電力系統諧波潮流計算方法綜述

徐永海，薛超凡，陶順，王天澤，張華贏

(1.新能源電力系統國家重點實驗室( 華北電力大學) ，北京 102206;2.南方電網公司新型智慧城市高品質供電聯合實驗室( 深圳供電局有限公司) ，廣東 深圳 518020)

0 引言

隨著各種含電力電子器件的新型用電負荷接入電力系統，給系統帶來了大量的諧波污染［1］，惡化了電能質量。因此有必要探究諧波在電網中的分布特性，諧波潮流計算作為一種諧波分析的有效手段得到了大量應用［2-3］。傳統的確定性電力系統潮流計算沒有考慮電網中的不確定性，但發電機出力、負荷波動、電網運行方式的給系統帶來了一定的隨機性，直接造成了基波潮流的隨機性，由于基波潮流與諧波潮流相互影響，間接影響了諧波潮流; 同時，新能源中風電、光伏的間歇性給系統帶來了明顯的不確定性［4］，一方面會造成基波注入功率的隨機性，影響基波潮流，間接影響諧波潮流，另一方面，在諧波潮流計算中，風電、光伏作為諧波源，直接帶來了諧波潮流計算的不確定性，因此探究恰當的電力系統不確定性諧波潮流計算方法迫在眉睫。

諧波潮流計算主要受諧波導納陣的影響和諧波源發射水平的影響。其中，系統設備參數誤差會影響諧波導納陣的確立，需要對系統中各設備進行準確地諧波建模。而諧波源發射水平與分布式電源的控制方式、非線性設備內部耦合作用等因素有關。隨著新型電力系統的建設，多電力電子設備接入電網，對建立精確的諧波源模型、采用合適的諧波潮流計算方法提出了挑戰。

確定性諧波潮流計算可分為統一求解法［5-7］、交替迭代法［8-9］、解耦法［10-14］和直接求解法［15-19］。現有研究中，確定性諧波潮流已經獲得了廣泛的應用，如文獻［10］提出了諧波潮流的一種解耦算法，同時證明了該算法的優越性。文獻［11］將基波潮流與諧波潮流進行解耦，提出了一種電力系統不對稱諧波潮流的分立迭代算法。文獻［15］對配電網的供電元件進行數學建模，利用直接求解法對配電網諧波潮流進行計算。

不確定性諧波潮流計算可分為概率潮流［20-33］、區間潮流［34-41］和模糊潮流［42-48］。概率潮流基于隨機變量描述不確定性，利用輸入隨機變量的概率特征值進行諧波潮流計算，得到系統狀態變量的概率分布，概率潮流能全面、準確地描述電力系統中隨機性因素對潮流分布的影響。概率潮流又可分為近似法［21-26］、模擬法［27-30］和解析法［31-33］。其中，文獻［21］對分布式電源和負荷進行隨機性建模，基于點估計法進行潮流計算，提高了電網的電能質量。文獻［22］提出了基于Nataf 逆變換的三點估計法進行概率潮流計算，得出了全年網損分攤概率密度函數。文獻［32］提出了基于半不變量及最大熵的諧波潮流計算方法，并驗證了該方法的有效性。文獻［33］提出一種將半不變量法和改進的拉丁超立方采樣技術相結合的方法，提高了概率潮流算法的精度和效率。區間潮流利用區間數描述不確定性，利用確定的區間數代替不確定變量，導致潮流計算結果也在某個區間內，區間潮流所得結果的區間范圍往往大于實際范圍，存在保守性過大的問題。文獻［37］針對傳統仿射諧波潮流的計算結果存在較大保守性的問題，提出一種仿射諧波潮流的保守性優化方法，但文章并沒有給出諧波潮流計算的具體過程。文獻［41］建立了風電場區間模型，并進行了考慮風電場模型的仿射區間潮流算法。模糊潮流是基于隸屬密度函數描述不確定性，采用模糊數進行潮流計算，以此得到狀態變量的模糊分布，模糊潮流能有效解決不具有統計性質、模糊不清的不確定性問題，可以提供更豐富的電網潮流分布信息，但獲取準確的隸屬度函數存在較大的困難，進而影響潮流計算的準確性。文獻［45］應用概率統計及模糊集的相關理論對風電場發電功率不確定的電力系統模糊潮流計算進行了研究。文獻［46］應用模糊集理論，提出了線路退運后的模糊潮流計算方法。文獻［48］考慮了負荷的模糊性，提出一種可以運用在實際配電網的模糊潮流支路前推回代法。以上不確定性諧波潮流計算中，概率潮流已經在諧波潮流計算中得到了較多的應用，而模糊潮流、區間潮流廣泛應用于基波潮流計算，在諧波潮流中的應用還較少。

