新型兩平移一轉動并聯機構的拓撲設計及性能分析*

耿宗海,李 菊,沈惠平,楊廷力

(常州大學 現代機構學研究中心,江蘇 常州 213016)

0 引 言

2T1R并聯機構具有控制容易、制造成本較低等優點,同時具有移動和轉動輸出元素,因此,被廣泛應用于抓取、調姿等實際生產操作領域[1-2]。但是目前有關2T1R并聯機構的相關研究仍然較少。

WANG J等人[3]提出了一種Cylindrical型的2T1R并聯機構模型。楊廷力等人[4]基于單開鏈理論的方法,提出了多種2T1R并聯機構的模型。KONG X W等人[5]、楊寧等人[6]采用螺旋理論的方法,提出了2T1R并聯機構的模型。REFAAT S等人[7]基于位移粒子群理論的機構分析法,綜合研究了多種2T1R并聯機構的構型。張彥斌等人[8]采用線性變換理論法,提出了無奇異性的2T1R并聯機構的模型。吳鑫等人[9]提出了一種新型2T1R并聯機構模型,并對該機構進行了運動學分析。鄧嘉鳴等人[10]提出了一種無寄生運動非對稱空間2T1R并聯機構模型,并分析了其運動學性能。沈惠平等人[11]提出了一種具有解析式位置正解的2T1R的并聯機構,并研究了其運動學性能。

已有的上述2T1R并聯機構大多數耦合度不為零,且不具有部分運動解耦的特性,這使得運動學和動力學分析等方面較為復雜[12],故均缺乏對所設計機構動力學的分析。

機構動力學分析方法中的拉格朗日法[13]的特點是運用能量守衡定律建立動力學方程,其計算量較大;凱恩法[14]較簡單,但其對于力和力矩的分析比較匱乏;牛頓-歐拉法[15]易求出約束反力,但對于構件較多的機構的分析較復雜。

筆者運用基于虛功原理的序單開鏈法[16]進行動力學建模分析,以子運動鏈(sub kinematic chain,SKC)為基本單元,這樣不僅能求出驅動力,還能求出其連接處的支反力,以便機構結構的強度設計[17]。

因此,筆者提出一種新型運動解耦的2T1R并聯機構,采用基于拓撲特征的運動學建模方法,對該機構進行位置分析;進一步采用基于虛功原理的序單開鏈法對該機構進行動力學分析,為后續機構分析和樣機研發提供基礎。

1 機構設計和分析

1.1 機構設計

1.1.1 機構設計思路

串聯、并聯機構的方位特征(position and orientation characteristic,POC)集的計算公式[18]6-7表示如下:

(1)

(2)

式中:Mji為第i個運動副的POC集;Mbi為第i條支鏈末端的POC集;MPa為機構動平臺的POC集。

一方面,為設計出所需的2T1R并聯機構,需構造約束度為零,且含部分驅動副的結構簡單、支鏈干涉少的混合支鏈;另一方面,筆者設計的2T1R并聯機構擬采用兩混合支鏈的結構,且其末端運動輸出至少都須包含2T1R元素,具體如下。

1.1.2 機構設計過程

2T1R并聯機構設計過程如圖1所示。

圖1 2T1R并聯機構設計過程Fig.1 Design process of 2T1R parallel mechanism

1)混合支鏈Ⅰ的設計

首先,混合支鏈Ⅰ的設計如圖1(a)所示,其主要由一個2T平面機構串聯一個R3構成。其中,2T平面機構主要由兩支鏈構成,移動副P1和轉動副R12、R11串聯組成子支鏈1,移動副P2和4R平行四邊形(Ra1Rb1Rc1Rd1)結構Pa串聯構成子支鏈2,且P1和P2共線。因此,混合支鏈Ⅰ記為:HSOC1{-P1⊥R11‖R12⊥R3-Pa-P2-},符號“‖”、“⊥”分別表示運動副的軸線平行和垂直。

為便于表達,在靜平臺0上建立坐標系o-xyz(其中,y軸與P1軸線平行,z軸與靜平臺0的法線平行)。

由式(2)可知,混合支鏈Ⅰ輸出構件末端POC集為2T1R,即:具有在yoz平面的二維(2T)移動以及繞y軸的轉動。

2)混合支鏈Ⅱ的設計

3)機構設計

筆者將混合支鏈Ⅰ和Ⅱ并聯連接于動平臺1、靜平臺0之間,且使P3‖P1,得到所需設計的2T1R并聯機構如圖1(c)所示,其動平臺1的POC集由式(2)可表示如下:

(3)

上式表明,混合支鏈Ⅱ提供支鏈Ⅰ中的一維轉動,支鏈Ⅰ約束了Ⅱ中的移動。因此,筆者設計的并聯機構僅具有兩平移一轉動特性。

1.2 機構自由度驗證

1)機構的全周自由度

機構全周自由度計算公式[18]77-80如下:

(4)

(5)

2)機構的自由度

該機構包含兩個獨立回路分別為:第1回路為混合支鏈Ⅰ中獨立位移方程數為ξL1=3的2T平面機構;第2回路由上述回路和R3、混合支鏈Ⅱ構成,可記為LOOP2{-R3‖R5‖R4(-Pb)‖P3-},則其獨立位移方程數由式(5)計算可得ξL2=4。

則根據式(4),該機構的自由度為:F=(5+5)-(3+4)=3。

由上述可知,該機構自由度為3,驅動副為移動副P1、P2、P3。當驅動副以相同速度運動時,機構可完成y方向上單向移動;而以不同速度運動時,可實現小范圍內的2T1R精確移動。

由此可見,該機構只包含2個耦合度為0的SKC。因此,可獨立求解2個SKC,得到正解。

2 機構位置分析

2.1 運動學建模

機構運動學建模如圖2所示。

圖2 機構運動學建模Fig.2 Kinematics modeling of mechanism

假設靜平臺0的長、寬分別為2a、2b,在其中心O處建立靜坐標系O-xyz,x、y軸分別垂直、平行于A1A2連線,z軸由右手定則確定。

同理,在動平臺1的D處建立動坐標系O′-x′y′z′。設AiBi(i=1,2,3)=l1,BiCi(i=1,2)=l2,C21C22=l3,C21C1=l4,DC3(動平臺)=2d,C3B3=l5,B31B32=l6,DC3與x負半軸夾角為α。

2.2 位置正解分析

位置正解為:已知輸入點Ai(i=1,2,3)的移動位置y1、y2、y3,求動平臺1中點P(x,y,z)及姿態角α。

1)第1回路的求解

在靜坐標系O-xyz中,可知點Ai和Bi(i=1,2,3)坐標分別為:A1=(b,y1,0)、A2=(b,y2,0)、A3=(-b,y3,0)、B1=(b,y1,l1)、B2=(b,y2,l1)、B3=(-b,y3,l1)。

由機構約束條件可知yD=y=yC3,易得:C1=(b,y+l4/2,zD),C2=(b,y-l3/2-l4/2,zD)。

又由約束條件B1C1=B2C2=l2,可得位置約束方程組,其求解結果表示如下:

(6)

2)第2回路的求解

動平臺上點C3的坐標表示為:C3=(b-2dcosα,y,zD+2dsinα)。

由約束條件B3C3=l5可得約束條件方程,經化簡整理,其結果表示如下:

(7)

J1=4d(zD-l1)

(8)

J2=-8bd

(9)

(10)

由此可得,中點P的坐標為P=(x,y,z)=(b-dcosα,y,zD+dsinα),易知該機構具有部分運動解耦性。

2.3 位置反解分析

位置反解為:已知動平臺中點P(x,y,z)和姿態角α,求輸入點Ai(i=1,2,3)的移動位置y1、y2、y3。

由式(6)及約束條件B3C3=l5可得結果如下:

(11)

其中:

(12)

2.4 正反解驗算

設該機構結構參數(單位:mm)為:a=350,b=150,d=100,l1=30,l2=200,l3=120,l4=140,l5=300,l6=160。筆者取3個驅動副的位置(單位:mm)分別為y1=270,y2=-110,y3=160,代入式(6)～式(10),得到動平臺中點P的機構位置正解數值,如表1所示。

表1 機構位置正解數值

其對應的機構位置正解構型圖分別如圖3所示。

圖3 機構位置正解構型圖Fig.3 Configuration diagram of positive position of mechanism

由圖3可知:只有圖3(a)所示構型符合實際,故取表1中序號1*對應的數據代入式(11)、式(12),得到機構驅動的輸入參數,如表2所示。

表2 機構驅動的輸入參數

經筆者驗證可知,機構正反解計算無誤。

3 可達工作空間

因筆者所述機構具有符號式位置正解,故筆者采用基于位置正解的離散化方法[19]198-200求工作空間。該方法求解效率高、結果精確。為此,根據靜平臺參數確定驅動副位置的搜索范圍(單位:mm):70≤y1≤300,-300≤y2≤-70,-300≤y3≤300。

