方法、模擬社會(huì)實(shí)踐價(jià)值等方面探尋指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。

［關(guān)鍵詞］正比例；深度學(xué)習(xí)；內(nèi)容關(guān)聯(lián)；思想關(guān)聯(lián)；價(jià)值關(guān)聯(lián)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）29-0066-03

“正比例”是小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)“比例”單元中的內(nèi)容，具有抽象、復(fù)雜等特點(diǎn)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)“正比例”，初步理解抽象思維和函數(shù)思想，為將來學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)打下基礎(chǔ)。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)“正比例”的過程中，難免對(duì)概念認(rèn)識(shí)不夠深刻，對(duì)核心內(nèi)涵模糊不清，遇到變式容易誤判，解決問題時(shí)不能主動(dòng)關(guān)聯(lián)比例思想等。基于學(xué)生認(rèn)知、情感、思維、應(yīng)用等發(fā)展?fàn)顩r，筆者結(jié)合比例相關(guān)上下位知識(shí)、內(nèi)容特點(diǎn)及教學(xué)方式分析，梳理影響“正比例”教學(xué)效果的因素，具體如下。

整體意識(shí)不強(qiáng)，孤立看待學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂教學(xué)容易出現(xiàn)單獨(dú)化、碎片化狀態(tài)，導(dǎo)致學(xué)生覺得該內(nèi)容突兀、難以理解，無法在同類情境下判斷兩個(gè)量是否成正比例，不能形成關(guān)于比例的學(xué)科整體觀念。

思維程度偏淺，未能深入理解本質(zhì)。六年級(jí)學(xué)生的思維雖然以抽象邏輯思維為主，但這種思維程度還比較淺顯，仍與直觀經(jīng)驗(yàn)相關(guān)。因此，在學(xué)習(xí)“正比例”時(shí)，學(xué)生難以深入思考其內(nèi)涵及意義，比如，為什么給出的數(shù)據(jù)只有幾組？為什么畫出的“正比例”的圖像是一條可以無限延長的射線？

應(yīng)用意識(shí)淡薄，缺少聯(lián)系生活實(shí)踐。雖然“比例”在生活中無處不在，但是由于其在生活中的呈現(xiàn)方式多樣，加之學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相對(duì)有限，應(yīng)用意識(shí)比較薄弱，導(dǎo)致他們認(rèn)為比例知識(shí)只能用于解決數(shù)學(xué)問題，不能應(yīng)用在其他領(lǐng)域。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，聯(lián)系無處不在且形式多樣，包括內(nèi)容層面、思想方法層面及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值層面等。教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生在不同層面進(jìn)行關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、縱觀·中觀·微觀：體悟?qū)W習(xí)進(jìn)階過程的內(nèi)容關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)教材中一個(gè)大概念被分割成多個(gè)小知識(shí)點(diǎn)，分布在不同學(xué)期、不同單元中。教師教學(xué)時(shí)要避免因單元及課時(shí)劃分等造成的知識(shí)斷層，應(yīng)以整體視角看待學(xué)習(xí)素材，把新知識(shí)融入知識(shí)體系中。

1.溯源縱觀：學(xué)段視角解構(gòu)

“數(shù)學(xué)是一門關(guān)系學(xué)。”這是張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書中提出的。意思是，數(shù)學(xué)中不同的知識(shí)、方法、思想有著密切的聯(lián)系。通過梳理教材可以發(fā)現(xiàn)，與正比例相關(guān)的前置知識(shí)，在第二、三學(xué)段均有出現(xiàn)，具體內(nèi)容見表1。

由表1可知，“正比例”并不是突然出現(xiàn)和單獨(dú)存在的。可以說，“正比例”是小學(xué)階段“除法”“分?jǐn)?shù)”“比”等內(nèi)容的升華。在教學(xué)時(shí)，整理概念目標(biāo)和內(nèi)容，明確邏輯關(guān)系，注重關(guān)聯(lián)性，引導(dǎo)學(xué)生建立新的概念與學(xué)過的數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)新概念自然地?cái)U(kuò)展提升。

2.截面中觀：單元視角解析

數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性和連貫性，新知識(shí)通常是在舊知識(shí)的某一連接點(diǎn)上生長的。因此，對(duì)于“正比例”的教學(xué)應(yīng)該立足于大單元視角，及時(shí)捕捉前置資源，提前滲透相關(guān)內(nèi)容。

【案例1】

“比例”單元第一課時(shí)“比例的意義”引入大小不同的國旗。它們的長、寬不同，但都是標(biāo)準(zhǔn)的。為什么它們看起來大小不同，形狀卻完全一樣？通過這個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生從國旗的長、寬進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)過計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三面國旗的長、寬之比相等。

