基于超圖相關距離判別投影的軸承故障診斷方法

蘇樹智, 張志鵬

(安徽理工大學 計算機科學與工程學院,安徽 淮南 232001)

滾動軸承是重要的機械基礎件,被廣泛應用于機械制造、工業生產等重要領域。一旦軸承發生故障往往會造成重大的經濟損失,甚至威脅人身安全[1-2]。因此,針對滾動軸承的故障診斷技術具有重要的現實意義。

故障特征的提取是故障診斷的關鍵。滾動軸承故障特征的提取和軸承故障分類的準確性是軸承故障診斷領域的重要課題之一。其中,基于振動信號分析[3-5]的方法已經成為了目前故障診斷的關鍵手段之一。為了獲取更加豐富的故障信息,一般需要從多角度提取振動信號的統計特征參數,這使得故障數據間變的更加冗余,導致故障分類困難,難以提取更加有效的故障特征。因此,良好的降維方法是提取易于辨識故障類別特征的關鍵。

流形學習[6]作為有效的數據降維方法,能夠保持故障數據的局部近鄰關系,更好地揭示高維故障數據的流形特征。Roweis等[7]提出了局部線性嵌入(locally linear embedding,LLE)算法,是一種基于圖的無監督非線性降維方法,通過求解特征值問題來計算每個點的重構權值,并使嵌入最小化。Wang等[8]對LLE進行改進,提出了一種基于統計的局部線性嵌入(statistical locally linear embedding,SLLE)的降維算法,利用故障類別的標簽信息對局部嵌入算法進行擴展,考慮了數據的局部幾何結構和類信息。Li等[9]提出拉普拉斯特征映射(Laplacian eigenmaps,LE)算法,通過構建圖相似矩陣來重構數據流形的局部結構特征,在低位空間中能夠盡可能的保留局部樣本間的結構關系。梁超等[10]提出了局部保持投影(locality preserving projections,LPP)算法,LPP是一種被視為替代主成分分析[11]的線性降維方法,通過構造數據局部結構的投影矩陣,保留了隱藏在訓練集中的非線性子流形結構和數據的局部鄰域信息。Zang等[12]提出了彈性保持投影(elastic preserving projections,EPPs)算法。EPPs繼承了LPP和NPE[13](neighborhood preserving embedding)等局部降維方法的優點,結合了數據的局部幾何特性和全局信息,能夠發現隱藏在訓練集中的非線性子流形結構。

流形學習方法一般通過簡單二元圖描述樣本空間結構關系。然而,實際問題中的軸承故障數據通常嵌入在高維空間中,每個數據樣本之間的關系較為復雜,簡單無向圖使用二元關系來描述樣本間聯系的方法,無法探究數據復雜的高階關系。并且,流形中經常采用歐氏距離度量故障樣本間的權值與近鄰。但流形中樣本點距離為測地距離,不是簡單的兩點之間的直線距離。在高維流形中,用歐氏距離來表示數據的圖結構不僅容易受到數據噪聲的影響,而且歐氏距離對數據的范圍取值較敏感,無法準確揭示數據的內在結構關系。

為了解決上述問題,提出采用超圖結構[14]描述不同軸承故障樣本間的結構關系,利用軸承故障樣本的監督信息構建出類內超圖和類間超圖。超圖結構有效挖掘故障數據本身的復雜多重結構,在表達樣本間的多元關系的同時更好的揭示了不同故障類型的內在性質。并且在超圖中通過皮爾森相關系數[15]與歐氏距離融合的新度量(相關距離)來計算高維流形中樣本間的測地距離,避免了歐氏距離受故障數據取值范圍敏感導致的分類不準確問題。超圖相關距離判別投影方法更好的挖掘了不同軸承故障樣本的多元結構關系,提高了故障分離的準確性。

1 相關性及圖學習基礎理論

1.1 相關性理論

皮爾森相關系數是一種經典統計學方法,可以通過計算兩個向量之間的相關性系數來衡量兩者之間的相似性程度。相關系數作為反應變量間相似性程度的統計量,通過計算特征和類別間的相似度來判斷其相關程度。

皮爾森相關系數一般使用相關系數ρ表示,ρ∈[-1,1]。

定義1給定兩個變量x∈Rn和y∈Rn,它們之間的皮爾森相關系數為

(1)

