無理數(shù)是蠻不講理的嗎？

李丁一

今天，老師帶領(lǐng)我們結(jié)識了一位新朋友——無理數(shù)。從名字來看，它好像有點蠻不講理，為什么這么說呢？

教材上說有理數(shù)是能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，無理數(shù)應(yīng)屬于不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)。但不能寫成分?jǐn)?shù)形式，為什么等價于無限不循環(huán)小數(shù)呢？我想不通，決定換個方向思考。

按照無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)應(yīng)屬無限循環(huán)小數(shù)類別。這能行嗎？有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，其中有一類分?jǐn)?shù)能寫成有限小數(shù)，還有一類分?jǐn)?shù)能寫成無限循環(huán)小數(shù)。整數(shù)和有限小數(shù)怎么轉(zhuǎn)化成無限循環(huán)小數(shù)？我一不做二不休，繼續(xù)探索。

整數(shù)和有限小數(shù)相對無限循環(huán)小數(shù)來說，最大的不同是它們是有限個數(shù)位。如能找到一種方式將有限轉(zhuǎn)化成無限，不就解決問題了？我決定先嘗試把整數(shù)化成無限循環(huán)小數(shù)。在我苦思冥想不得其解的時候，老師點撥了我：“會不會有些無限循環(huán)小數(shù)可以化成整數(shù)呢？”我抓耳撓腮，盯著草稿紙上的[1/3]=0.3，若有所思：等式兩邊都乘3，左邊變成1，右邊變成0.9，也就是1=0.9。我發(fā)現(xiàn)了“新大陸”，每一個整數(shù)都可以寫成無限循環(huán)小數(shù)，比如12=11.9。同理，對于有限小數(shù)，也很容易化為無限循環(huán)小數(shù)，比如0.618=0.6179。

也就是說，有理數(shù)和無理數(shù)的分類依據(jù)可以是無限循環(huán)和無限不循環(huán)小數(shù)。我趕緊告訴了老師，老師狠狠地夸贊了我，并告訴我，這是一種極限思想，是微積分的基礎(chǔ)。我的心里樂開了花！

教師點評

歷史上對有理數(shù)和無理數(shù)的界定方式有很多，比如分割說、序列說等。弗賴登塔爾曾這樣描述數(shù)學(xué)的表達形式：沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的樣子發(fā)表出來。小作者從疑惑開始，結(jié)合教材，對有理數(shù)和無理數(shù)的分類進行了深入思考，仿佛回到數(shù)學(xué)結(jié)論出來之前的火熱思考階段，非常值得肯定，也建議同學(xué)們養(yǎng)成從根源思考的習(xí)慣。 （指導(dǎo)教師：李珺）