齒面摩擦和幾何偏心對含變位直齒輪嚙合剛度的影響研究

郝壯壯　張慶春　胡云波　郭宜斌　王東華　李玩幽

摘要：以含變位的漸開線直齒輪副為研究對象，基于能量法建立了包含非線性赫茲接觸剛度、真實的齒廓型線和基體剛度耦合效應的齒輪嚙合剛度計算模型?？紤]齒輪變位的影響，修正了嚙合剛度計算中齒廓型線、基圓半角和齒根圓半角的計算公式；修正了考慮齒面摩擦時的基體耦合剛度模型；推導了考慮幾何偏心的齒輪嚙合點壓力角模型。研究了變位、齒面摩擦和幾何偏心對嚙合剛度的影響規律。結果表明，變位齒輪副的中心距、嚙合剛度幅值、重合度都有著較大變化；由于變位，一對相互嚙合的齒輪齒面摩擦力方向改變的時刻不再是發生在單齒嚙合區間，進而影響齒輪嚙合剛度特征；幾何偏心會使嚙合剛度峰-峰值增大，同時嚙合剛度頻域中出現以轉頻為間隔的邊頻，當主從動輪都存在偏心時會出現以轉頻之差為間隔的邊頻；綜合考慮三種因素作用，可顯著影響齒輪嚙合剛度特性。研究結果為進一步研究變位齒輪動力學提供了參考。

關鍵詞：變位齒輪副；嚙合剛度；齒面摩擦；幾何偏心誤差

中圖分類號：TH132.4

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.23.005

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Research on Influences of Tooth Friction and Geometric Eccentricity Errors

on Mesh Stiffness of Profile Shifted Spur Gear Pairs

HAO Zhuangzhuang¹ZHANG Qingchun¹HU Yunbo²GUO Yibin¹WANG Donghua¹

LI Wanyou¹

1.College of Power and Energy Engineering，Harbin Engineering University，Harbin，150000

2.Marine Design & Research Institute of China，Shanghai，200011

Abstract：Taking the involute spur gear pairs with profile shift as the research object，the mesh stiffness calculation models including nonlinear Hertzian contact stiffness，tooth profile curve，fillet foundation stiffness with structure coupling effect were established based on the potential energy method. Considering the influences of gear profile shifts，the calculation formulas for tooth profile curve，half tooth angle of base circle and half tooth angle of dedendum circle in mesh stiffness calculation were revised. The fillet foundation stiffness models were revised by considering tooth surface frictions. The pressure angle models of gear mesh point were derived by considering geometric eccentricity errors. The effects of profile shifted，tooth surface frictions and geometric eccentricity errors on mesh stiffness were studied. The results show that the center distance，stiffness amplitude and contact ratio of the profile shifted gear pairs have great changes. Owing to the profile shift，the moment when the direction of frictional force changes on a pair of meshing gears no longer occurs within the single tooth meshing interval，thereby affecting the characteristics of the mesh stiffness. Geometric eccentricity increases the peak-to-peak values of the mesh stiffness，and at the same time，sideband frequencies with intervals corresponding to the rotational frequencies appear in the frequency domain of the meshing stiffness. In the presence of eccentricity errors in both the driving and driven gears，a new sideband frequency arises with an interval equal to the difference in rotation frequency. Considering the combined effects of three factors，the mesh stiffness characteristics may be significantly influenced. The research results provide the references for further researches of the dynamics of profile shifted gears.

Key words：profile shifted gear pair； mesh stiffness； tooth surface friction； geometric eccentricity error

