變的是形式 不變的是本質(zhì)

宋柏鋒

數(shù)學(xué)問題的變化往往是變化題目的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，而不更換問題的本質(zhì)特征. 因此，真正理解加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的定義，是準(zhǔn)確選擇統(tǒng)計(jì)量和計(jì)算均衡程度統(tǒng)計(jì)量的關(guān)鍵本質(zhì).

一、選擇統(tǒng)計(jì)量的關(guān)鍵

關(guān)鍵1：與數(shù)據(jù)位置有關(guān)選中位數(shù)

例1 在學(xué)校舉辦的“數(shù)學(xué)思維挑戰(zhàn)賽”中，有19名選手進(jìn)入決賽，前9名將晉級(jí)更高一級(jí)比賽，他們的決賽成績各不相同，其中一名選手想知道自己是否晉級(jí)，除了知道自己的成績外，他還需要了解這19名選手成績的（）.

A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 方差

解析：中位數(shù)是通過排序得到的，它不受最大、最小兩個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響. 部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用它來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，常應(yīng)用于“選拔”“錄取”等生活情境. 故選B.

關(guān)鍵2：與數(shù)據(jù)集中度有關(guān)選眾數(shù)

例2 要在某校選擇256名身高基本相同的女同學(xué)組成表演方隊(duì)，在這個(gè)問題中最值得我們關(guān)注的是該校所有女生身高的（填“平均數(shù)”或“中位數(shù)”或“眾數(shù)”）.

解析：眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，受極端值影響較小. 在這個(gè)問題中最值得關(guān)注的是隊(duì)伍的整齊度，身高必須差不多. 故填眾數(shù).

關(guān)鍵3：方差不是越小越好

例3 某田徑隊(duì)中甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員最近 10 次成績的平均數(shù)相同，且在“區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)跳高紀(jì)錄”附近，若甲跳高成績的方差為[s2甲] = 65.84，乙跳高成績的方差為[s2乙] = 285.21，那么單從方差的角度看，為了打破“區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)跳高紀(jì)錄”應(yīng)選參加區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì).

解析：方差越小越穩(wěn)定，但在實(shí)際問題中，未必越穩(wěn)定越好. 尤其是在選拔競(jìng)技比賽的運(yùn)動(dòng)員時(shí)，若每名備選運(yùn)動(dòng)員的平均水平相當(dāng)，且都高于對(duì)手，則應(yīng)選擇方差小、發(fā)揮穩(wěn)定的隊(duì)員. 若每名備選運(yùn)動(dòng)員的平均水平相當(dāng)，且都低于對(duì)手，則要選擇方差大、發(fā)揮不穩(wěn)定的隊(duì)員. 因?yàn)樵趯?duì)手穩(wěn)定發(fā)揮的前提下，只有超常發(fā)揮才有機(jī)會(huì)戰(zhàn)勝對(duì)手贏得比賽. 故填乙.

二、均衡程度統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的關(guān)鍵

關(guān)鍵1：精準(zhǔn)判斷加權(quán)平均數(shù)中的“權(quán)”

例4 （2023·湖南·湘潭）某校組織青年教師教學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，包含教學(xué)設(shè)計(jì)和現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)展示兩個(gè)方面. 其中教學(xué)設(shè)計(jì)占20%，現(xiàn)場(chǎng)展示占80%. 某參賽教師的教學(xué)設(shè)計(jì)為90分，現(xiàn)場(chǎng)展示為95分，則她的最后得分為（）.

A. 95分 B. 94分 C. 92.5分 D. 91分

解析：加權(quán)平均數(shù)是將各數(shù)值乘相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后相加求和，再除以總數(shù).? 加權(quán)平均數(shù)的權(quán)數(shù)常常以百分比、比值、頻數(shù)的方式出現(xiàn).? 90 × 20% + 95 × 80% = 94（分）. 故選B.

關(guān)鍵2：精準(zhǔn)把握中位數(shù)中的“位”

例5（2023·湖南·張家界）2023年4月24日是我國第八個(gè)“中國航天日”，某校開展了一次航天知識(shí)競(jìng)賽，共選拔8名選手參加總決賽，他們的決賽成績分別是95，92，93，89，94，90，96，88，則這8名選手決賽成績的中位數(shù)是___________________.

解析：中位數(shù)又稱中值，是按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù). 將數(shù)值由高到低或由低到高排序，是求解中位數(shù)相關(guān)問題的前提. 故填92.5.

關(guān)鍵3：靈活掌握方差計(jì)算公式

例6 已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3的方差是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1 - 4，2x2 - 4，2x3 - 4的方差是__________________.

解析：如果 x1，x2，…，xn的方差為 s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2，x1- a，x2 - a，…，xn - a的方差為s2. 故填8.

關(guān)鍵4：嚴(yán)謹(jǐn)掌握極差的計(jì)算

例7 一組數(shù)據(jù)-3，1，2，x的極差為6，則x的值為__________________.

解析：極差是用來評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值得到的. 一組數(shù)據(jù)的極差受極端值的影響較大.

這組數(shù)據(jù)的極差為 6，而2 - （-3） = 5，由此可知未知數(shù) x 是最值，可能是最大值，也可能是最小值，因此分兩種情況討論得出答案 . 故填3或-4.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★解題時(shí)間：4分鐘

1. 已知一組數(shù)據(jù)2，1，x，6的中位數(shù)是3，則x的值為__________________.

2. 某超市銷售A，B，C三種礦泉水，它們每瓶的單價(jià)依次是2元、3元、3.5元，某天的銷售情況如右圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是__________________元. （

（作者單位：大連市第三十七中學(xué)）