文章梳理了確定性諧波潮流計算和不確定性諧波潮流計算的具體步驟，對各種諧波潮流計算方法進行了歸納總結; 并基于模糊潮流、區間潮流中基波潮流的計算方法給出了一種模糊潮流、區間潮流中諧波潮流的計算過程。最后，針對“雙高”系統的特性，提出了關于新型電力系統下諧波源建模、輸入輸出變量的概率建模和諧波潮流計算方法等方向面臨的新挑戰。

1 確定性諧波潮流計算

根據基波潮流與諧波潮流的關系，將確定性諧波潮流計算方法分為統一求解法、交替迭代法、解耦法和直接求解法。

1.1 統一求解法

統一求解法將基波潮流和諧波潮流結合起來，考慮基波潮流與諧波潮流之間的交互影響。通過基波潮流、諧波潮流統一計算方法求解各節點基波電壓、諧波電壓，判斷其是否滿足收斂要求，若不滿足，將所求基波電壓、諧波電壓帶入基波潮流、諧波潮流統一求解公式中進行循環求解，直至滿足收斂要求，結束計算。統一求解法精確度高，但其計算規模大、計算速度慢、存在收斂性問題，在工程實際中應用較少。其迭代循環過程如圖1 所示。

圖1 統一求解法示意圖Fig.1 Schematic diagram of unified solution method

其具體求解過程如下:

其中，右上標為頻次，電壓偏差量為ΔX:

功率偏差量為ΔW:

雅可比矩陣為J:

式(1) 中Yh為諧波導納陣。

首先對基波電壓和各次諧波電壓賦初值，然后求解ΔW、ΔI，將各偏差量帶回式( 1) 求解基波電壓和各次諧波電壓的偏差量，修正基波電壓和各次諧波電壓值，重新求解ΔW、ΔI，經過反復迭代直至滿足收斂條件，得出基波電壓和各次諧波電壓準確值。

1.2 交替迭代法

交替迭代法結合了基波潮流與諧波潮流既可迭代循環又可獨立求解的原理。首先進行基波潮流計算并使得基波循環滿足收斂條件，然后根據基波參數進行諧波潮流計算，直至諧波循環滿足收斂條件，再考慮諧波潮流對基波潮流的影響，將諧波參數帶回到基波中進行計算，循壞基波潮流和諧波潮流，直至基波潮流和諧波潮流都滿足收斂條件，結束迭代。交替迭代法精度較高，計算速度較快，但由于基波與諧波間的耦合關系，其仍然存在收斂困難的問題。交替迭代法循環過程如圖2 所示。

圖2 交替迭代法示意圖Fig.2 Schematic diagram of alternating iteration method

其具體求解過程如下:

(1) 根據牛拉法進行基波潮流計算，求解各節點的基波電壓。

(2) 將基波電壓帶入式(5) 求解諧波注入電流Ih，在式(5) 中對諧波電壓設初值Uh(0)。

再根據式(6) 求解各節點的各次諧波電壓值，重復式(5) 和式(6) ，直至相鄰兩次迭代的諧波電壓差滿足收斂要求結束迭代，得到各節點的諧波電壓值。

(3) 考慮諧波潮流對基波潮流的影響，根據式(8)求解各次諧波功率，然后根據式( 9) 求解基波功率，將基波功率作為基波注入功率已知量帶回步驟(1) ，重復步驟(1) ～步驟( 3) 直至基波潮流和諧波潮流都滿足迭代精度，得出最終結果。

