一道中考試題的解法探究與變式演練

馮文波

摘要：一次函數的圖象和性質及其運用是各地中考的高頻考點，也是難度較大的壓軸題型之一.通過對一道中考真題的解析探究、變式演練和總結反思，探索了這一題型的解題思路與方法.

關鍵詞：真題再現；解法探究；思路分析；變式演練；結合圖象

“一次函數的圖象與性質”是人教版八年級（下）第十九章的內容.本章既是函數部分的起始章，又是學生后續學習二次函數和反比例函數的基礎，所以十分重要.近年來，一次函數成為各地中考的必考內容之一，題型多樣，其中難度較大的是解答題中對一次函數的性質、圖象與實際運用的考查.

1 真題再現

（2022年河北省中考數學第25題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知線段AB的端點為A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直線的解析式.

（2）某同學設計了一個動畫：在函數y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，得到射線CD，其中C（c，0）.當c=2時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當c≠2時，只發出射線而無光點彈出.

①若有光點P彈出，試推算m，n應滿足的數量關系；

②當有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段AB就會發光，求此時整數m的個數.

2 解法探究

上述真題思路分析及解析如下.

思路分析：第（1）問運用待定系數法.設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把點A，B坐標代入求出k，b的值即可.第（2）問的第①小問，由題意知點C（2，0），把點C（2，0）代入y=mx+n，即可求解；對于第②問，由①得n=-2m，則y=（x-2）m，根據題意找到線段AB上的整點，再逐一代入，即可求解.

解析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

故AB所在直線的解析式為y=-x+11.

（2）①若有光點P彈出，則c=2，即點C（2，0）.

把點C（2，0）代入y=mx+n（m≠0，y≥0），

得2m+n=0.故有光點P彈出時，m，n滿足n=-2m.

②由①得n=-2m，代入y=mx+n，得y=（x-2）m.

由（1）知AB所在直線的解析式為y=-x+11，

所以，線段AB上的其他整點為（-7，18），（-6，17），（-5，16），（-4，15），（-3，14），（-2，13），（-1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）.

因為有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點，

所以直線CD過整數點.

當擊中線段AB上的整點（-1，12）時，12=（-1-2）m，即m=-4；

當擊中線段AB上的整點（1，10）時，10=（1-2）m，即m=-10；

當擊中線段AB上的整點（2，9）時，9=（2-2）m，不存在；

當擊中線段AB上的整點（3，8）時，8=（3-2）m，即m=8；

當擊中線段AB上的整點（5，6）時，6=（5-2）m，即m=2；

綜上所述，滿足題意的整數m的個數為5.

總結反思：解答本題的關鍵是準確理解有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點，即直線CD過整數點.

3 變式演練

3.1 一次函數與反比例函數的綜合題

（1）求這兩個函數的表達式；

（2）試求上述兩個函數圖象的另一個交點B的坐標，并借助圖象求出使反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍.

思路分析：（1）將點A的坐標分別代入兩個函數的表達式，即可求出b.

（2）將兩函數解析式聯立，求方程組的解，再數形結合即可求解.

由一次函數y=x+b的圖象經過點A（1，2），

得2=1+b，

即b=1.

由（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1.

因為點B在第三象限，所以其坐標為（-2，-1）.

由圖象可知，當反比例函數的值大于一次函數的值時，x的取值范圍是x<-2，或0

總結反思：充分利用兩函數圖象的交點坐標是解決反比例函數與一次函數綜合題的關鍵；在解答第（2）問時，要注意觀察圖象，同時不能忽視本問的解存在著兩種情況.

3.2 與一次函數的圖象有密切聯系的題型

例2 已知點A（6，0），點P（x，y）在第一象限，且x+y=8，設△OPA的面積為S.

（1）求S關于x的函數表達式；

（2）求x的取值范圍；

（3）求S=12時，點P的坐標；

（4）畫出函數S的圖象.

思路分析：通過作垂線，即可求出S關于x的函數表達式；由點P在第一象限，可求出x的取值范圍；再由S=12，可確定點P的坐標；最后，根據兩個端點的坐標便可畫出函數的圖象.

（2）由x+y=8與點（x，y）在第一象限，可知x的取值范圍為0

（3）當S=12時，x=4，y=4，所以點P的坐標為（4，4）.

（4）函數S的圖象為一條不包括兩端點的線段MN，其中端點分別為M（0，24），N（8，0），如圖3.

總結反思：解函數圖象信息題的關鍵在于看懂圖象和熟悉實際情境中的數量關系，應用數形結合的思想方法來綜合分析、推理.

4 結語

一次函數的性質與圖象的綜合類問題，具有“覆蓋知識面廣、涉及知識點多、思路開闊、解法靈活、便于設題”等特點，尤其適合對學生綜合能力的全面考查，近年來已成為各地中考的壓軸題型之一.因此，要想在數學中考中取得優異成績，就需要研究壓軸題的類型與解題方法［1］，特別是在平時備考過程中，要多做中考真題，加強類題演練和變式演練，及時總結反思.“備”是為了“考”，有“備”才能無患.

參考文獻：

［1］肖學軍.例談中考數學壓軸題破解策略［J］.理科考試研究，2022（4）：7-10.