同心圓錐曲線的性質(zhì)再探

官一宏

摘要：文[1]通過類比同心圓的定義，得到同心圓錐曲線的定義.受此啟發(fā)，本文先從同心圓的結(jié)論出發(fā)，類比到同心圓錐曲線，然后利用超級畫板進(jìn)行驗(yàn)證所得結(jié)論，最后給出結(jié)論的解析證明與幾何證明.

關(guān)鍵詞：同心圓；同心圓錐曲線；性質(zhì)；探究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0008-03

類比思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要的角色，數(shù)學(xué)中的很多發(fā)現(xiàn)都是通過類比得到的.類比可以得到新的結(jié)論，但未必正確，需要給出嚴(yán)格的證明.同心圓，由于其對稱性而具有很多經(jīng)典的性質(zhì).根據(jù)類比思想，同心圓錐曲線應(yīng)該也有很多經(jīng)典的結(jié)論.我們可以通過類比得到結(jié)論，然后用超級畫板驗(yàn)證，最后給出嚴(yán)格的證明.

1 同心圓錐曲線的定義

定義設(shè)兩圓錐曲線有著公共的焦點(diǎn)F，且與F相應(yīng)的準(zhǔn)線f也是公共的，則稱這兩個(gè)圓錐曲線為同心圓錐曲線[1].

2 同心圓的性質(zhì)

性質(zhì)1如圖1，設(shè)圓Γ1和圓Γ2為同心圓，公共圓心為O，作一直線交圓Γ1于A、B兩點(diǎn)，交圓Γ2于C、D兩點(diǎn)，那么∠AOC=∠BOD.

3 同心圓錐曲線的性質(zhì)

將該性質(zhì)類比到同心圓錐曲線，則得到：

性質(zhì)2如圖2，設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線，F(xiàn)和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和相應(yīng)的公共準(zhǔn)線[2]，作一直線交橢圓于A、B，交拋物線于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

如圖3，利用超級畫板驗(yàn)的度量功能，進(jìn)行動(dòng)態(tài)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線AB在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)[3]，∠AFC=∠BFD始終成立.

4 性質(zhì)的證明

證法1如圖4，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由同心圓錐曲線的定義知p=b2c，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-p2，0.橢圓的對稱中心坐標(biāo)為c，0，故易得拋物線的方程為y2=2b2cx+b22c，橢圓的方程為x-c2a2+y2b2=1[3] .

因?yàn)橹本€l分別交橢圓、拋物線于A、B、C、D，故直線l不可能平行于x軸，則設(shè)l：x=my+t，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，直線FA、FB、FC、FD斜率分別為k1、k2、k3、k4.

由到角公式tan∠AFC=k3-k11+k1·k3，tan∠BFD=k2-k41+k2·k4.

欲證∠AFC=∠BFD，只需證tan∠AFC=tan∠BFD，即證k3-k11+k1·k3=k2-k41+k2·k4，k3-k1·1+k2·k4=k2-k4·1+k1·k3 ，

整理得k1+k2k1·k2-1=k3+k4k3·k4-1.

直線與橢圓聯(lián)立整理得：

整理得a2t2-b4m2y2+2mb4+2b2cmtxy+b2t2-2b2ct-b4x2=0.

對上式同除以x2得

（a2t2-b4m2）·（yx）2-（2mb4+2b2cmt）·（yx）+（b2t2-2b2ct-b4）=0

易知上述方程的兩個(gè)根分別為y1x1、y2x2，即為k1、k2.

則由韋達(dá)定理可得：k1+k2=-2mb4+2b2cmta2t2-b4m2，

k1·k2=b2t2-2b2ct-b4a2t2-b4m2.

同理，齊次聯(lián)立拋物線與直線l可得

b4m2-c2t2·yx2-2b2cmt+2mb4·yx+2b2ct+b4=0

由韋達(dá)定理可得：k3+k4=2b2cmt+2mb4b4m2-c2t2，

k3·k4=2b2ct+b4b4m2-c2t2.

∴k3+k4k3·k4-1=2b2cmt+2mb42b2ct+b4-b4m2-c2t2=2b2cmt+2mb4b4+2b2ct-m2b4+c2t2.