1.3 解耦法

解耦法是一種簡化的交替迭代法，實際在基波潮流與諧波潮流的耦合關系中，基波潮流對諧波潮流的影響較大，而諧波潮流對基波潮流的影響較小，所以解耦法不考慮諧波潮流對基波潮流的影響。解耦法計算速度快，方法簡單，多用在工程實際中，其求解思路如圖3 所示。

圖3 解耦法示意圖Fig.3 Schematic diagram of decoupling method

解耦法具體步驟同交替迭代法中的步驟(1) 和步驟(2) ，由于忽略了諧波潮流對基波潮流的影響，解耦法不需要進行步驟(3) 。

1.4 直接求解法

直接求解法僅考慮節點基波電壓對各次諧波注入電流的影響，不需要考慮諧波潮流對基波潮流的影響且諧波不需要迭代，其計算速度快，但計算精度差。當諧波注入電流已知時，也可以直接求解諧波電壓。其求解思路如圖4 所示。

圖4 直接求解法示意圖Fig.4 Schematic diagram of direct solution method

其具體求解過程如下:

當各次諧波注入電流不可直接獲得時，根據牛拉法求出各節點的基波電壓，然后根據式( 10) 求解各次諧波注入電流，最后通過式(6) 求解各節點的各次諧波電壓。

當各次諧波注入電流通過實驗或現場實測可直接獲得時，可以直接通過式(6) 求解各次諧波電壓。

1.5 確定性潮流計算小結

對上述確定性諧波潮流計算方法進行對比分析，見表1。

表1 確定性諧波潮流總結Tab.1 Summary of certainty harmonic power flow

2 不確定性潮流計算

常見的不確定性諧波潮流有概率潮流、區間潮流和模糊潮流，見圖5。

其中，概率潮流分析又包括模擬法、近似法、解析法。傳統的模擬法是指蒙特卡洛法，蒙特卡洛法采用對不確定量進行隨機采樣的方式求解潮流計算結果，由于其計算精度高，常作為衡量其他方法是否準確的基準方法進行參考比較。近似法是根據輸入隨機變量的數字特征來描述輸出變量的統計特性。近似法主要包括點估計法、一次二階矩法和狀態變換法等。其中一次二階矩法僅能處理輸出與輸入之間均值和方差的數值，算法模型誤差較大;狀態變換法以高斯正態分布為變換基礎，不具有普適性;因此最常見的近似法是點估計法。解析法概率潮流是利用隨機變量間的關系進行卷積計算得到待求狀態變量的概率分布。常用的解析法卷積計算有快速傅里葉變換、半不變量法和序列運算理論。其中快速傅里葉變換不適用于大規模電力系統，序列運算理論的建立和運算都要滿足全新的規則和要求，難度較大，因此最常見的解析法是半不變量法區間潮流用區間來描述不確定量，運用區間分析理論求解含區間數的潮流方程。區間潮流計算方法有區間迭代法、仿射優化法和直接優化法三類，其中，區間迭代法計算效率差，直接優化法保守性大，而仿射法收斂性強、計算效率快并且可以克服區間潮流保守性過大的缺點，應用較廣。

模糊潮流采用隸屬密度函數描述不確定量，運用模糊數學理論求解潮流狀態量的隸屬度函數，常用三角模糊數或梯形模糊數描述參數的不確定性。常規的模糊潮流計算方法有三種，分別為前推回代法、增量法和α-截集法。其中前推回代法簡單有效但適用場景少，α-截集法結果精度較高但所耗費的時間較長且難以實現，而增量法計算簡單，計算速度、精度較好，應用廣泛。

因此，文章主要對概率潮流近似法中的點估計法、解析法中的半不變量法，區間潮流中仿射優化法和模糊潮流中增量法的求解過程進行了梳理，其中諧波潮流計算均以“直接求解法”為基礎拓展出不確定性計算方法。實際應用中，可根據工程實際要求，靈活采取“統一求解法”、“交替迭代法”、“解耦法”和“直接求解法”求取不確定性諧波潮流。

2.1 概率潮流

2.1.1 點估計法

在點估計法中，當n維輸入變量Xi(i=1，2，…，n)的h維多元函數為H=F(X) ，當已知每個輸入變量的m個點xi，k(k=1，2，…，m) 的數字特征時，求取輸出變量的數字特征。其中，xi，k及其概率pi，k為:

式中μxi、σxi、ζxi，k分別為m個xi值的期望、標準差、位置系數。

ζxi，k、pi，k由式(12) 獲得:

式中λi，j為標準化中心矩，其值由式(13) 得:

用已知的確定性函數關系H=F(X) 得到X各估計點下的H值，進一步可求出H的j階估計值:

在潮流計算中，假設已知各節點m個注入功率值的數字特征μwi、σwi，通過式(11) ～式(13) 求解pwi，k、ζwi，k和Wi，k。將Wi，k當作注入功率已知量，通過確定性潮流計算求解各節點電壓的m個電壓值Ui，k，根據式(11) ～式(13) 求解基波電壓的μwi、σwi、pwi，k、ζwi，k，最后通過式(14) 確定各節點電壓的數字特征E(Uj) 。

根據求得的m個基波電壓Ui，k，通過式( 5) 或式(10) 求解h(h=2…H) 次諧波注入電流的m個隨機量，將得到的Ii，k通過式(6) 求解h次諧波電壓的m個Ui，kh值，根據式(11) ～式(13) 求解諧波電壓的各特征量，最后通過式( 14) 確定各節點的各次諧波電壓的數字特征E( (Uh)j) 。

2.1.2 半不變量法

在半不變量法中，半不變量是隨機變量很重要的一種數字特征，半不變量序列可唯一確定隨機變量的分布規律。實際應用中，由于半不變量直接求取過程復雜，常把半不變量與高階原點矩進行轉換，對于隨機變量Y，其半不變量與高階原點矩的關系如下:

式中gj為j階半不變量;aj為j階原點矩。

已知隨機變量的樣本時，可直接求得Y的j階矩:

式中ym為隨機變量Y的第m個可能取值;pi表示取值為ym時的概率。

在潮流計算中，計算注入功率的各階半不變量( 本小節式(17) 以后參數均為半不變量形式) ，根據公式ΔW=JΔX可以將確定性潮流計算概括為:

將X表示為:

式中X0為基波電壓的期望值; ΔX為基波電壓實際值與期望值的偏差量。將隨機注入功率的期望值W0看作基波注入功率已知量，根據確定性潮流計算方法求解節點基波電壓X0。將式(18) 在X0處泰勒展開，將基波潮流方程線性化:

式中Je－1為節點電壓對節點注入功率變化的靈敏度矩陣。

通過式(19) 可以得到:

根據上述方法求解各節點基波電壓的各階半不變量形式。然后將半不變量形式的電壓轉化為電壓的原點矩形式，最后選擇合適的級數展開模型擬合出節點電壓的概率分布。

根據求得的基波電壓的半不變量值，通過式(5) 或式(10) 求解諧波注入電流的半不變量值Ih，由式( 6)可知U=f(I) ，將諧波節點電壓表達為如下形式:

式中U0h為諧波電壓的期望值; ΔUh為諧波電壓實際值與期望值的偏差量。根據式( 6) 計算節點諧波電壓。將式(21) 在處泰勒展開，將諧波潮流方程線性化:

通過式(22) 可以得到:

式中Zh為諧波電壓對諧波注入電流的靈敏度矩陣。

求解節點諧波電壓的各階半不變量形式。然后將半不變量形式的諧波電壓轉化為電壓的原點矩形式，最后選擇合適的級數展開模型擬合出節點諧波電壓的概率分布。

2.2 仿射型區間潮流算法

已知一個區間［x］，滿足x_≤x≤可以寫成:

而不確定的區間變量［x］還可以用一個仿射形式x來表示:

式中x0為變量中心值;噪聲元εi落在［－1，1］內;xi為噪聲系數，決定了噪聲元εi的比重大小和符號;n為噪聲數量。

不確定變量的區間形式和仿射形式能夠相互轉換:給定一個區間[x]=，其對應的仿射形式x^可以表示為:

反過來，給定一個仿射形式:

其對應的區間為:

在潮流計算中，若已知系統有n個節點，其中1 ～m號為線性節點中的PV 節點，m+1 ～n－1 為線性節點中的PQ 節點，n號節點為平衡節點。其中已知的節點注入功率表示如下:

此時，未知的系統節點電壓可以表示為如下仿射形式:

式中A=P，Q。

目前區間諧波潮流應用較少，計算過程模糊，因此文章參考基波潮流的計算過程，給出了如下一種區間諧波潮流的計算方法。

根據節點基波電壓的概率區間，通過式( 5) 或式(10) 求解各次諧波電流的概率區間，如注入的諧波電流如下:

則各節點諧波電壓的仿射形式為:

求取諧波注入電流的仿射形式:

2.3 增量型模糊潮流算法

模糊潮流相比較概率潮流不需要進行大量的統計分析，但需要建立模糊模型，模糊建模的準確程度直接影響模糊潮流計算的精確度，文章用梯形模糊模型來描述參數的不確定性。其中梯形模糊隸屬函數表示某參數的預測值一定在L1～L4之間，而最可能出現在L2～L3之間，公式如下:

模糊數中心值為μL(x)=1 截集的平均值為x =。

在潮流計算中，當基波注入功率ΔW符合梯形模糊數分布規律時，首先求解模糊出力P的中心值Pd，將其帶入確定性潮流計算中求解系統節點電壓中心值Ud;根據式(38) 求解系統中各節點注入功率的模糊增量ΔP、ΔQ，將其帶入到式( 1) 中求取系統中各節點的模糊電壓增量ΔX，其中J為確定性潮流計算最終修正值。

最后根據式(39) 求解節點模糊電壓的實際值:

參考基波潮流的計算過程，文章給出了如下一種模糊諧波潮流的計算方法。

根據基波電壓值，通過式( 5) 或式( 10) 計算模糊注入諧波電流值，然后計算模糊諧波注入電流的中心值，根據式(40) 求取模糊諧波電壓中心值，即:

已知模糊注入電流為Ih時，根據式( 41) 求解模糊電壓增量ΔUh。

最終其模糊電壓Uh為:

2.4 不確定性潮流總結

對不確定性諧波潮流計算方法進行對比分析，如表2 所示。

表2 不確定性諧波潮流總結Tab.2 Summary of uncertainty harmonic power flow

3 “雙高”系統下的新挑戰

隨著包含高比例可再生能源和高比例電力電子設備的新型電力系統快速發展，給配電網系統帶來了種類豐富、數量眾多的非線性設備，使得配電網中諧波的產生與交互更加復雜，因此，有必要對非線性設備的不確定性、諧波源內部工作機理、輸出變量的概率分布進行建模，并且需要探究適用于新型電力系統特征的諧波潮流計算方法。

3.1 模型的建立

3.1.1 不確定量的概率模型

隨著風電、光伏等分布式電源的接入，給系統帶來了較大的不確定性，使得系統發出的有功功率難以準確得到，需要建立分布式電源的輸出功率概率模型。常用的功率概率模型有光伏的beta 分布模型、風電的Weibull 分布模型［49］，由于光伏、風電出力的波動性較大，其概率密度曲線很可能不服從特定的數學函數形式，因此提出了非參數核密度估計方法、近似貝葉斯計算等。其中非參數核密度估計方法局部適應差、存在邊界偏差等問題，近似貝葉斯計算在高維積分中十分困難，需借助其他方法近似求解。因此，有必要對上述方法進行改進，得到更準確的輸入變量概率分布。如文獻［33］將基于反射法的非參數核密度估計和自適應非參數核密度估計相結合，提出改進的非參數核密度估計方法，提高了輸出功率概率分布模型的準確性。

3.1.2 非線性設備內部特性建模

隨著各種非線性設備接入配電網，使得配電網中諧波源的工作機理更加復雜。一方面為了探究諧波源內部寬頻域諧波交互耦合機理，另一方面為了使諧波潮流計算結果更加準確，需要對諧波潮流進行一定次數的迭代計算見圖6。因此，需要得到準確的Ih=g(U1，U2，…，Uh，…，UH) 函數。而在目前的研究中，諧波內部的耦合機理尚不明確［50］，常常忽略附加電路的影響，因此得到的g函數的準確度較差。需要深入研究非線性設備的電路結構及工作機理，分析非線性設備各頻次之間的耦合關系，得到準確的計及寬頻諧波耦合的諧波源模型。而隨著計及寬頻諧波耦合的諧波源模型的建立，需要將諧波源與電網系統連接起來，探究電網系統與諧波源之間的交互耦合情況，并提出計及電網系統與諧波源交互耦合情況下的諧波潮流計算方法。