收稿日期：2023-04-18

0 引言

齒輪傳動系統在工業領域應用范圍極為廣泛，齒輪嚙合剛度是研究齒輪動力學的一個重要激勵參數，齒輪又因單雙齒嚙合而產生時變嚙合剛度（time-varying mesh stiffness，TVMS），目前針對齒輪嚙合剛度的計算方法有實驗法、有限元法和能量法等。無論是實驗法還是有限元法，都會耗費大量時間，而基于材料力學和齒輪幾何原理的能量法則具有效率高的特點，因此能量法一直是學者研究的熱點方向。YANG等^［1］提出了計算嚙合剛度的勢能法，主要考慮彎曲剛度、軸向壓縮剛度和赫茲接觸剛度。TIAN^［2］指出嚙合剛度應考慮剪切能，并在文獻［1］的基礎上提出了剪切剛度計算模型。CORNELL^［3］基于赫茲理論提出適用于齒輪嚙合的非線性赫茲接觸剛度公式。SAINSOT等^［4］基于Muskhelishvili理論，通過假設齒根圓處的線性和恒定應力變化，提出了應用于圓形彈性環的齒形撓度解析公式。WANG^［5］利用有限元計算齒輪嚙合剛度時發現，簡單地利用并聯方式計算雙齒嚙合剛度會使得計算結果比真實嚙合剛度大，這是因為這種方式忽略了相鄰齒的耦合效應。XIE等^［6］在文獻［4］的理論基礎上，考慮相鄰齒的耦合效應，提出了雙齒嚙合區間齒輪基體誘導變形的解析公式，解決了通過能量法計算雙齒嚙合區嚙合剛度偏大的問題?？紤]到文獻［1-2］在計算彎曲剛度、軸向壓縮剛度和剪切剛度時基于的是基圓半徑，忽略了真實齒廓齒根過渡部分，MA等^［7］對能量法計算嚙合剛度作了進一步的改進，避開齒數的判斷，使能量法計算模型更加完善。

上述推導都是在齒面僅僅存在沿嚙合線方向嚙合力的條件下進行的，然而齒輪嚙合時沿垂直嚙合線方向也存在摩擦力，它同樣會影響剛度計算公式。SAXENA等^［8-9］研究了軸不對中和齒面摩擦對直齒輪副有效嚙合剛度的影響，推導了考慮齒面摩擦的彎曲剛度、軸向壓縮剛度和剪切剛度公式。LI等^［10］研究了齒面時變摩擦因數和油膜剛度對時變嚙合剛度的影響規律，計算結果顯示高速和輕載情況下它們對嚙合剛度影響更為明顯。MA等^［11］同時考慮齒根過渡曲線和漸開線齒廓、非線性赫茲接觸剛度，研究了齒面摩擦和齒頂修型對時變嚙合剛度的影響規律。張濤等^［12］研究了時變摩擦因數下輪齒模數、齒寬、壓力角、粗糙度等參數對齒輪時變嚙合剛度的影響規律。

上述建立的嚙合剛度公式是針對標準漸開線齒廓的。變位齒輪在齒輪傳動有著廣泛應用，考慮齒輪變位時，相較于標準齒廓，正變位會使齒廓變厚，負變位會使齒廓變薄，這同樣會影響齒輪的嚙合剛度。MA等^［13-14］分析了齒廓修形對外嚙合變位齒輪副時變嚙合剛度的影響，基于轉子系統動力學模型對含齒根裂紋的外嚙合變位齒輪副的動態響應進行了研究。CHEN等^［15］修正了內嚙合齒輪副考慮變位時的齒輪結構計算公式，結合能量法研究變位系數對內嚙合直齒輪副的時變嚙合剛度的影響。

考慮齒輪安裝時，幾何偏心誤差也是影響時變嚙合剛度的一個因素。LUO等^［16］基于能量法研究具有確定時變中心距和齒輪局部輪齒故障對時變嚙合剛度的影響規律。薛震^［17］研究了具有偏心誤差的兩級直齒輪系統的時變嚙合剛度和動態響應規律。CAO等^［18］考慮了由齒輪偏心引起的時變中心距、壓力角、重合度和嚙合位置的變化，研究了齒輪偏心對行星齒輪動態性能的影響。ZHAO等^［19］研究了偏心誤差對斜齒輪嚙合剛度和動態響應的影響。EL YOUSFI等^［20］研究了含偏心誤差的電機齒輪系統的動態響應特點。

上述文獻無論是齒面摩擦還是幾何偏心都是針對無變位齒輪嚙合剛度的影響研究，而考慮變位齒輪時這兩個因素對嚙合剛度的影響研究還不多見，且少有文獻給出這兩個因素共同影響下的齒輪嚙合剛度計算模型。本文綜合考慮影響齒輪嚙合剛度的齒廓型線、基體剛度的耦合效應、齒面摩擦、輪齒變位和幾何偏心等因素，修正了齒面摩擦對基體剛度的影響和齒輪變位對齒輪齒廓的影響，推導了考慮幾何偏心的壓力角計算公式，建立了可同時考慮多種因素的齒輪嚙合剛度計算模型，研究分析不同因素單獨變化和綜合作用對時變嚙合剛度的影響規律。本文的研究成果可以應用到齒輪動力學的參數計算中，進而得到更加精確的傳動軸系動力學模型。

