基于Keras框架的普朗克常數(shù)計(jì)算方法研究

高海林 李陽 費(fèi)宛瑩 席文靜 李雪

摘要：光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)，通過光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)可以對普朗克常數(shù)進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時(shí)，計(jì)算結(jié)果和真實(shí)值之間往往存在較大誤差。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的快速發(fā)展，物理數(shù)值計(jì)算也可以使用不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架進(jìn)行解決。文章介紹了光電效應(yīng)方程對普朗克常數(shù)計(jì)算的理論依據(jù)，采用深度學(xué)習(xí)的Keras框架對110個(gè)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行了不同批次訓(xùn)練，研究了損失函數(shù)對普朗克常數(shù)計(jì)算精度的影響。基于深度學(xué)習(xí)Keras框架的普朗克常數(shù)計(jì)算方法研究為物理常數(shù)的計(jì)算提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：光電效應(yīng)；普朗克常數(shù)；深度學(xué)習(xí)；Keras框架

中圖分類號：TP311? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號：1009-3044（2023）31-0022-03

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0 引言

普朗克常數(shù)是一個(gè)物理常數(shù)[1]，記為[h]。1900年，馬克斯·普朗克在研究物體熱輻射的規(guī)律時(shí)，提出了一個(gè)全新的黑體輻射公式，即：

[Mλ（T）=2πhc2λ-51exp（hcλkT）-1]? （1）

公式（1） 也被稱為普朗克公式。其中，[c]和[λ]分別表示光速和波長，[k]和[T]分別表示玻爾茲曼常數(shù)和絕對溫度，[h]為普朗克常數(shù)。普朗克在對上述公式尋找理論解釋時(shí)，提出了著名的量子假設(shè)。

1 普朗克常數(shù)計(jì)算實(shí)驗(yàn)原理

某些金屬在受到適當(dāng)頻率的光照射時(shí)，金屬中的自由電子會(huì)獲得能量而逸出金屬表面，這種現(xiàn)象被稱為光電效應(yīng)[2]。光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)原理裝置如圖1所示。

圖1中，[A]為光電管陽極，[K]為光電管陰極。當(dāng)適當(dāng)頻率為[υ]的單色光入射到光電管陰極上時(shí)，電子從陰極逸出后向陽極運(yùn)動(dòng)，形成光電流。

當(dāng)[UAK=UA-UK]為正值時(shí)，[UAK]越大，光電流[IAK]越大，但當(dāng)電壓[UAK]達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，光電流達(dá)到飽和。若在陽極和陰極間施加反向電壓，光電流則逐漸減小，直到[UAK]達(dá)到某一負(fù)值[US]時(shí)，光電流變?yōu)榱悖藭r(shí)[US]稱為遏止電位或截止電壓。從場的角度可以對此進(jìn)行解釋，這是因?yàn)閺年帢O逸出的具有最大初動(dòng)能的電子不能穿過反向電場到達(dá)陽極，即

[eUs=12mv2]? ? ? ? ?（2）

愛因斯坦在對光電效應(yīng)尋求理論解釋時(shí)，提出了著名的光電效應(yīng)方程，即：

[hυ=12mv2+A]? ? ? ? ?（3）

其中，[12mv2]為電子最大初動(dòng)能，[A]為逸出功。

將（2） 式代入（3） 式得：

[hυ=e|Us|+A]? ? ? ? （4）

當(dāng)利用不同頻率的單色光照射光電管陰極時(shí)，有：

[hυ1=e|Us1|+A]? ? ? ? （5）

[hυ2=e|Us2|+A]? ? ? ? （6）

……

其中，[v1]和[v2]分別表示兩種不用頻率的單色光。

聯(lián)立上述任意兩個(gè)方程，得：

[h=e（Usi-Usj）υi-υj]? ? ? ? （7）

其中，[Usi]是入射光頻率為[υi]時(shí)，對應(yīng)的截止電壓。

由公式（7） 可知，愛因斯坦光電效應(yīng)方程提供了一種測量普朗克常數(shù)的方法[3-5]。如果從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所得的[|Us|-υ]關(guān)系曲線如圖2所示，那么直線斜率的物理含義應(yīng)該是：