圖6 諧波迭代流程圖Fig．6 Harmonic iterative flow chart

3.1.3 諧波潮流的概率分布模型

在概率潮流中，解析法和近似法由于計算出來的是系統的各階矩或是系統的半不變量值，因此需要進行級數展開來求解系統輸出變量的概率分布，現有常用的級數有A 型Gram-Charlier 級數、C 型Gram-Charlier 級數、Cornish-Fisher 級數等。其中A 型Gram-Charlier 級數在處理含非正態分布的新能源電力系統時，存在概率密度曲線尾部精度不高的問題; C 型Gram-Charlier 級數可以解決這個問題，但是存在不收斂的情況;Cornish-Fisher 級數在處理僅有正態分布隨機變量的系統中與Gram-Charlier 級數的精確度接近，但在處理于含非正態分布的隨機變量時，Cornish-Fisher 級數精度更高。而在半不變量法概率潮流中，常用最大熵原理來判斷隨機變量的概率分布情況，最大熵原理可以有效地處理含非正態分布的隨機變量，但計算時間較長。上述級數展開方式各有優缺，有必要對各級數展開方式進行改進，更快速、準確地得到輸出變量的概率分布。如文獻［51］中采用了一種利用最大熵原理改進的C 型Gram-Charlier 級數展開法，不僅保留了C 型Gram-Charlier 級數計算速度快的優勢，還提高了計算精度。

3.2 計算方法的突破

3.2.1 多諧波源共同作用

大量的分布式電源接入配電網，在電網中會形成多諧波源在同地或異地同時接入電網，需要探究多諧波源共同控制下的諧波傳播特性。隨著大規模的太陽能光伏板或風機進入電力系統，會在配電網中造成諧波源的集群，需要探究如何對集群型的諧波源進行建模，進而探究集群型諧波源存在情況下的諧波潮流計算方法。

3.2.2 諧波電壓源的存在

隨著各種新能源和復雜電力電子設備的接入，傳統的電流注入型諧波源出現了許多局限性，如難以計及光伏電站的光照度和溫度、風電場站的風速等新能源系統的隨機特性，尚且無法進行動態特性建模，而諧波電壓源形式可以較好地解決上述問題［52］; 且電流源在考慮諧波源內部PWM 的死區效應、器件非理想特性以及多頻耦合作用時，需要在諧波電流源模型中增加受控電壓源［53］。但現有諧波電壓源在潮流計算中應用較少，計算方法不夠成熟。因此，考慮到潮流計算的隨機性、非線性設備與系統間交互耦合機理等特性，可以考慮建立分頻段的諧波電壓源與諧波電流源模型，進行適用于電壓與電流諧波源激勵共存的寬頻域諧波潮流計算方法研究。

3.2.3 時頻域結合的潮流計算

現有諧波潮流計算多在頻域情況下進行，而隨著各種非線性設備接入電網，在頻域情況下處理非線性元素較為困難，需要設立一定的假設條件簡化計算過程，會造成較大的計算誤差。而采用時域建模可以反映諧波耦合、新能源發電的周期性變化等特性［54］，更加符合非線性設備的運行特性。因此，可以在時域情況下對各種非線性設備進行建模，在頻域情況下對線性設備進行建模［55］。但由于時域建模較為復雜，需要盡量縮小時域模型的范圍，可以考慮將配電網進行模塊化，只對極少數影響潮流計算精度的模塊進行時域分析，其他對潮流計算影響較小的非線性模塊進行線性化處理，然后在頻域中求解。

4 結束語

文章梳理了各種諧波潮流計算方法的求解過程，并對各種諧波潮流計算方法進行了分析比較。而隨著高比例可再生能源和高比例電力電子設備接入電網，使得電網中諧波的產生與交互更加復雜，有必要通過諧波潮流計算方法，了解電力系統諧波傳播特性。因此文章分析了“雙高”系統下，諧波潮流計算在建模與方法上面臨的新挑戰，希望可以為后續的相關研究提供參考。