式中:E(x)和E(y)分別為變量x和y的期望;D(x)和D(y)分別為變量x和y的方差。

1.2 圖學習

圖可以直觀地描述成對故障樣本之間的關系,揭示數據之間的幾何性質。傳統的簡單圖,如圖1所示。每條邊連接兩個不同的頂點,通過賦予該邊一定大小的權重來衡量兩樣本之間的關聯性。

圖1 簡單圖

對于一個簡單兩向圖,一般表示為

G={X,E,W}

(2)

式中:X為樣本的頂點集;E為頂點間的邊集;W為頂點之間邊的權重矩陣。

簡單兩向圖一般采用相似性度量的方法來定義兩頂點之間連通的邊和其對應的權值。如果頂點i,j相似,則在頂點i,j之間定義一條邊和它的相似權值。

2 超圖相關距離判別投影

2.1 相關距離的構建

在高維空間中,歐式距離往往無法真實的反應故障樣本之間相對位置關系,無法通過計算的測地距離選取合適的近鄰樣本點,使后續算法無法準確對軸承故障進行準確分類。

歐氏距離對變量的取值范圍較為敏感,在面對復雜工況的高維軸承故障信號時,度量更容易失效,進而難以反應出高維故障數據間的真實結構。皮爾森相關系數反映的是樣本間的相似性程度,不受樣本維度和取值的影響,在高維空間中能夠準確反應故障特征和類別的相似性關系。對此,本文定義了一種新的度量方法——相關距離。新度量在歐氏距離的基礎上通過相似性度量了高維空間中樣本點的相似性關系。

定義2給定兩個變量xi∈Rn和xj∈Rn,它們之間的相關距離為

(3)

皮爾森相關系數和歐式距離融合后的新度量在一定程度上解決了流形中單一依賴歐式距離導致的度量不準確的問題。新度量不僅避免了歐氏距離對變量范圍的取值敏感和在高維流形中度量不準確的問題,也為相似性權值矩陣的魯棒性創造一定的基礎。

為了驗證相關距離的優勢,在西儲大學軸承數據集上計算了樣本距離。相關距離的同類距離均值明顯增加,異類距離均值小幅度變化,如表1所示。所以,相關距離能夠有效的提高不同軸承故障間的可分離性。

表1 不同度量方式的距離比較

2.2 超圖結構

不同于簡單圖結構每條邊只能連接兩個頂點,超圖如圖2所示。從圖2可知,一條超邊可以連接的頂點是不受限制的。

圖2 超圖

對于一個超圖,它的一般表示為

GH={V,EH,WH}

(4)

超圖中,關聯矩陣H=|V|×|E|來表示頂點和超邊的關系。關聯矩陣H描述了圖2中超圖頂點vi和超邊ej的關系,如表2所示。其定義如下

表2 超圖關聯矩陣H

(5)

超圖中頂點的度為包含該頂點的所有超邊的權重和,超邊的度為該邊內包含的頂點個數。頂點的度d(v)和超邊的度δ(e)定義如下

(6)

(7)

超圖相對簡單圖能夠涵蓋更豐富的空間結構信息。廣義的邊可由多個頂點構成,每個頂點可以在多個超邊中,能夠描述復雜的軸承故障樣本多元關系。

2.3 HCDDP(hypergraph correlation distance discriminant projection)算法設計

HCDDP通過超圖這種新的圖結構來描述不同軸承故障信號間的流形結構關系。并利用軸承故障信號的監督信息構造了類內超圖和類間超圖。在超圖的構建中,使用相關距離來度量流形空間中故障樣本的測地距離。

2.3.1 類內超圖的構建

根據樣本的類別信息,通過類內樣本近鄰關系構建類內超圖GHw

GHw={V,EHw,Ww}

(8)

式中,EHw和Ww為通過類內近鄰樣本點構建的類內超邊和類內超邊權重。通過近鄰算法選擇k個近鄰點來構建類內關聯矩陣Hw。

類內關聯矩陣Hw的定義為

(9)

式中:Nkw(x)為與x同類的k個近鄰點;l(x)為x的標簽信息。

類內超邊ew的權重通過相關距離進行構建

(10)

式中:wi,w構建類內超圖中的權重矩陣Ww,Ww=diag([w1,w,w2,w,…,wn,w])為一個對角矩陣。

類內超圖頂點的度di,vw和超邊的度dj,ew可以表示為

(11)

(12)

在低維空間中,通過最小化類內距離,構建以下的目標函數

(13)