1 考慮齒面摩擦的嚙合剛度計算模型

1.1 單齒剛度

采用能量法計算齒輪時變嚙合剛度時，其中儲存在單齒中的勢能包括赫茲能、彎曲勢能、徑向壓縮勢能和剪切勢能4個部分，分別用于計算赫茲剛度、彎曲剛度、徑向壓縮剛度和剪切剛度。

非線性赫茲接觸剛度k_H計算公式如下：

式中，B為齒寬；F_m為嚙合點處嚙合力；E₁、E₂為兩個接觸齒輪的彈性模量。

考慮齒面摩擦力時，齒面摩擦力的方向在齒輪節點發生改變^{［12，21］}，對于主動輪，以節點為分界分別指向齒根和齒頂。在嚙合點處分別有沿嚙合線的嚙合力F和垂直于嚙合線的摩擦力μF，如圖1所示。為便于利用能量法計算嚙合剛度，將上述兩個力分解為徑向力F_r和切向力F_t，其中主動輪受力表達式為

其中，β、θ_p分別對應嚙合點和齒輪副節點處的嚙合力與x軸夾角，同時考慮展成法加工的真實齒廓曲線和齒根過渡曲線，彎曲剛度k_b需要修正為^［11］

徑向壓縮剛度k_a修正為

剪切剛度k_s修正為

式中，各參數含義詳見文獻［7］；符號<>、±、代表當全取上邊或下邊時表達式對應的兩種情況。

需要說明的是，上述考慮摩擦的剛度修正公式是關于主動輪輪齒的，從動輪由于摩擦力方向與主動輪相反，所以上式中摩擦因數前的正負號需要相應相反。

研究發現，齒輪基體的形變也會對齒輪嚙合剛度產生影響。SAINSOT等^［4］基于彈性力學方法提出了用于計算齒輪基體嚙合剛度的解析公式。MA等^［11］在雙齒嚙合區引入了齒輪基體剛度修正因子以解決多齒嚙合能量法計算嚙合剛度時值偏大的問題。XIE等^［6］又進一步考慮了相鄰齒之間的結構耦合效應，提出了新的基體剛度解析計算模型。然而上述文獻中均未考慮齒面摩擦力對切向力的影響，進而忽略了摩擦力對基體剛度的影響。基于此，考慮齒面摩擦力的基體剛度修正為

齒輪基體耦合效應剛度修正為

式中，1/k_f21為1號齒輪承載時，2號齒的齒輪基體耦合誘導變形產生的剛度；1/k_f12為2號齒輪承載時，1號齒的齒輪基體耦合誘導變形產生的剛度；其他參數的含義和具體表達式見文獻［6］。

加工齒輪時，當刀具移遠或移近被加工齒輪中心時，若采用齒條刀具加工，此時被加工齒輪的分度圓不再和刀具中線相切，這樣被加工出的齒輪為變位齒輪。

變位齒輪與標準齒輪相比，模數、壓力角、分度圓和基圓不變，齒根圓、齒頂圓和齒厚發生改變。根據變位齒輪幾何結構特點，單齒剛度計算解析式中一些參數需要根據變位系數進行修正。刀頂圓角圓心到中線的距離修正為

式中，r_ρ為刀頂圓角半徑；x為變位系數；m為模數；α₀為分度圓壓力角；h^*_a為齒頂高系數，h^*_a=1；c^*為頂隙系數，c^*=0.25。

齒條型刀具加工生成漸開線的起始點圓半徑修正為

式中，r_b為齒輪基圓半徑。

齒輪基圓角半角修正為

齒根圓半角修正為

式中，Z為齒輪齒數；r-_c=r_c/m，r_c為齒條的齒根圓角半徑，其值為0.38m。

1.2 齒輪副嚙合剛度

齒輪副嚙合剛度隨著嚙合位置的變化而變化，即嚙合剛度為嚙合點壓力角的函數。漸開線直齒輪副的重合度大于1，本文分析重合度介于1、2之間的齒輪副嚙合剛度，根據齒輪嚙合時單雙齒交替，可以將齒輪時變嚙合剛度計算分為單齒區間和雙齒區間。

