明晰學習路徑　提升學習能力

第二章 有理數

領? 銜? 人：朱月紅

組稿團隊：江蘇省泰州醫藥高新區（高港區）朱月紅名師工作室

“有理數”是初中數學學習的起點。同學們在小學學習的運算法則、運算性質，在有理數范圍內仍然成立。當然，初中的要求會有所提高。初步學習數系擴充的方法，掌握研究一類數的基本方法，會讓數學學習更輕松、有趣。

一、初識“數系擴充”的必要性

我們學過各種各樣的數。為了表示物體的個數或者順序，產生了整數1、2、3等；為了表示“沒有”，引入了數0；有時分配、測量的結果不是整數，需要用分數（小數）表示；為了表示具有相反意義的量，我們又引進了負數……總之，數是為了滿足生產和生活的需要而產生、發展起來的（如圖1）。

二、類比自然數，再識有理數

同學們還記得小學是怎么研究自然數的嗎？先回憶一下，將你的想法與圖2進行對比。

有理數是兩個整數的比，是一種具有統一模式（規律）的數，這種模式就是有理數的本質屬性。我們可以類比自然數（分數）的學習內容和學習路徑來學習有理數。“有理數”這一章的主要內容包括有理數的概念、性質和運算，如圖3；研究路徑是：引入負數→有理數集→概念→在數軸上的表示（數形結合）→相反數、絕對值→性質→運算。

【小貼士】同學們可以自主建構自己所理解的知識結構圖，并將其完善和優化，也可由此流程圖想得更遠一些，比如，易考點是什么？易錯點是什么？創新點在哪兒？未來將繼續研究什么？

三、拓展應用，合理運算

數學是講道理的，數學的計算、證明過程要嚴謹、有理有據。“有理數”這一章要求的核心能力是運算能力。同學們在學習時，要學會設計運算程序，做到算有方法，算有規矩；探究運算思路，做到算得合理，算得簡潔。也就是說，除了會算，同學們還要進一步學習“優算”。

1. 明晰運算對象，有序進行計算

學習有理數的運算時，我們可類比小學學過的規則。如分層歸納有理數的加法：第一層按照“正數加正數，正數加負數，負數加正數，負數加負數，負數加0，0加負數”進行分類歸納；第二層把第一次的歸納結果進一步簡約化，并與數軸上點的運動規律建立聯系，得到教材上的加法運算法則。依據運算次序、運算法則和運算律進行運算，說明運算步驟的依據，可以培養同學們的推理能力。我們先看一個簡單例子。

例1 計算：（[-1/2]）3×6÷0.52[-1/3]÷[1/6]。

第一步：觀察式子的結構，明確式子中有哪些運算？

第二步：按照運算順序進行運算。

解：原式=[-1/8]×6÷[1/4]-2=-5。

【小貼士】我們分析算式的運算結構，從有理數的運算法則和運算律出發，通過推理，可以得到有理數混合運算的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的式子，能用運算律的盡量用運算律簡化運算，從而達到簡算、優算的目的。

2. 拓展應用，提升學習能力

數學思想是數學知識、數學技能、數學方法的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、方法的靈魂。有理數運算主要涉及數形結合、從特殊到一般、分類等數學思想方法。

例2 綜合運用：學習了“有理數”一章后，小奇對運算產生了濃厚的興趣。他借助有理數的運算，對于有理數a、b，定義了一種新運算*，滿足a*b=a2+b2-[a-b]+1。

（1）分別計算2*（-1）和（-1）*2的值。

（2）試探索這種新定義運算“*”是否滿足交換律？請說明理由。

（3）當a=b時，若a*b=3，求出a的值。

解：（1）2?（-1）=22+（-1）2-[2-（-1）]

+1=3；（-1）?2=（-1）2+22-[（-1）-2]+1=3。

（2）滿足交換律。

因為a*b=a2+b2-[a-b]+1，b*a=b2+a2

-[b-a]+1= a2+b2-[a-b]+1，所以a*b= b*a。

（3）因為 a*b=3，所以a2+b2-[a-b]+1=3。因為a=b，所以a2+a2-[a-a]+1=3。所以a=±1。

【小貼士】我們可以體會從特殊到一般的思想，感受代數的核心思想，即“引入一種新數，就要研究相應的運算；定義一種運算，就要研究相應的運算律”。

“有理數”這一章涉及的概念較多，同學們可以嘗試通過建構數學概念結構圖，加深對數學概念的理解，感悟概念的本質，領悟數學研究方法，形成數學學習的一般觀念。這樣，同學們的學習便能實現從0到1（從無到有），從1到n（從有到所有）的蛻變，以及從n到n+1的創造。

［作者單位：江蘇省泰州醫藥高新區（高港區）教師發展中心］