即,類內樣本目標函數為

minATXLwXTA

(14)

式中:Lw=Dvw-HwWw(Dew)-1(Hw)T為類內超圖拉普拉斯矩陣;Dvw為類內頂點的度矩陣;Hw為類內點邊關系矩陣;Ww為類內超邊的權重矩陣;Dew為類內超邊的度矩陣。

2.3.2 類間超圖的構建

類間超圖根據樣本的標簽數據和類間樣本近鄰關系,表示如下:

GHb={V,EHb,Wb}

(15)

式中:EHb和Wb為通過類間近鄰構建的類間超邊和類間超邊權重。同樣使用近鄰算法選擇k個近鄰點來構建類間關聯矩陣Hb。

類間關聯矩陣Hb如下式計算得到

(16)

式中:Nkb(x)為與x不同類的k個近鄰點;l(x)為x的標簽信息。

類間超邊eb的權重wi,b也通過相關距離來計算,wi,b由下式計算得到

(17)

類間超圖中,頂點的度和超邊的度有如下表示

(18)

(19)

在低維空間中,通過最大化類間距離,構建了類間超圖的目標函數

(20)

即,類間樣本目標函數為

maxATXLbXTA

(21)

式中:Lb=Dvb-HbWb(Deb)-1(Hb)T為類間超圖拉普拉斯矩陣;Dvw為類間頂點的度矩陣;Hw為類間點邊關系矩陣;Ww為類間超邊的權重矩陣;Dew為類間超邊的度矩陣。

2.4 構建HCDDP優化模型

HCDDP使用新的度量方法重構了超圖中的權重矩陣W。考慮了不同樣本之間復雜的多元關系,對故障樣本的類內超圖和類間超圖進行構造,使在低維空間中提高不同類別樣本的可分性。

HCDDP被表示為如下的兩個優化函數

(22)

為了避免無用解,給出以下限制條件

(23)

通過構建最小化類內函數和最大化類間函數,給出HCDDP的優化模型

(24)

式中:L=Lb-Lw;D=Dvb-Dvw。

根據代數和矩陣相關知識,通過求解式(25)得到的最優特征向量使優化模型最大化

XLXTα=λXDXTα

(25)

HCDDP算法的基本過程,如表3所示。

表3 HCDDP算法過程

HCDDP利用相似距離構建了超圖中的鄰接矩陣HW(De)-1HT。在考慮樣本在高維流形中的空間幾何結構的同時,通過超圖構建了類內最小化和類間最大化的優化函數。超圖結構準確描述了具有多元關系的故障樣本,有效減少樣本不平衡帶來的問題。

3 基于HCDDP的軸承故障診斷方法

本文提出了一種基于HCDDP的軸承故障診斷方法,類內類間判別超圖結構在去除高維故障數據冗余信息的同時,增強了樣本間的高階關聯能力,并在超圖中利用相關距離構建了權重矩陣,準確揭示了不同樣本的相似性關系。

軸承故障振動信號中不同的故障類別有著不同的表征,這些表征往往存在于信號的各個特征中。本文試驗中對軸承振動信號的時域、頻域和時頻域進行提取28種相關特征[16-17],如表4所示。表4中:1～16的時域特征中1～9為有量綱指標,能夠直觀反應信號的物理含義;10～16為無量綱指標,不易受噪聲的影響;17～20為信號的頻域特征;21～28為信號的時頻域特征。本文試驗中,為了消除數據特征之間的量綱影響,對多域特征進行了歸一化處理。多域特征的結合能夠豐富故障特征種類,增強故障判別能力。

表4 特征參數

基于HCDDP的軸承故障診斷方法實現過程主要為以下幾個步驟:

步驟1:通過對傳感器采集到的原始時域信號轉化成多域的高維故障數據集來提取特征參數,并劃分為訓練樣本數據集和測試樣本數據集兩部分。

步驟2:將訓練樣本數據集輸入到基于類內超圖和和類間超圖目標函數構建的HCDDP模型中進行訓練,從而得到投影矩陣。再利用投影矩陣對測試樣本集進行維數約簡得到低維的特征集。