∴k1+k2k1·k2-1=k3+k4k3·k4-1，即tan∠AFC=

tan∠BFD，亦即∠AFC=∠BFD，證畢.

證法2設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），則公共焦點(diǎn)F（-c，0），公共準(zhǔn)線f：x=-a2c，由

拋物線的方程為y2=2b2c（x+a2+c22c）.[3]

∠AFC=∠BFD等價(jià)于∠AFB與∠CFD的角平分線重合.

記∠AFB與∠CFD的角平分線的斜率分別為k1，k2，直線lAB：x=my+n.

設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）.

則由到角公式，有

yBxB+c-k1+k·yBxB+c=k-yAxA+c1+k·yAxA+c，

又xA=myA+n，xB=myB+n，得

［2myAyB+（n+c）（yA+yB）］（k2-1）+2［（m2-1）yAyB+m（n+c）（yA+yB）+（n+c）2］k=0將lAB：x=my+n代入x2a2+y2b2=1（a>b>0）消去x得

（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2（n2-a2）=0.

從而有yA+yB=-2b2mna2+b2m2，

yAyB=b2（n2-a2）a2+b2m2.

所以2myAyB+（n+c）（yA+yB）

=2b2m（n2-a2）a2+b2m2-（n+c）·2b2mna2+b2m2

=-2b2m（a2+cn）a2+b2m2，

從而有 -2b2m（a2+cn）a2+b2m2（k2-1）+2k·b4m2-（a2+cn）2a2+b2m2=0，

即b2m（a2+cn）k2+［b4m2-（a2+cn）2］k-b2m（a2+cn）=0.（1）

將lAB：x=my+n代入y2=2b2c（x+a2+c22c）消去x得

c2y2-2b2mcy-b2（a2+c2+2nc）=0.

從而有yC+yD=-2b2mc，

yCyD=-b2（a2+c2+2nc）c2.

所以2myAyB+（n+c）（yA+yB）

=-2b2m（a2+c2+2nc）c2+（n+c）·2b2mc

=-2b2m（a2+cn）c2，

從而有-2b2m（a2+cn）c2（k2-1）+2k·b4m2-（a2+cn）2c2=0，

即b2m（a2+cn）k2+［b4m2-（a2+cn）2］k-b2m（a2+cn）=0.（2）

而k1是方程（1）的根，k2是方程（2）的根，但是方程（1）與（2）其實(shí)是同一方程，

所以k1=k2. 所以∠AFC=∠BFD.

證法3先證明一個(gè)引理：

如圖5，設(shè)同心圓錐曲線的焦點(diǎn)為F，相應(yīng)的準(zhǔn)線為l，任作直線交橢圓于B，C，交l于E，則EF為∠BFC的角平分線.

證明：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，過B，C分別作BI，CJ垂直l于I，J，由圓錐曲線的第二定義知，e=CFCJ=BFBI，即CFBF=CJBI=CEBE，由外角平分線的逆定理知，EF為∠BFC的角平分線.

下面證明本題的結(jié)論，如圖6，延長諸線與l相交，對拋物線由引理有EF平分∠DFH，對橢圓由引理有EF平分∠CFG.

從而∠DFC=∠GFH=∠AFB.證畢.

通過類比同心圓的性質(zhì)，可以得到同心圓錐曲線的性質(zhì)[4]，然后利用超級畫板進(jìn)行驗(yàn)證，再用解析法或者幾何法給出嚴(yán)格證明，這就是本文的研究思路.我們知道，同心圓有很多漂亮的性質(zhì)，那么，這些性質(zhì)類比到同心圓錐曲線是否成立呢？這有待于讀者的進(jìn)一步探索.

參考文獻(xiàn)：

［1］?李鴻昌，凌禹，胡典順.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)：以“從同心圓到同心圓錐曲線”為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2018（02）：24-26.

[2] 李鴻昌，徐章韜.核心素養(yǎng)視角下的圓錐曲線探究：以“從同心圓到同心圓錐曲線”為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（11）：7-9.

[3] 李鴻昌，徐章韜.從同心圓到同心圓錐曲線：基于超級畫板的探究[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2018（10）：38-41.

[4] 林國紅.同心圓錐曲線中兩個(gè)命題的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（11）：33-35.

［責(zé)任編輯：李璟］