例談復習課中分類討論思想的有效滲透

陶秋霞

1 在“點與圓”的位置關系中滲透分類討論思想

例1 若圓O所在的平面內有一點P與圓O上的點的最大距離是m，最小距離是n（m>n），那么圓O的半徑是[CD#3].

師：在同一平面內，點P與一個圓可能存在哪些位置關系？問題中的點P與圓O可能存在哪些位置關系？為什么？

生：點與圓的位置關系可能有三種——點在圓內，點在圓上，點在圓外.因為題中并沒有指明點P在圓的哪個位置，只是點P與圓O同處一個平面，所以點P與圓O也可能存在點P在圓O內、在圓O上、在圓O外三種位置關系.

師：當點P在圓O內部時，如何才能找到點P與圓O上的點的最大距離與最小距離呢？請畫出相應的圖形.

師：當點P在圓O上或圓O外部時，如何才能找到點P與圓O上的點的最大距離與最小距離呢？請畫出相應的圖形.

2 在三角形與圓的位置關系中滲透分類討論思想

例2 已知圓O的內接三角形ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3 cm，圓O的半徑為7 cm，求腰長AB.

師：由已知條件“在△ABC中，AB=AC”，可知△ABC是等腰三角形.對于等腰三角形，可以分為哪幾個類型？

生：對于腰與底邊不確定的等腰三角形，以三邊中的任意一邊作底邊，會出現三種情況.對于腰與底邊確定的等腰三角形，因為內角大小不確定，所以也可能存在三種情況，即等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形.

師：此題中的等腰三角形ABC可能存在哪些情況呢？為什么？

學生：此題中的等腰三角形ABC可能存在兩種情況，即等腰銳角三角形ABC和等腰鈍角三角形ABC.因為它屬于腰與底邊確定，但內角大小不確定的三角形.當△ABC是等腰直角三角形時，圓心在底邊上，即圓心到底邊BC的距離為0，而題中已知圓心O到BC的距離為3 cm，所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

師：請同學們分別畫出等腰銳角三角形ABC內接于圓O和等腰鈍角三角形ABC內接于圓O的圖形，并分別解答.

生：如圖4所示，當△ABC是等腰銳角三角形時，過點A作AD⊥BC于點D.因為AB=AC，所以弧AB等于弧AC.由垂徑定理的推論，可知AD經過點

生：如圖5所示，當△ABC是等腰鈍角三角形時，

連接OA，OB，AO與BC交于點D.因為AB=AC，所以弧AB等于弧AC.根據垂徑定理的推論，得AO⊥BC.由OD＝3 cm，OA＝7 cm，得AD＝4 cm.在直角三角形OBD中，由勾股定理，得BD=

2 在直線與圓的位置關系中滲透分類討論思想

例2 如圖6所示，已知P是正比例函數y=2x圖象上的一個動點，圓P的半徑為3，設點P的坐標為（x，y）.（1）當圓P與直線x=2相切時，求點P的坐標；（2）當點O在⊙P上時，求點P的坐標.

師：認真閱讀題目，找出其中的確定條件與不確定條件，并說明理由.

生：正比例函數y=2x的圖象是確定的，直線x=2是確定的，因為它們的系數都是確定的.圓P的大小是確定的，因為它的半徑為3.圓P的位置是不確定的，因為圓心P是直線y=2x上的一個動點，圓心可以在直線y=2x上自由運動.

師：直線與圓的位置關系有哪幾種？有哪些判定方法？

生：直線與圓的位置關系有三種，分別是直線與圓相離、相切、相交.判斷直線與圓的位置關系有兩種方法.第一種方法，根據直線與圓的公共點個數來判斷，當直線與圓有0個、1個、2個公共點時，直線與圓分別相離、相切或相交.第二種方法，根據d與r的關系判定，當d>r，d=r，d

師：當圓P在直線y=2x上從下向上運動時，圓P與直線x=2依次會出現哪些位置關系？

生：當點P從下向上運動時，圓P與直線x=2依次會出現相離、相切、相交，再相切、再相離的位置關系.

師：也就是說，圓P與直線x=2有兩次相切的機會，設直線y=2x與直線x=2相交于點A，則分別是圓P在點A下方時和圓P在點A上方時.請同學們分別畫出這種相切時的圖形，并解答.

生：如圖7所示，當圓P在點A的下方與直線x=2相切時，因為直線y=2x與直線x=2相交于點A，則點A的坐標為（2，4），在直角三角形AOC中，tan∠AOC=2.因為圓P與直線x=2相切，若PQ⊥AQ于點Q，所以OC∥PQ，可知∠AOC=∠APQ，則有tan∠AOC=tan∠APQ.因此在直角三角形APQ中，tan∠APQ=AQ∶PQ=2∶1.因為圓P的半徑為3，即PQ=3，所以AQ=6，則CQ=2.因為點Q到y軸的距離為2，所以點P的坐標為（-1，-2）.

生：如圖8所示，當圓P在點A的上方與直線x=2相切時，在三角形APQ與三角形AP′Q′中，PQ=P′Q′=3，∠AQP=∠AQ′P′=90°，且∠PAQ=∠P′AQ′，所以△APQ≌△AP′Q′（AAS），可得AP=AP′，也就是說A是線段PP′的中點.因為點P（-1，-2），點A（2，4），設點P′的坐標為（a，b），根據中點坐標公式，可解得a=5，b=10，所以點P′的坐標為（5，10）.

師：當圓P沿著直線y=2x自下向上運動時，原點O與圓P會出現哪些位置關系呢？

生：當圓P沿首直線y=2x自下向上運動時，會依次出現點O在圓P外、在圓P上、在圓P內，再在圓P上、在圓P外幾種情形.

師：也就是說圓P在運動過程中，會出現兩次點O在圓P上的情形，一種點P在點O下方時，另一種是點P在點O的上方時.請同學們分別畫出這兩種情形的圖形，并解答.

生：如圖9所示，當點P在點O下方時，過點P作y軸的垂線，垂足為H，可得tan∠OPH＝2，從而可求出cos∠OPH，

進而求出PH，OH，即得P點坐標;

當點P在點O上方時，點P與點P′關于點O中心對稱，可得點P′的坐標.

在本課復習中，引導學生復習圓的有關知識是明線，滲透分類討論思想是暗線，設置的問題由易到難，層層深入，引導學生感悟條件不確定時分類的好處，積累運用分類討論思想解決問題的經驗.