步驟3:最后將低維特征集輸入到SVM分類器中訓練。通過訓練好的分類模型進行故障分類,完成軸承故障的診斷。

流程圖如圖3所示。圖3中,n為故障類別數。

圖3 基于HCDDP的軸承故障診斷流程圖

4 試驗結果與分析

為驗證本方法的可行性和準確性,建立的故障診斷方法分別在西安交通大學滾動軸承數據集[18](Xi’an Jiaotong University-Changxing Sumyoung Technology Co., Ltd., XJTU-SY)和美國凱斯西儲大學軸承數據集(Case Western Reserve University, CWRU)上進行了試驗。

4.1 在XJTU-SY軸承數據集上的試驗

該軸承數據集來自西安交通大學軸承數據集,試驗軸承為LDK UER204滾動軸承,如表5所示。

表5 LDK UER204軸承參數

本試驗采用的是PCB 352C33單向加速度傳感器在測試軸承的豎直方向采集到的振動信號,試驗臺如圖4所示。采樣頻率為25.6 kHz,采樣間隔為1 min,每次采樣時長為1.28 s。本試驗選取了工況2中的Bearing2_1(內圈失效)、Bearing2_2(外圈失效)和Bearing2_3(保持架失效)三個數據集。將振動信號以1 024為采樣長度劃分樣本,隨機試驗重復十次,選取10次的均值為試驗的識別率。

圖4 軸承試驗臺

為驗證HCDDP維數約減的有效性,每類樣本200個,隨機設置100組為訓練集,剩余100組為測試集。PCA(主成分分析)、KPCA(核主成分分析)、LLE(線性判別嵌入)、OEPP(正交彈性保持投影)和KEPP(核彈性保持投影)分別在該數據集上進行試驗,鄰域參數設置為KLLE=5,KOEPP=5,KHCDDP=5,其中KPCA核參數設置為2。

將得到的低維特征子集輸入到SVM(suppot vector machine)分類器中進行了故障分類。得到了不同方法在該數據集上的平均故障識別率,如表6所示。標準差反應了識別率的波動情況。

表6 不同方法的平均故障識別率

表6中,KPCA對軸承故障分類效果較差,核函數的方法在面對復雜非線性故障樣本時無法很好的處理。PCA只考慮了數據的全局信息,對故障數據的特征利用不夠充分,平均識別率一般。OEPP和KEPP兩者都是無監督算法,無法很好利用樣本的標簽信息,表現均不HCDDP。LLE利用局部線性關系反應全局信息,識別效果良好。而HCDDP使用相關距離超圖構建的類內和類間樣本關系,能夠更好的揭示樣本之間的多元關系和準確度量樣本之間的距離,有著更高的平均準確率。

為了進一步驗證方法的有效性和穩定性,通過逐步增加訓練集的數量來觀察準確率的變化曲線。每類隨機樣本的個數分別設置10,20,30,40,…,190,200,識別率如圖5所示。

圖5 故障識別率隨樣本個數變化曲線

從圖5可知,OEPP在隨著訓練樣本逐漸增加的過程中,平均識別率有較大的波動,且平均識別率不高。KPCA和KEPP隨著訓練樣本的增加,整體平均識別率較為穩定,但未有較大提升。PCA隨著訓練樣本增加,平均識別率增長穩定,始終高于KEPP和KPCA。LLE初始平均識別率較高,但隨著訓練樣本的增加,沒有保持較大幅度的提升。本文提出的HCDDP算法能夠在訓練樣本逐漸增加的同時保持平均識別率的穩定增長,并且維持較高的識別率。

4.2 在CWRU軸承數據集上的試驗

該數據集來自美國凱斯西儲大學的軸承故障數據集。軸承類型為深溝球軸承,參數如表7所示。

表7 軸承規格

實驗臺如圖6所示。電機驅動端加速度傳感器采集到的無故障、內圈故障、滾動體故障和外圈故障的振動信號,如圖7所示。

圖6 CWRU軸承試驗平臺

圖7 4種軸承振動信號

本試驗選取凱斯西儲大學軸承數據集中采樣頻率為12 kHz,損傷直徑為0.177 8 mm的驅動端數據集。將振動信號以1 024為采樣長度劃分一個樣本,每類故障數據均為110個樣本,從中隨機選取50個作為訓練樣本,剩余60個作為測試樣本。為了避免實驗的偶然性,隨機試驗重復10次,取10次均值作為最終識別率。

為驗證HCDDP維數約簡的有效性,使用KPCA、LLE、OEPP三種算法進行了對比試驗。將軸承數據集分別通過KPCA、LLE、OEPP降到三維,使用三維特征分布圖來直接展示降維效果。其中,鄰域參數分別設置為KLLE=5,KOEPP=5,KHCDDP=5,其中KPCA核參數設置為2。

