具身操作體驗，感悟度量本質

胡曉英

［摘 要］從長度到面積再到體積的學習過程代表了從一維到二維再到三維的度量概念的逐漸升級，這是學生認知上的重要飛躍。教學“長方體和正方體的體積”時，通過知識遷移、動手操作、對比分析， 讓學生親身經歷從“不知所以然”走向“融會貫通”的過程，從而累積“量”的學習與活動經驗，讓學生的量感順勢而生。

［關鍵詞］知識遷移；操作體驗；量感；本質

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0048-04

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，“圖形的認識”和“圖形的測量”被整合為“圖形的認識與測量”主題。這個主題包括圖形的認識以及圖形長度、角度、周長、面積和體積的測量和計算。“圖形的認識與測量”具有內在的聯系，教師應強調從整體角度認識圖形和測量，通過使用統一的度量單位來理解概念。這樣可以幫助學生真正體會到統一度量單位的重要性和一致性，并能夠通過度量單位來理解圖形的長度、角度、周長、面積和體積，凸顯度量的本質關聯，形成知識鏈。

在小學階段的“圖形與幾何”領域中，“長方體和正方體的體積”通常被視為相對較難的內容。然而，教材普遍將這一內容分為兩個階段來編排。一年級上冊的教學主要是初步認識，側重于直觀感知和辨認，讓學生能夠理解基本概念。而五年級下冊的教學則是再認識，著重系統教授長方體和正方體的相關知識，同時培養學生的空間想象能力。（如圖1-1、1-2）

長方體和正方體是小學數學中最常見、最基本的立體圖形。學習“長方體和正方體的體積”之前，學生對此已經具有一定的整體感知和直觀形象的認識體驗，并掌握了體積的概念和常用的體積單位（如圖1-3）。因此，這一節課旨在讓學生進一步探究和掌握長方體和正方體的體積計算方法，學會使用體積公式計算這些立體圖形的體積，從而不斷深化對體積概念和體積單位的理解，同時為下一階段的圓柱、圓錐的體積計算學習奠定基礎。

五年級的學生已經具備了一定的推理能力和空間想象能力，已經學習了長方體和正方體的特征、展開圖，理解了體積的含義，認識了體積單位，還會計算這些立體圖形的表面積。然而，他們尚未建立起關于立體圖形體積計算的模型，因此在推導體積公式和建立不同知識點之間的聯系方面可能存在難度。在這個階段，學生的思維發展正逐漸從形象思維轉向抽象思維，他們正在逐漸具備從抽象層面思考問題的能力。然而，對于長方體的體積公式的推導和不同知識點之間的聯系，學生可能需要更多的指導。