作為單元第一課，教材提供的例題是生活中常見的“正比例”知識(shí)的應(yīng)用。雖然此時(shí)學(xué)生沒有正式學(xué)習(xí)“正比例”知識(shí)，但是在解決問題的過程中，需要利用已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)相關(guān)的量進(jìn)行充分對(duì)比。教師要引導(dǎo)學(xué)生感受比相等的內(nèi)涵。比相等即比值相等，這是“正比例”的本質(zhì)屬性。

3.落點(diǎn)微觀：課時(shí)視角解讀

具體到課時(shí)，教學(xué)重心無疑會(huì)放在“比值一定”這個(gè)本質(zhì)特征上。對(duì)于小學(xué)生來說，這是他們第一次正式接觸變量，從固定的量到變化的量，從研究單一量到研究兩個(gè)相關(guān)的量，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維一次重大的飛躍。

【案例2】

課始，教師展示學(xué)生一年級(jí)和六年級(jí)時(shí)的照片，讓學(xué)生觀察、對(duì)比照片中的自己，說說感受。大家的身高、年齡、體重等都發(fā)生了很大的變化。教師引導(dǎo)學(xué)生理解，像年齡、身高、體重、時(shí)間等這些不斷變化的量叫變量。

教師出示汽車行駛路程簡圖，引導(dǎo)學(xué)生找“路程”和“時(shí)間”這兩個(gè)變量，并請學(xué)生簡單描述這兩個(gè)變量。學(xué)生會(huì)用“隨著……也……”等關(guān)聯(lián)詞來表達(dá)路程和時(shí)間的關(guān)系。“路程”和“時(shí)間”這兩個(gè)量是有關(guān)系的，還會(huì)互相影響，這兩個(gè)變量叫相關(guān)聯(lián)的量。

用最常見的行程問題，讓學(xué)生交流并感受一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化，從而清楚地認(rèn)識(shí)“相關(guān)聯(lián)”，為理解“正比例”做好鋪墊。

二、過渡·遞進(jìn)·交融：理解正比例概念建構(gòu)的思想關(guān)聯(lián)

“正比例”概念是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活數(shù)量關(guān)系的抽象概括，是數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的產(chǎn)物。小學(xué)生思維以直觀形象思維為主，對(duì)高度概括、抽象的“正比例”概念的理解容易流于表面，達(dá)不到深度學(xué)習(xí)的效果。因此，教學(xué)時(shí)，應(yīng)利用舊知識(shí)過渡、問題引領(lǐng)遞進(jìn)、數(shù)形結(jié)合等方式建構(gòu)概念。

1.舊知過渡

從數(shù)的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)，找變化規(guī)律，并利用文字、算式、代數(shù)式等方式表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，達(dá)到理解概念的目的。

【案例3】

根據(jù)汽車加油的情境，讓學(xué)生描述“總價(jià)”和“加油量”的變化情況。學(xué)生從橫向觀察數(shù)據(jù)的變化情況，發(fā)現(xiàn)總價(jià)與加油量的變化情況相同，并且總價(jià)÷油量=6，也就是汽油的單價(jià)不變（如圖1）。

從表格中找規(guī)律是學(xué)生熟悉和擅長的。教師引領(lǐng)學(xué)生，不僅找“商相同”這個(gè)規(guī)律，也不忽視橫向上的規(guī)律，一個(gè)量增加，另一個(gè)量也隨之增加，學(xué)生充分感受橫向?qū)Ρ葧r(shí)兩個(gè)變量變化的關(guān)聯(lián)性和一致性，加強(qiáng)對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)聯(lián)性的理解。

2.問題遞進(jìn)

根據(jù)難點(diǎn)，教師設(shè)置不同梯度的問題。對(duì)內(nèi)容、方法、思路、表達(dá)等方面的追問，讓學(xué)生的思維外顯，自然搭建知識(shí)學(xué)習(xí)梯度，避免了學(xué)生因被動(dòng)學(xué)習(xí)而對(duì)概念理解不足的情況。

【案例4】

（1）如果加油量是80升，在不計(jì)算的前提下，推測總價(jià)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是哪一個(gè)？（如圖2）

（2）想象，如果這樣的點(diǎn)足夠多，會(huì)呈現(xiàn)怎么樣的圖？

借助有梯度的問題，提供良好的學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，逐步完成“正比例”圖像的構(gòu)建。

3.數(shù)形交融

讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，是教學(xué)目標(biāo)之一。學(xué)生在用數(shù)表征“正比例”概念時(shí)，初步感知量的連續(xù)變化，初步感受兩個(gè)變量的比值一定。在進(jìn)行“形”的補(bǔ)充中，深挖圖像背后的意義。數(shù)與形兩種數(shù)學(xué)語言對(duì)比、交融，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

【案例5】

觀察圖像（如圖3），思考：這條線會(huì)拐彎嗎？圖中橫軸表示一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，不變的量在哪里？