圖8(a)、圖8(b)、圖8(c)、圖8(d)分別為與測試數據集進行維數約簡后的三維特征分布圖。圖8(a)中通過KPCA降維后內圈故障樣本和滾動體故障樣本混疊明顯,外圈故障樣本和正常樣本的類內聚類的效果一般,不能準確區分出各類的故障類別。圖8(b)中OEPP的降維后類間樣本間距較近,樣本混疊明顯,無法很好的區分不同故障類型。圖8(c)中LLE在三維特征分布中各類軸承故障分類效果較為明顯,但類內聚集性不明顯,類間分類界限模糊。相對以上三種算法,HCDDP在三維特征分布圖中樣本類間分類界限明顯,聚類效果良好,能夠準確的區分不同的故障類型。

(a) KPCA

為了進一步驗證HCDDP算法在該數據集上的有效性,將基于PCA、KPCA、LLE、KEPP、OEPP和HCDDP六種方法得到的低維特征子集輸入到SVM分類器中進行軸承故障分類。訓練樣本50,測試樣本60下不同方法的平均故障識別率,標準差反應了識別率的波動情況,如表8所示。

表8 不同方法的平均故障識別率

由表8可知,非線性降維算法KPCA和線性降維算法PCA都只考慮了樣本的全局信息,在本軸承數據集上的表現一般。LLE平均識別率良好,但不及OEPP。KEPP和OEPP都利用了樣本的局部和全局信息,對該數據集的識別率較好,但平均識別率的波動較大,相比HCDDP,無法穩定的保持較高的平均識別率。

鑒于軸承工作環境較為復雜,不同工況下軸承產生的故障特征不同,故障診斷算法在單一工況下無法測試其泛化能力。為了更加全面的驗證基于HCDDP故障診斷方法的泛化性,針不同工況下的同一故障進行故障診斷,分別使用轉速為1 730 r/min、1 750 r/min、1 772 r/min、以1 797 r/min下的四種工況數據進行了故障識別率實驗。為了觀察故障識別率隨著訓練樣本增加的變化曲線,將每類隨機訓練樣本數量分別設置為10,20,30,…,100,110,進行試驗,結果如圖9所示。六種算法在不同工況下訓練樣本為10,20,…,100,110時的十次平均識別率的實驗,綜合衡量了算法在不同訓練樣本數量下的平均識別率,如表9所示。

表9 多工況下不同訓練樣本數的平均故障識別率

(a) 1 730 r/min下故障平均識別率

通過上述六種算法在表9和圖9中的數據可知HCDDP在四種工況下表現良好,識別率較穩定,高于LLE。PCA、KPCA以及KEPP在各種工況下當訓練樣本較少時準確率偏低,且整體表現不穩定。OEPP整體表現較為良好。在1 750 r/min工況下和HCDDP最接近,但OEPP在不同工況下的適應能力弱,在1 730 r/min和1 797 r/min這兩種工況下。訓練樣本較少時準確率較低,隨著訓練樣本的增加準確率也沒有保持較平穩的增長。

綜上,HCDDP在各工況下不同訓練數量時平均識別率均表現較好,在訓練樣本較少時依然有著較高的故障識別率。判別超圖結構在訓練樣本增加時進一步豐富了樣本間的多元結構關系,保持了平穩的故障識別率。

5 結 論

針對軸承故障診斷方法難以揭示樣本多元結構信息且在高維流形中難以準確度量測地距離的問題,本文提出了一種基于超圖相關距離判別投影的軸承故障診斷方法。

(1) 在高維流形中通過皮爾森相關系數與歐氏距離結合構造了相關距離,相關距離相比歐氏距離能進一步聚集類內樣本和疏遠類間樣本,并更好的描述樣本間的相對位置關系。

(2) 通過構建類內類間兩種判別超圖來充分發掘樣本間的多元關系和內在結構,并在超圖中利用相關距離構建權重矩陣,從而在保留原始數據有效信息的同時進一步解決了數據樣本不平衡和分類代價敏感。

(3) 在兩種不同規格的軸承數據集試驗中,從樣本低維投影可視化、軸承多工況故障識別率分析和不同算法對比等分析了本方法的有效性和穩定性。試驗結果表明,本方法具有優越的軸承故障診斷性能。