針對以上情況，筆者把教學重點和難點放在探究為什么“長方體體積=長×寬×高”上，找準單位度量“承重墻”，打通不同領域、不同維度之間的“隔斷墻”。

【教學目標】

1.經歷探索長方體、正方體的體積計算方法的推導過程，理解并掌握長方體、正方體的體積公式，以及體積公式的推導方法，能運用體積公式解決一些生活中簡單的實際問題。

2.通過觀察猜測、具身操作、小組驗證和辨析歸納等數學活動，積累數學活動經驗，發展空間觀念和類比推理的能力，感悟度量的本質。

3.在探索、合作活動中，學會與人交流、合作，形成樂于探索新知的思維品質。

【教學重點】理解并掌握長方體和正方體的體積計算方法。

【教學難點】探究為什么“長方體體積=長×寬×高”。

【教學設計】

一、激活經驗，提出想法

1.勾連長度、面積，理解“度量”的意義

師（出示圖2）：這條線段的長度有多少米？你是怎么知道的？

師（出示圖3）：小正方形的面積是１平方厘米，長方形的面積是多少？

師：要想知道長方體的體積，你有什么好建議？

師：線段的長度是它含有的“長度單位”的數量，平面圖形面積的大小是它含有的“面積單位”的數量，那立體圖形體積的大小是不是它含有的“體積單位”的數量呢？

【設計意圖：通過長度、面積的鋪墊，學生能想到“利用邊長為1厘米的小正方體擺出長方體，從而測量出長方體體積”的方法。】

2.探究長方體的體積與長、寬、高的關系

師：猜想長方體的體積大小與長方體的長、寬、高之間有什么關系。

師：猜測影響長方體體積大小的是什么因素。數學是一門以嚴謹著稱的學科，光有猜想可不夠呢，還得進一步驗證才行。

二、逐級探究，明確算理

1.初探：實踐操作，充分感悟

出示小組合作活動要求：

A.動手操作：? 用1立方厘米的小正方體擺一擺、拼一拼，得出3個不同的長方體。

B.觀察記錄：? 邊擺邊數，把3個不同長方體的相關數據填入學習單（略）中。

C.總結討論：? 拼成的長方體所含體積單位的個數可能等于多少？長、寬、高與拼成的長方體的每行個數、每層行數、層數之間有什么關系？長方體的體積和長方體的什么有關？有怎樣的關系？

2.再探：匯報展示，溝通難點，理解本質

生1：每一排都有4個小正方體，共有２排，列式為4×2=8，從而知道每一層都有8個小正方體，共有2層，8×2=16，拼成的長方體由16個小正方體組成，體積是16立方厘米。我們組發現長方體的體積與長、寬、高之間的關系是長方體的體積等于長×寬×高。

生2：每行個數相當于長，每層行數相當于寬，層數相當于高，小正方體數量等于“每行個數×每層行數×層數”，那么體積就等于“長×寬×高”。

師（動畫呈現拼長方體過程）：長方體的長相當于每行個數，寬相當于每層行數，“長×寬”表示一層的個數，高表示層數。因為長方體所含體積單位的數量（即小正方體的數量）就是長方體的體積，而“小正方體的數量=每行個數×每層行數×層數”，所以“長方體的體積= 長×寬×高”。

【設計意圖：現場統計學生的實踐數據，利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題“長方體的體積為什么等于長×寬×高”的思路。這一環節培養了學生的幾何直觀與數據意識。】

3.遷移認知，再學新知

師（出示圖形轉化的視頻）：正方體就是比較特殊的長方體，它的長、寬、高的長度都相等，也就是棱長長度相同。類比推理得出“正方體的體積=棱長×棱長×棱長”。

生3：V=a×a×a=a?。

師：a?怎樣讀，它表示什么？

生4：三個a連續相乘，寫成a?，讀作a的立方。

4.歸納統一體積公式

師：長方體的體積也能用底面積乘高來計算。用字母S表示底面積，h表示高，用字母表示為V=Sh。

師：長方體的這兩個體積公式有什么聯系呢？

【設計意圖：練習環節有層次，既考查了學生對公式的靈活運用，又考查了學生是否仔細審題。最后的拓展題，是鼓勵學生用多種方法解決問題，而分層練習，能讓不同層次的學生體會到成功的快樂，從而保持旺盛的學習熱情。】

三、溝通三維，構建體系

師：有人說長度、面積和體積的測量方法是一樣的，你覺得呢？

師：測量，就是通過觀察數一數、通過動手量一量，再計算有多少個這樣的測量單位。

【設計意圖：度量的本質是度量單位個數的累加，這個環節讓學生溝通了三者的聯系，即長度是一維圖形的度量，面積是二維圖形的度量，體積是三維圖形的度量。從長度到面積再到體積的測量方法來進行系統的分析總結，度量的本質并沒有發生改變，充分體現了空間與幾何大單元教學理念中從線到面再到體的空間觀念的發展規律。】

四、適時小結，興趣延伸

師：這節課你有什么收獲？

師：先估計家里的一個長方體物品的體積或者一個房間的容積，再測量并計算。

【設計意圖：實踐作業讓數學知識回歸生活。讓學生利用身邊常見的長方體進行合理的估算，并做出合理的判斷，不僅給每位學生動手實踐、學以致用的機會，而且培養了學生的數感和空間想象能力，提高了學生解決問題的能力。】