當考慮一對齒輪時，嚙合剛度為齒體剛度、基體剛度、赫茲接觸剛度的串聯結果，設一對齒輪剛度為

其中，下標p、g分別表示主動輪（pinion）和從動輪（gear）。單齒區間時，齒輪副嚙合剛度k_m=k_t。雙齒區間時，考慮上述式（7）、式（8）所描述的相鄰齒間的耦合效應，此時齒輪副嚙合剛度為

其中，F₁、F₂分別為雙齒嚙合時第一對齒輪和第二對齒輪的嚙合力；下標1、2分別表示第一、第二對齒輪。變位齒輪根據總變位系數不同分為兩種：一種是高變位齒輪副（名義中心距等于標準中心距），兩齒輪的變位系數之和等于零；另一種是角變位齒輪副（名義中心距不等于標準中心距），兩齒輪的變位系數之和不等于零。

由于齒輪變位的影響，相比于無變位的齒輪，齒輪結構參數，如齒高變位系數、變位齒輪副嚙合角、中心距變動系數、齒輪變位安裝中心距、齒頂圓直徑和齒根圓直徑等計算公式需要修正^［22］。

綜上所述，結合式（10）～式（13），將變位系數從-0.6到0.6取7等分，齒輪結構參數取表1中主動輪的參數值，得到的齒廓、齒厚一半變化圖2所示。

2 齒輪嚙合壓力角計算模型

2.1 單、雙齒嚙合動態邊界條件

針對一對齒輪副，理想狀態下齒輪嚙合位置如圖3所示，主動輪上一個輪齒從d點嚙入，經過雙齒區間dc、單齒區間cb、雙齒區間ba，在a點脫離嚙合。其中d、a兩點分別對應從動輪和主動輪的齒頂圓，當主齒輪的一個輪齒在d點進入嚙合時，主動輪的前一個輪齒從單齒嚙合區b點進入雙齒嚙合區a點。根據幾何關系，有^［23］

根據主動輪嚙合點壓力角和中心距，可得此時從動輪嚙合點壓力角滿足關系式^［23］：

式中，L（t）為瞬時中心距；α（t）為瞬時嚙合角，隨著瞬時中心距而變化。

任意時刻嚙合點壓力角可以根據主動輪轉角和上一時刻嚙合點壓力角確定：

式中，w（T）為主動輪角速度。

通過式（22）可以看出，齒輪轉過的角度和齒輪嚙合點壓力角并不是線性關系。嚙合點壓力角與嚙合力方向和切向夾角θ_b的幾何關系滿足：

β=tan（α_p（t））－θ_b

2.2 考慮幾何偏心誤差的壓力角計算模型

當齒輪的幾何中心和旋轉中心一致時，此時沒有幾何偏心誤差，齒輪副嚙合點壓力角變化規律由式（20）決定，式中的嚙合角和中心距都是定值。

當齒輪的幾何中心和旋轉中心存在偏差時，即存在幾何偏心時，此時的幾何中心既存在自轉又存在公轉，由于齒輪副嚙合點壓力角是依據嚙合點和齒輪幾何中心計算的，故考慮幾何中心自轉時，嚙合點壓力角和齒輪旋轉由式（22）決定，考慮幾何中心公轉時，中心距會隨著齒輪旋轉而變化^［19］，同時嚙合角也會瞬時變化，自轉和公轉共同影響下，齒輪副嚙合點壓力角變化規律由式（20）～式（22）以及中心距隨齒輪旋轉變化公式決定。中心距隨齒輪旋轉變化公式如下：

式中，a_w為初始時刻中心距，即一對齒輪參數下的安裝中心距；w_p、w_g分別為主動輪和從動輪的旋轉角速度；e₁、e₂分別為主動輪和從動輪的偏心量；θ_p、θ_g分別為主動輪和從動輪的初始偏心角，初始偏心角定義為幾何中心和旋轉中心與水平線的夾角，本文取零。

綜上所述，考慮幾何偏心和齒面摩擦時變位齒輪副時變嚙合剛度的計算流程如圖4所示。

2.3 時變嚙合剛度模型驗證

根據本文建立的齒輪時變嚙合剛度模型，采用文獻［6］中的pair2齒輪參數，見表2，當齒輪內孔半徑分別為15 mm、25 mm、35 mm時，將時變嚙合剛度結果與文獻基于有限元計算結果進行對比，如圖5所示。