筆者采用MATLAB計算得到動平臺中點的三維工作空間示意圖,如圖4所示。

圖4 動平臺中點的三維工作空間示意圖Fig.4 Three-dimensional working space diagram of the mid-point of the moving platform

4 奇異性與速度分析

4.1 機構奇異性分析方法

筆者采用基于雅可比矩陣的奇異位形分析方法[19]194-197,對該機構進行奇異性與速度分析。

(13)

其中:

f11=df1/dy=2(y+l4/2-y1),f21=df2/dy=2(y-l3/2-l4/2-y2),

f31=df3/dy=2(y-y3),f12=df1/dz=2(z-dsinα-l1),

f22=df2/dz=2(z-dsinα-l1),f32=df3/dz=2(z+dsinα-l1),

f13=df1/dα=2dcosα(dsinα+l1-z),f23=df2/dα=-2dcosα(z-dsinα-l1),

f33=df3/dα=4dsinα(2b-2dcosα)+2dsinα(z+dsinα-l1),

g11=df1/dy1=2(y1-l4/2-y),g22=df2/dy2=-2(y-l4/2-l3/2-y2),g33=df3/dy3=-2(y-y3)。

4.2 動平臺中點的速度和加速度分析

4.2.1 速度和加速度公式與計算

當機構處于非奇異位置,且Jo可逆時,由式(13)得動平臺中點P的速度表示如下:

(14)

對式(14)進行求導,得到輸入與輸出加速度之間的關系表示如下:

(15)

K0=[K1K2K3]T

(16)

式中:K0為Jo和Ji內各項元素對時間t的導數。

其余桿件的速度和加速度可由剛體的速度(加速度)合成定律求出,此處略去推導過程。

4.2.2 速度和加速度算例驗算

機構參數在2.4節中已給出。若該機構的3個輸入函數(單位:mm)分別為y1=40sin(πt)-224.64、y2=-25cos(πt)-121.01、y3=15sin(πt)+120.22,由MATLAB計算式(14)、式(15),可得到動平臺中點P的速度和加速度的理論曲線,如圖5所示。

圖5 動平臺中點速度和加速度的理論曲線Fig.5 Theoretical curve of midpoint velocity and acceleration of moving platform

同時,筆者運用ADAMS軟件建立運動學模型,并進行模擬仿真,得到與理論相差不大的仿真速度和加速度曲線。因此,運動學模型建立無誤。

4.3 奇異性分析

4.3.1 輸入奇異

當det(Ji)=0時,發生輸入奇異。3種情況如下:

1)g11=0,即yA1=yC1時,發生輸入奇異1;

2)g22=0,即yA2=yC2時,發生輸入奇異2;

3)g33=0,即yA3=yC3=yP時,發生輸入奇異3。

機構的3種輸入奇異位置如圖6所示。

圖6 機構3種輸入奇異位置Fig.6 Three input singular positions of mechanism

4.3.2 輸出奇異

當det(Jo)=0,發生輸出奇異,有2種情況:

當f11=f21,即y1-y2=l3/2+l4時,發生輸出奇異,此時機構的位置如圖6(a)、圖6(b)所示;

當f11≠f21,且f22f33=f32f23時,有2種情況如下:

①當z=dsinα+l1,此時f22f33=0,即zB3=zC3時發生輸出奇異,機構輸出奇異位置如圖7所示。

圖7 機構輸出奇異位置Fig.7 Singular position of mechanism output

②當z≠dsinα+l1,即(z-l1)cosα+2bsinα=dsinαcosα時,機構發生輸出奇異。

4.3.3 綜合奇異

當det(Jo)=det(Ji)=0時,發生綜合奇異。

經分析,當yA1=yC1,且yA2=yC2相等時,發生綜合奇異,如圖6(a)、圖6(b)所示。

5 動力學分析

5.1 基于虛功原理的序單開鏈法基本原理

筆者基于虛功原理建立動力學方程,求解驅動力。

5.2 受力分析

構件上所受的力主要是重力和慣性力,且僅受慣性力矩。為了簡化計算,將桿件所受的外力(矩)化簡為對應質心的合力矢量Q。

1)動平臺

取P為動平臺質心,則其合力矢量表示如下:

(17)

式中:fp為動平臺所受的外力;τp為動平臺所受的外力矩;mp為動平臺的質量;a為動平臺的加速度;Ip為動平臺的慣性矩陣;ω為動平臺的角速度;ε為動平臺的角加速度。

2)各驅動副Pi(i=1,2,3)

各驅動副Pi及連接桿的合力矢量表示如下:

(18)

