因式分解中的數(shù)學(xué)思想

鄒興平

一、整體思想

整體思想就是將待求問題中的某個代數(shù)式視為一個整體，合理地轉(zhuǎn)化其條件及結(jié)論的形式、結(jié)構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化到熟悉的知識范圍內(nèi)來解決的數(shù)學(xué)思想.

例1 分解因式x2 + 2xy + y2 - x - y - 2.

解析：從整體的角度出發(fā)，視x + y為整體，尋求解題的途徑.

原式 = （x + y）2 - （x + y） - 2 = （x + y - 2）（x + y + 1）.

二、換元思想

換元思想是把某個代數(shù)式當作一個新的變元來實行變量替換的一種數(shù)學(xué)思想.換元法實質(zhì)是整體求解法，只是將某一整體用另一個字母來代換.

例2 分解因式（xy - 1）2 + （x + y - 2）（x + y - 2xy）.

解析：顯然，去括號后再分解不可取，但可以設(shè)x，y的和與積為輔助元來求解.

設(shè)x + y = a，xy = b，

則原式 = （b - 1） 2 + （a - 2）（a - 2b） = （a2 - 2ab + b2） - （2a - 2b） + 1

= （a - b）2 - 2（a - b） + 1 = （a - b - 1）2 = （x + y - xy - 1）2 = （x - 1）2（y - 1）2.

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去的一種思想方法.

例3 分解因式x3 + 6x2 - 27x.

解析：提取公因式x后剩下x2 + 6x - 27，不能直接分解因式，可想辦法轉(zhuǎn)化為平方差公式分解.

x3 + 6x2 - 27x = x（x2 + 6x - 27） = x（x2 + 6x + 9 - 9 - 27） = x［（x + 3）2 - 62］

= x（x + 3 + 6）（x + 3 - 6） = x（x + 9）（x - 3）.

四、方程思想

從問題的數(shù)學(xué)關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如方程，然后求解，使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)思想.根據(jù)多項式的特點設(shè)未知數(shù)，根據(jù)系數(shù)相等列出方程或方程組，求出未知數(shù)的值，達到分解因式的目的，這是方程思想的應(yīng)用.

例4 分解因式a2 + ab - 2b2 - 2a + 5b - 3.

解析：利用分解因式的基本方法較難分解這個二次六項式，通過觀察發(fā)現(xiàn)前三項可分解為（a + 2b）（a - b），設(shè)原式 = （a + 2b + m）（a - b + n），展開后運用待定系數(shù)法即可求出m，n.

設(shè)原式 = （a + 2b + m）（a - b + n） = a2 + ab - 2b2 + （m + n）a + （ - m + 2n）b + mn，與原式比較對應(yīng)系數(shù)，得[m+n=-2，-m+2n=5，mn=-3，]解得[m=-3，n=1，]所以原式 = （a + 2b - 3）（a - b + 1）.

分層作業(yè)

難度系數(shù)： ★★★★? ? ?解題時間：8分鐘

1.當[x4-12x3+54x2-108x+81]的值為1時，x的值為（? ? ? ? ）. （答案見第33頁）

A. 2 B. [7] C. 2或4 D. 2或-4

2.分解因式（x + 1）（x + 2）（x + 3）（x + 4） + 1. （答案見第33頁）

難度系數(shù)： ★★★★★? ? ?解題時間：4分鐘

3.（2022·青海·西寧）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

將2a - 3ab - 4 + 6b因式分解．

【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式 = （2a - 3ab） - （4 - 6b） = a（2 - 3b） - 2（2 - 3b） = （2 - 3b）（a - 2）.

解法二：原式 = （2a - 4） - （3ab - 6b） = 2（a - 2） - 3b（a - 2） = （a - 2）（2 - 3b）.

【感悟】當項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）

【類比】（1）請用分組分解法將x2 - a2 + x + a因式分解；

【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將ax + a2 - 2ab - bx + b2因式分解；

【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理. 如右圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形. 若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a > b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．

根據(jù)以上信息，先將a4 - 2a3b + 2a2b2 - 2ab3 + b4因式分解，再求值．

（作者單位：湖北省恩施市龍鳳鎮(zhèn)民族初級中學(xué)）