[k=he]? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，[e]為電子電荷，數(shù)值為[1.602 176 634×10-19C]。

求出直線斜率[k]，然后乘以元電荷[e]即為普朗克常數(shù)[h]。

在大學(xué)實(shí)驗(yàn)中，光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)很重要的實(shí)驗(yàn)。通過該實(shí)驗(yàn)，可以加深學(xué)生對于光電效應(yīng)方程的理解，提高動(dòng)手能力，同時(shí)鍛煉數(shù)據(jù)分析與處理的能力。

以南京醫(yī)科大學(xué)康達(dá)學(xué)院為例，學(xué)生在利用長春市長城教學(xué)儀器有限公司生產(chǎn)的GD-IIIA型普朗克常數(shù)測定儀進(jìn)行光電實(shí)驗(yàn)時(shí)，儀器可以提供的濾色片僅僅有5種，對應(yīng)的波長分別為365.0 nm、404.7 nm、436.8 nm、546.1 nm和577.0 nm，這也就相當(dāng)于圖2 [|Us|-υ]關(guān)系圖中僅僅有5個(gè)點(diǎn)。計(jì)算擬合直線斜率的方法通常有2種，一種是先繪制標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸，然后在二維坐標(biāo)系中描繪出數(shù)據(jù)點(diǎn)，再繪出擬合的直線（離散的點(diǎn)盡量均勻分布在直線兩側(cè)），最后計(jì)算直線斜率。另一種方法是每相鄰兩數(shù)據(jù)之間計(jì)算斜率，最后再求出斜率的平均值。雖然可以通過多次測量減少誤差，但實(shí)際計(jì)算結(jié)果和普朗克常數(shù)的真實(shí)值之間往往存在較大的誤差。

2 基于Keras框架的普朗克常數(shù)計(jì)算

2.1 Keras框架簡介

Keras是一個(gè)由Python語言編寫的開源人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)庫，它通常以TensorFlow、CNTK或者Theano作為后端運(yùn)行，可以對深度學(xué)習(xí)的模型進(jìn)行設(shè)計(jì)、調(diào)試、評估和可視化等[6-14]。

Keras在代碼結(jié)構(gòu)上由面向?qū)ο蠓椒ň帉懀耆K化并具有可擴(kuò)展性。Keras支持現(xiàn)代人工智能領(lǐng)域的主流算法，包括前饋結(jié)構(gòu)和遞歸結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也可以通過封裝參與構(gòu)建統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)模型。

2.2 軟件簡介

利用Keras框架進(jìn)行普朗克常數(shù)計(jì)算需要用到的軟件主要有Anaconda Navigator和Pycharm。

Anaconda是一個(gè)安裝、管理Python相關(guān)包的軟件，還自帶Python、Jupyter Notebook、Spyder等。在計(jì)算中，Anaconda Navigator主要用來管理環(huán)境以及安裝Python、Pycharm軟件及keras、numpy、matplotlib等第三方庫。

Pycharm軟件主要分為社區(qū)版和專業(yè)版，是一款由JetBrains公司開發(fā)的Python集成開發(fā)環(huán)境（IDE） 。Pycharm軟件的功能十分強(qiáng)大，并且多平臺(tái)支持（Windows/MacOS/Linux） 。Pycharm軟件還可用于支持Django框架下的專業(yè)Web開發(fā)，具有很多高級功能。目前官方提供社區(qū)開源版本。本次用來計(jì)算普朗克常數(shù)的Pycharm軟件版本為免費(fèi)的社區(qū)版。

