初中幾何問題中線段長度的求解技巧探究

盧曉雨

摘要：平面幾何是初中數學知識中重要的一部分，線段長度的變化影響著圖形的大小、形狀.考查線段長度的形式多種多樣，相關的問題也都十分靈活.求線段長度的基本方法有等面積法、利用勾股定理、利用相似等.本文中結合不同例題，具體分析解答求線段長度問題常見的解題思路.

關鍵詞：平面幾何；線段長度；解法思路

求線段的長度是初中幾何的基礎問題.解這類題目要綜合考慮線段的位置關系，通過題干信息的提取，采用合適的方式進行求解.

1 利用等面積法

等面積法是指用不同方式表示同一平面圖形的面積，通過面積的相互轉化或面積與邊、角關系的互相轉化，而使問題得到解決的方法.對于三角形而言，就是指利用三角形的面積自身相等的性質，或根據等高（底）的兩個三角形的面積之比等于對應底邊（對應高）的比等進行解題的一種方法.利用等面積法解題具有便捷、快速的特點.解題思路大致為：①根據已知條件通過面積的相互轉化或面積與邊、角關系的互相轉化，用不同方式表示同一三角形的面積；②通過題中已知條件進行運算即可求出所求線段長度[1].具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，CD是斜邊AB上的高，求CD的長度.

分析：首先根據題中已知條件，可知在一個直角三角形中∠C=90°，以及AC和BC的長度，從而可求得AB的長，又根據CD是斜邊AB上的高，通過面積與邊、角關系的互相轉化，最后進行運算即可求出所求CD長度.

解：∵∠C=90°，

AC=4，

BC=3，

∴AB=5.

又CD為斜邊AB上的高，

∴S△ABC=AC·BC

=AB·CD.

∴4×3=5CD.

例2 如圖2，已知△ABC中，AD是△ABC的中線，AD=4，BC=6，AC=5，P是AB邊上的一點﹐且△PBD是以BP為底的等腰三角形，求線段AP的長度.

分析：首先根據題中已知條件，可得AD⊥BC.再根據面積相等可得DH長度.同理，可得BH長度.最后根據等腰三角形的“三線合一”性質，得到PH=HB，求出PB長度，從而求出線段AP長度.

解：過D作DH⊥AB，垂足為H.

∵AC2=AD2+CD2，

∴∠ADC=90°.

∴AD⊥BC.

在△ABD中，根據面積相等可得

在Rt△BDH中，求得

根據等腰三角形的“三線合一”性質，得

PH=HB，AB=AC=5.

2 利用勾股定理

已知直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2.因此，在直角三角形中，已知任意兩邊長，可求第三邊長.構造出直角三角形，用勾股定理建立方程求線段長度的解題思路大致為：①根據已知條件構造直角三角形；②利用勾股定理建立方程；③通過計算求出所求線段長度[2].具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，CD是斜邊AB上的高，求CD的長度.

分析：首先根據題中已知條件，可知在一個直角三角形中，∠C=90°，以及AC和BC的長度，從而可求得AB的長.再設BD=x，表示出AD.又因為CD是斜邊AB上的高，最后利用勾股定理建立方程，通過計算即可求出所求線段CD的長度.

解：∵∠C=90°，

AC=4，

BC=3，

∴AB=5.

設BD=x，

則AD=5－x.

∵CD為斜邊AB上的高，

∴在Rt△ADC與Rt△BDC中，有

CD2=AC2－AD2

=BC2－BD2.

∴42-（5-x）2=32－x2.

分析：首先根據題中已知條件，設CE=x，CD=y，再表示出AC和BC，最后利用勾股定理建立方程，通過計算即可求出所求線段AB的長度.

解：設CE=x，CD=y，

∴AC=2x，BC=2y.

∴在Rt△ACD與Rt△BCE中，有

（2x）2+y2=25，

（2y）2+x2=40.

∴x2+y2=13.

∴AB2=AC2+BC2

=4x2+4y2=52.

3 利用相似

利用相似求線段長度是根據邊角關系發現相似三角形的模型，從而通過運算得到所求線段長度.解題思路大致為：①根據已知條件構造出相似三角形;②設相應線段為x，建立方程;③通過計算即可求出所求線段長度.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5 如圖5，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE=2PF時，求線段AP的長度.

解：如圖6，作PQ⊥AB于點Q，PR⊥BC于點R，則

∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°.

∴四邊形PQBR是矩形.

∴∠QPR=90°=∠MPN.

∴∠QPE=∠RPF.

∴△QPE∽△RPF.

∴PQ=2PR=2BQ.

∵PQ∥BC，

∴AQ∶QP∶AP=AB∶BC∶AC

=3∶4∶5.

設PQ=4x，

則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x.

∴2x+3x=3.

∴AP=5x=3.

根據上述不同的求線段長度例題的分析，可以得到求線段長度的基本方法有等面積法、利用勾股定理以及利用相似等.針對不同類型問題，采取相應的解題方法進行解答.在解題過程中，應加強對問題條件的分析應用，借助已知條件和相關性質去靈活解答，以此提高解題效率.同時，也希望同學們謹記各方法的注意事項，記住各方法的適用條件，在考試中靈活加以運用，避免出現錯誤.

參考文獻：

[1]程長賓.求線段長度最值的常用方法[J].初中數學教與學，2012（23）：24-26.

[2]李丹.連結兩中點所得線段長度問題的求解策略[J].初中數學教與學，2017（17）：23-25.