此環(huán)節(jié)將數(shù)的表征和圖的表征進(jìn)行對(duì)比和融合。結(jié)合多媒體動(dòng)態(tài)的演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量的比值反映在圖上是一個(gè)個(gè)點(diǎn)。隨著點(diǎn)的不斷增加，形成方向不變的直線。學(xué)生能清晰地感受到，隨著一種量增加，另一種量也在不斷增加，兩個(gè)變量比值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的直線不斷向上延伸。學(xué)生經(jīng)歷了直觀到抽象的過程，深刻理解了“正比例”和“比值一定”的本質(zhì)屬性。

三、對(duì)比·結(jié)構(gòu)·延伸：實(shí)現(xiàn)模擬社會(huì)實(shí)踐的價(jià)值關(guān)聯(lián)

深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生形成自覺發(fā)展的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生的成長從提高解答試題的能力轉(zhuǎn)向提高解決問題的能力。具體的知識(shí)作為解決問題的工具被探索、被發(fā)現(xiàn)的過程，就是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的過程。

1.對(duì)比式溝通

判斷兩個(gè)變量是否成正比例，主要看這兩個(gè)量的比值是否一定。讓學(xué)生明確研究方向是兩個(gè)變量的比值。

【案例6】

聯(lián)系概念思考：不斷變大的圓的周長和直徑是否成正比例？（如圖4）不斷變大的正方形周長和邊長是否成正比例？不斷變大的正方形面積和邊長是否成正比例？

學(xué)生通過辨析，得出圓周長和直徑的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形周長和邊長的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形面積與邊長的比值不是一定的，因此不成正比例。

此環(huán)節(jié)選取對(duì)比性較強(qiáng)的素材。因此，學(xué)生在對(duì)比、辨析中鞏固了“比值一定”這一概念核心。

2.生活化結(jié)構(gòu)

學(xué)生在面對(duì)陌生、復(fù)雜的真實(shí)問題時(shí)，所表現(xiàn)出的能夠創(chuàng)造性地分析、較快形成解決思路、迅速進(jìn)行決策、快速整合資源解決問題的可遷移素養(yǎng)是學(xué)科育人的追求。教學(xué)中，要及時(shí)激活鏈接，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的遷移。

【案例7】

有什么辦法可以測量出學(xué)校旗桿的高度呢？

學(xué)生想到旗桿旁邊的小樹和影子，通過計(jì)算小樹的實(shí)際高度和影長的比值，再測量旗桿的影長，進(jìn)而求出旗桿的長度。

旗桿是學(xué)生熟悉的物體，知道直接測量旗桿高度的不便性，因此想到用正比例知識(shí)解題。學(xué)生分析問題，關(guān)聯(lián)知識(shí)，遷移應(yīng)用等能力和素養(yǎng)，正是在解決問題的過程中逐步實(shí)現(xiàn)的，這就是深度學(xué)習(xí)的意義。

3.延伸性思考

學(xué)生提出問題、理解問題、解決問題及產(chǎn)生新問題的過程，就是獲得知識(shí)的過程，也是深度學(xué)習(xí)的過程。在真實(shí)的生活中，許多正比例關(guān)系只有在嚴(yán)格的條件限制中才能成立。

【案例8】

解決問題：在科學(xué)課上我們見過彈簧秤，如果把彈簧的長度與所掛砝碼的質(zhì)量這兩種變量用圖表示，你覺得應(yīng)該是怎樣的？進(jìn)一步思考——這條線可以向一端無限延長嗎？

學(xué)生知道彈簧是有彈性的，可以得出在彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量和彈簧拉伸長度成正比例關(guān)系。在教師的提醒下，延伸思考，不難得出：如果掛的物體太重，超過了彈簧的最大承受力，彈簧就不會(huì)再伸長了，因此表示彈簧的長度這條線也不會(huì)無限延長。

生活中很多數(shù)量變化往往在一定范圍內(nèi)。在對(duì)上述現(xiàn)象的反思中，學(xué)生感受到數(shù)據(jù)變化的受限性。像這樣借助生活來理解數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生多角度思考數(shù)學(xué)問題大有裨益，能促進(jìn)學(xué)生形成求真、求實(shí)的思想品質(zhì)。

通過學(xué)習(xí)內(nèi)容基于整體視角的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“根”；通過學(xué)習(xí)過程中基于數(shù)學(xué)思想的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“魂”；通過應(yīng)用價(jià)值實(shí)踐探究的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“利”。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要以“深度關(guān)聯(lián)”為抓手，探索教學(xué)新樣態(tài)，讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 陳麗.數(shù)形從分離走向結(jié)合，概念理解從淺顯走向深刻：以六年級(jí)“正比例的意義”教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2022（11）： 29-30.

（責(zé)編 黃 露）