2.3 計(jì)算過程

2.3.1 模型構(gòu)建

利用Keras框架進(jìn)行普朗克常數(shù)計(jì)算的過程主要有準(zhǔn)備數(shù)據(jù)集、構(gòu)建模型、編譯模型、訓(xùn)練模型、評估模型、保存模型、調(diào)用模型等步驟。

數(shù)據(jù)集采用的是某班級做光電效應(yīng)物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)儀器為長春市長城教學(xué)儀器有限公司生產(chǎn)的GD-IIIA型普朗克常數(shù)測定儀。實(shí)際參與訓(xùn)練的數(shù)據(jù)集里有110個(gè)樣本。該樣本記錄在Excel數(shù)據(jù)表格中，第一列數(shù)值為頻率值，第二列數(shù)值為對應(yīng)的反向截止電壓值。程序里通過調(diào)用pandas庫讀取Excel表格，并將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一維張量。

模型構(gòu)建是影響普朗克常數(shù)計(jì)算正確與否的關(guān)鍵因素。Keras框架通常有2種類型的模型，分別為函數(shù)式模型（Model） 和序貫?zāi)Ｐ停⊿equential） 。函數(shù)式模型（Model） 的特點(diǎn)是多輸入多輸出，層與層之間是任意連接的。這種模型的典型特點(diǎn)是編譯速度慢。而序貫?zāi)Ｐ停⊿equential） 的特點(diǎn)是單輸入單輸出，即層與層之間只是相鄰關(guān)系，沒有跨層連接，輸入和輸出之間是一條路通到底。這種模型編譯速度快，操作也比較簡單。本次計(jì)算普朗克常數(shù)采用的是序貫?zāi)Ｐ汀７聪蚪刂闺妷汉皖l率可以認(rèn)為是線性回歸的關(guān)系，因此采用序貫?zāi)Ｐ徒r(shí)僅僅需要在模型中添加一個(gè)全連接層就可以了。對于這個(gè)全連接層而言，輸入張量的維度為1維，輸出張量的維度也是1維。調(diào)用model.summary（）方法可以對構(gòu)建的序貫?zāi)Ｐ蛥?shù)進(jìn)行觀測。模型具體參數(shù)如3所示。

由圖3可知，建立序貫?zāi)Ｐ蛥?shù)的數(shù)目為兩個(gè)，分別表示權(quán)重[w]和偏置[b]。調(diào)用model.compile（）方法可以實(shí)現(xiàn)對Keras模型的編譯。本次計(jì)算中，編譯設(shè)置的優(yōu)化器算法為sgd（隨機(jī)梯度算法），損失函數(shù)為mse（均方誤差），學(xué)習(xí)率設(shè)置成0.01。訓(xùn)練模型采用的方法是model.fit（），其中batch_size為單次傳遞給程序用以訓(xùn)練的數(shù)據(jù)（樣本）個(gè)數(shù)，也被稱為單次訓(xùn)練的批次，設(shè)置為32。epochs為迭代周期，也稱為訓(xùn)練的輪回?cái)?shù)。訓(xùn)練完模型后，獲得的權(quán)重值[w]即為[|Us|-υ]直線的斜率，之后再乘以元電子[e]就可以計(jì)算出普朗克常數(shù)。評估模型采用的方法是model.evaluate（）。

2.3.2 不同批次訓(xùn)練

下面對使用Keras框架搭建的模型進(jìn)行不同輪次的訓(xùn)練，訓(xùn)練輪次分別為1 000、3 000、5 000、7 000、9 000和11 000。訓(xùn)練完模型后，讀取模型權(quán)重值，并計(jì)算出普朗克常量。為了證明模型計(jì)算的準(zhǔn)確性，需要在每次訓(xùn)練完模型后計(jì)算出普朗克常量的相對誤差。對于普朗克常量，現(xiàn)在的公認(rèn)值為[6.626 070 15×10-34J·s]（自第26屆國際計(jì)量大會(huì)（CGPM）表決通過為精確數(shù)）。相對誤差采用的計(jì)算公式為：