由圖5可看出，本文方法與文獻［6］獲得的三種內孔半徑下的有限元剛度曲線十分接近，最大誤差為6.41％，這初步說明了本文所提方法的準確性。

3 變位參數對嚙合剛度的影響

為了綜合研究不同變位系數對齒輪副嚙合剛度的影響規律，選取主動輪變位、從動輪變位和主從動輪同時變位的情況來研究角變位齒輪副和高變位齒輪副的時變嚙合剛度特征。仿真計算所需的齒輪副主要參數如表1所示。

在計算不同變位系數的齒輪副嚙合剛度時，齒輪嚙合剛度計算起點為單齒嚙合區間起點（圖3中c點），即c點對應齒輪轉角為0的時刻，等時間間隔采樣，每個嚙合周期計算20個點。

3.1 角變位齒輪副嚙合剛度變化規律

針對角變位齒輪副，分別對主動輪和從動輪輪齒取不同變位系數，具體變位情況和參數見表3、表4。表中，X₁對應主動輪的變位系數，X₂對應從動輪的變位系數。

由表3可知，當主動輪變位從-1到+1時，齒輪的中心距不斷增大，從128.3 mm增大到132.3 mm，相應的齒輪副重合度從1.92減小到1.57。

根據表3變位系數計算的嚙合剛度隨齒輪轉角的變化和相應主要諧次幅值的變化如圖6、圖7所示。由圖6可以看出，當主動輪變位從-1到+1時，齒輪副在單齒區間和雙齒區間的嚙合剛度不斷增大，同時雙齒區間所占整個嚙合區間的比例下降，這是由于變位系數改變了齒厚和中心距，進而影響齒輪嚙合剛度和重合度。在圖7中，時變嚙合剛度的1諧次幅值隨著變位系數增大而增大，從X₁=-1處的1.47×10⁷N/m增大到X₁=1處的5.98×10⁷N/m，2諧次呈現先增大后減小的趨勢，即主動輪變位使得2諧次剛度減小。

當僅考慮從動輪變位時，具體齒輪變位參數如表4所示，此時齒輪副中心距和表3主動輪變位的齒輪副中心距一致，均為從128.3 mm到132.3 mm，不同的是，此時的重合度都低于主動輪變位的重合度?？傮w來看，小齒輪（主動輪）和大齒輪（從動輪）有相同的變位系數時，兩種情況對中心距的影響是相同的，小齒輪變位后的齒輪副重合度更高。

根據表4變位系數計算的嚙合剛度隨齒輪轉角的變化和相應主要諧次幅值的變化如圖8、圖9所示。當從動輪變位從-1到+1時，齒輪嚙合剛度有著和主動輪變位一樣的規律，即正變位帶來更大的嚙合剛度和更小的重合度，原因同樣為齒輪變位影響了齒厚和中心距，同時1諧次剛度隨變位系數增大而增大，從X₂=-1處的2.40×10⁷N/m增大到X₂=1處的5.69×10⁷N/m，2諧次呈現先增大后減小的趨勢，即從動輪變位使得2諧次剛度減小。

3.2 高變位齒輪副嚙合剛度變化規律

針對高變位齒輪副，采用表5中變位系數情況進行仿真計算。由表5可知，高變位齒輪副的中心距不變，主動輪（小齒輪）采用正變位時的重合度高于從動輪（大齒輪）采用正變位時的重合度（對比A3-F3、B3-E3、C3-D3）。

根據表5變位系數計算的嚙合剛度隨齒輪轉角的變化和相應主要諧次幅值的變化如圖10、圖11所示。由圖10可知，主從動輪變位系數數值相同時，齒輪嚙合剛度幅值近似一致；當采用數值大的變位系數時（情況數A3、F3），在雙齒嚙合區和單齒嚙合區的齒輪副嚙合剛度都小于采用數值小的變位系數（情況數C3、D3），采用數值大的變位系數情況的2、3諧次剛度幅值小于采用數值小的變位系數的情況，然而由圖11可知，采用數值大的變位系數情況的1諧次剛度幅值大于采用數值小的變位系數的情況。

4 齒面摩擦和幾何偏心對嚙合剛度的影響

4.1 考慮齒面摩擦的變位齒輪嚙合剛度變化規律

取摩擦因數為0.1，計算表4中變位系數的情況，嚙合剛度隨轉角的變化如圖12所示，考慮摩擦和不考慮摩擦的主要諧次剛度幅值如圖13所示，圖中實線為考慮摩擦的時變嚙合剛度，虛線為不考慮摩擦的情況。