K=[0 0 0]T

(19)

式中:fAi為驅動副Pi及各自連接桿所受的驅動力;mAi為驅動副Pi及各自連接桿的質量之和;aAi為驅動副Pi及其連接桿的加速度。

3)平行四邊形長桿BiCi(i=1,2,3)

平行四邊形機構的兩長桿可等效為兩短桿中點連線的轉動桿BiCi,則其合力矢量表示如下:

(20)

式中:mBiCi為桿BiCi的質量;aBiCi為桿BiCi(i=1,2)的加速度;IBiCi為桿BiCi的慣性矩陣;ωBiCi為桿BiCi的角速度;εBiCi為桿BiCi的角加速度。

4)轉動桿DC3、B31B32

桿DC3、B31B32的合力矢量分別表示如下:

(21)

(22)

式中:mDC3為桿DC3的質量;aDC3為桿DC3的加速度;IDC3為桿DC3的慣性矩陣;ωDC3為桿DC3的角速度;εDC3為桿DC3的角加速度;mB31C32為桿B31B32的質量;aB31C32為桿B31B32的加速度;IB31C32為桿B31B32的慣性矩陣;ωB31C32為桿B31B32的角速度;εB31C32為桿B31B32的角加速度。

5)移動桿C31C32、C1C22

桿C31C32、C1C22的合力矢量分別表示如下:

(23)

(24)

式中:mC31C32為桿C31C32的質量;aC31C32為桿C31C32的加速度;mC1C22為桿C1C22的質量;aC1C22為桿C1C22的加速度。

5.3 動力學方程

對于SKC1,解除D處的約束,于是支反力F1轉化為未知外力,可得SKC1的動力學方程表示如下:

[δxB2C2δθB2C2]QB2C2+[δxC1C220]QC1C21+ [δxB1C1δθB1C1]QB1C1+[δxA10]QA1+ [δxA20]QA2-[δxD0][F10]T=0

(25)

同理,可得SKC2的動力學方程表示如下:

[δxB3C3δθB3C3]QB3C3+[δxDC3δθDC3]QDC3+ [δxA30]QA3+[δxC31C320]QC31C32+ [δxB31B32δθB31B32]QB31B32+[δxPδθP]QP+ [δxD0][F10]T=0

(26)

式中:δxq,δθq為移動虛位移和角度虛位移;q為各桿件參數標注。

5.4 數值仿真算例

設各構件均為規則、質量均勻的剛體,各桿件的長度已在2.4節給出,其質量參數為(單位:kg):

動平臺質量mp=0.242 4,其余各桿質量分別為mA1B1=0.114 4,mA2B2=0.261 2,mA3B3=0.104 4,mB1C1=mB2C2=0.251 0,mB3C3=0.364 1,mC1C22=0.326 3,mC31C32=0.202 1。

各桿件轉動慣量如表3所示。

表3 各桿件轉動慣量參數(單位:kg/mm2)

筆者僅考慮該機構承載7 kg載荷的情況,且驅動副的運動規律與2.4節相同。

首先,通過MATLAB計算式(25)、式(26),得出理論曲線;進一步,在ADAMS軟件中,導入仿真模型如圖3(a)所示,并設定各構件的必要屬性和約束關系,施加重力g,設步長為0.01 s,仿真時間為5 s,得出仿真曲線。

2T1R并聯機構驅動力曲線如圖8所示。

圖8 2T1R并聯機構驅動力曲線Fig.8 Driving force curve of 2T1R parallel mechanism

由圖8可知:該并聯機構的驅動力理論與仿真曲線軌跡大致相同(相對誤差2%以內),可知動力學模型建立無誤。

6 結束語

針對工業生產中既需要小范圍精確作業,又需要大范圍單向操作的雙重需求問題,筆者設計了一種新型2T1R并聯機構,并對其進行了運動學位置分析和動力學分析,計算得出了該機構的工作空間、奇異性、速度加速度以及3個驅動副所需要的驅動力。

研究結果表明:

1)該機構耦合度為零,具有符號式位置正解,且部分運動解耦,有利于機構后續的運動軌跡規劃和控制的研究;

2)部分工作空間具有各向同性,機構具有良好操作性能,可滿足小范圍精確作業和大范圍長距離的操作要求;

3)通過虛擬仿真,驗證了筆者研究中機構的理論速度、加速度以及動力學模型的正確性(相對誤差2%以內)。同時,根據驅動力曲線分析可知,機構運動平穩。

后續,筆者將進一步研究機構動力學的慣性力全域性等指標,為研制樣機提供技術參考。