[E=|X--X公認(rèn)|X公認(rèn)×100%]? ? （9）

相對誤差僅僅是用于展示出數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，需要人工讀取并記錄數(shù)值，模型并不對誤差進(jìn)行學(xué)習(xí)。在數(shù)值計(jì)算中，為保證精度，計(jì)算出的普朗克常量取6位有效數(shù)字，訓(xùn)練數(shù)據(jù)后計(jì)算的相對誤差取3位有效數(shù)字。訓(xùn)練輪次和計(jì)算出的普朗克常量數(shù)值以及相對誤差E的對應(yīng)關(guān)系如表1所示。

由表1可知，訓(xùn)練次數(shù)為1 000時(shí)，計(jì)算出的相對誤差數(shù)值最大。訓(xùn)練次數(shù)超過1 000時(shí)，相對誤差值均小于1%，可以計(jì)算出普朗克常數(shù)的大致范圍。訓(xùn)練次數(shù)為3 000時(shí)，此時(shí)計(jì)算出的普朗克常量數(shù)值為[6.640 07×10-34J·s]，較接近公認(rèn)值。訓(xùn)練次數(shù)越多并一定能提高準(zhǔn)確率。訓(xùn)練次數(shù)為9 000時(shí)，計(jì)算出的相對誤差數(shù)值大于訓(xùn)練7 000時(shí)的計(jì)算值。訓(xùn)練次數(shù)為3 000時(shí)，原始數(shù)據(jù)和擬合的回歸曲線如圖4所示，損失率的變化情況如圖5所示。

2.3.3 不同損失函數(shù)的訓(xùn)練

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，損失函數(shù)通常被用于模型的參數(shù)估計(jì)，即通過最小化損失函數(shù)進(jìn)行求解和評估模型。

在Keras框架下，反向截止電壓和頻率的關(guān)系為線性回歸問題。為了研究不同損失函數(shù)對普朗克常數(shù)計(jì)算精度的計(jì)算影響，下面對搭建的序貫?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行不同損失函數(shù)的測試。測試的損失函數(shù)分別為mean_absolute_error（平均絕對誤差）、mean_squared_logarithmic_error（均方對數(shù)誤差）、mean_absolute_percentage_error（百分比平均絕對誤差）和logcosh（對數(shù)雙曲余弦函數(shù)）。訓(xùn)練輪次統(tǒng)一設(shè)置成3 000次，學(xué)習(xí)率統(tǒng)一設(shè)置成0.01。

由表2可知，相比較其他損失函數(shù)，在mse（均方誤差）損失函數(shù)下，計(jì)算出的相對誤差值較低，數(shù)值為0.212%。損失方法采用均方對數(shù)誤差計(jì)算出的普朗克常數(shù)的相對誤差值最大，數(shù)值為403%。

2.3.4 保存模型

在確定損失函數(shù)和訓(xùn)練次數(shù)的前提下，可以調(diào)用model.save（）函數(shù)保存訓(xùn)練好的模型，以便于后續(xù)調(diào)用模型評估新的測量數(shù)據(jù)的可信度。

3 結(jié)論

對于物理線性回歸的問題，可以使用深度學(xué)習(xí)進(jìn)行嘗試解決。本文采用深度學(xué)習(xí)的Keras框架，對普朗克常量進(jìn)行了計(jì)算，本質(zhì)上是基于物理實(shí)驗(yàn)對物理常數(shù)的檢驗(yàn)與計(jì)算。在樣本量為110，優(yōu)化器算法為sgd（隨機(jī)梯度算法），損失函數(shù)為mse（均方誤差），學(xué)習(xí)率為0.01時(shí)，計(jì)算出的普朗克常量數(shù)值接近于真實(shí)值。基于深度學(xué)習(xí)Keras框架的普朗克常數(shù)計(jì)算方法研究為物理常數(shù)的計(jì)算提供了新的思路，具有新的意義。

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