【教后反思】

一、抓住“量”的本質，實現知識遷移

量感是人們對外部事物大小屬性的感知和直覺。小學生在沒有使用測量工具的情況下，可以根據經驗合理估計某個量的大小。

培養量感首先需要學生具備度量的意識，也就是用數學的眼光觀察現實世界，尤其是觀察日常生活中的事物。其次，需要在真實情境中提出測量問題，引導學生用數學思維來思考現實世界，從而進行合理的估測。學生的猜測是他們對體積的初步感知，通過觀察和想象，學生逐漸將頭腦中的形象思維轉化為抽象思維。學生通過觀察一個長方體的長、寬、高的變化引起的體積變化，就能夠理解長方體的體積與這些因素之間的因果關系。教師還可以提出關鍵問題，例如“體積與長、寬、高有什么關系”，引導學生將思維從二維領域的“面”轉到三維領域的“體”。最后，通過動手擺弄和拼接來驗證學生的猜測。這個過程將體積的度量與長、寬、高的度量緊密結合，對幫助學生理解長方體體積的度量具有實際意義。通過“觀察—猜測—驗證—得出結論”的過程，學生逐步推導出了長方體的體積公式。同時，將估測和猜測相結合，能使學生真實地體驗量的形成過程。

二、動手操作，培養空間觀念

建立度量單位的概念是培養量感的基礎。度量單位是測量物體數學屬性的統一標準，只有統一的標準才能確保測量結果的一致性和統一性。培養量感的關鍵在于學會識別數量屬性，并能夠“創造”或選擇適當的度量單位來量化這些屬性，而不僅僅是知道用已有的度量單位來測量。在培養學生量感的過程中，可以通過復習舊知、深化理解，從學生已有的知識出發建立學習路徑。這個過程包括以下步驟：①復習舊知。通過回顧學生已經學過的知識，幫助他們感受度量知識的衍生性和其與舊知之間的聯系。②變量刻畫。引導學生將數量屬性與數學變量聯系起來，感知量的大小。③深度體驗。通過實際的操作和觀察，讓學生深入體驗“幾個單位”累加的感覺。④溝通三維。引導學生進一步理解三維度量，構建度量單位的體系。在這個過程中，學生通過親身操作和探究，建立了長方體的長、寬、高與體積之間的聯系。他們經歷了從一維測量（長度）到二維測量（面積）再到三維測量（體積）的過程，將“數”與“量”有機結合起來。最終，他們通過觀察和推導得出了長方體的體積計算公式。這個過程不僅是度量體積的過程，還是培養量感的過程，有助于發展學生的空間觀念。

培養量感是數學教學中的重要一環，通過實際操作和觀察，讓學生深刻理解數量屬性和度量單位的關系，從而更好地理解和運用數學知識。這種學習方式能讓數學學習更加生動和有趣。

三、對比分析，聚焦測量本質

量是可以通過測量得出的。測量體積的本質是使用體積單位進行測量，然后計算該物體所含體積單位的總數量；實際上是學生通過一定的計算得出這些體積單位的總數，用以描述測量對象的體積。在教學中，教師應側重讓學生經歷從“組合體積”“填寫數據”“數體積”到“計算體積”的過程，幫助他們理解體積與長、寬、高之間的關系。在解決日常生活中的簡單問題時，教師要強調度量的本質，從而將知識延伸和拓展到圓柱、圓錐的體積，以及容積概念，幫助學生能夠積累數學學習的基本經驗，提升量感。

課始通過長度和面積測量方法的引導，使學生不局限于解決長方體的體積問題，而是能理解長度、面積和體積之間的知識關系。這一過程有助于他們認識到數學圖形度量的本質是一致的：首先要使用相應的測量單位進行度量，然后計算測量單位的總數量，從而得出圖形的長度或大小。課程結束時，引導學生再次聚焦在“單位”這一測量的數學本質上，幫助學生在深度思考中厘清測量長度、面積和體積之間的經驗和聯系，即長度——一維圖形的度量，面積——二維圖形的度量，體積——三維圖形的度量。學生在學有所獲的同時，也能理解體積的測量本質是從長度和面積測量中延伸出來的，度量的本質是一脈相承的，進一步豐富了度量的內涵。

（責編 金 鈴）