對于單對齒輪嚙合，由于齒面摩擦的影響，嚙合剛度從主動輪齒根到節點前增大，從節點到齒頂減小。在圖13中，考慮齒輪摩擦時，當變位系數X₂大于0時，1～4諧次的剛度幅值小于未考慮摩擦的情況，X₂小于0時，1～4諧次的剛度幅值大于未考慮摩擦的情況，這是因為負變位時齒面摩擦方向改變的點在雙齒嚙合區靠近主動輪齒頂的位置，整個嚙合周期中，主動輪更多地處在嚙入階段，齒面摩擦更多地使嚙合剛度增大。

相比于不考慮齒面摩擦，由于摩擦力方向會在節點處發生改變，相應的嚙合剛度在節點處發生變化，通過圖12的計算結果可以發現，由于齒輪變位的影響，由齒面摩擦帶來的剛度變化位置從雙齒嚙合區變化到單齒嚙合區。為進一步研究這一現象，計算表3～表5中變位情況下嚙合角和嚙合區間主動輪壓力角的關系，結果如圖14～圖16所示。嚙合角也即齒輪在節點嚙合時的壓力角。

主動輪變位時嚙合角和嚙合區間的關系如圖14所示，采用表3所示的變位情況計算得到，當主動輪的變位系數從-1變化到+1時，嚙合角經歷了雙齒區間-單齒區間-雙齒區間的變化，且嚙合角相對嚙合區間逐漸向主動輪齒根靠近，同時通過圖中雙齒區間所占比例也驗證了3.1節的關于重合度的結論。圖15、圖16也有著類似的現象，從動輪變位時嚙合角和嚙合區間的關系如圖15所示，采用表4所示的變位情況計算得到，當從動輪的變位系數從-1變化到+1時，嚙合角經歷了雙齒區間-單齒區間-雙齒區間的變化，嚙合角相對嚙合區間逐漸向主動輪齒頂靠近；高變位齒輪副嚙合角和嚙合區間的關系如圖16所示，采用表5所示的變位情況計算得到，當主動輪的變位系數從-1變化到+1時，由于中心距不變，齒輪嚙合角數值不變，嚙合區間由于變位發生改變，嚙合角相對嚙合區間逐漸向主動輪齒根靠近。

綜上，齒輪變位影響了齒輪嚙合角在嚙合區間的位置，嚙合角根據齒輪副變位系數的不同會處在不同的嚙合區間，又由于摩擦力方向會在節點處發生改變，所以改變了齒面摩擦對含變位齒輪副的時變嚙合剛度特征。

通過對上述嚙合角和嚙合區間壓力角的對比發現，相比于無變位的齒輪副（嚙合角位于單齒嚙合區間），變位齒輪副使得嚙合角處在雙齒區間。這又分為兩種情況，一種是處在主動輪靠近齒頂，即圖14對應變位系數X₁為-1、圖15對應變位系數X₂為1、圖16對應變位系數X₁為-1的情況；另一種是處在主動輪靠近齒根，即圖14對應變位系數X₁為1、圖15對應變位系數X₂為-1、圖16對應變位系數X₁為1的情況。

分別選取變位情況A2、F2計算考慮和不考慮齒面摩擦的單齒嚙合剛度和時變嚙合剛度，其中摩擦因數為0.05、0.1，結果如圖17、圖18所示。這兩種變位情況分別代表嚙合角位置靠近主動輪齒根和齒頂。

由圖17、圖18可知，由于齒面摩擦的影響，相比于無齒面摩擦，單齒嚙合剛度會先增大，在節點所對應的壓力角處轉變為減小。在圖17中，隨著摩擦因數的增大，齒輪時變嚙合剛度會在雙齒嚙合區和單齒嚙合區減小增多，其原因為此時齒面摩擦給單齒嚙合剛度帶來更大比例減小的影響。在圖18中，隨著摩擦因數的增大，齒輪時變嚙合剛度會在單齒嚙合區和雙齒嚙合區增大，其原因為此時齒面摩擦給單齒嚙合剛度帶來更大比例增大的影響。

4.2 考慮幾何偏心的齒輪嚙合剛度變化規律

首先不考慮齒輪變位，即X₁=X₂=0，分別計算無偏心、主動輪存在0.1 mm偏心（e₁=0.1 mm）、從動輪存在0.1 mm偏心（e₂=0.1 mm）、主從動輪都存在0.1 mm偏心（e₁=0.1 mm，e₂=0.1 mm）情況下的時變嚙合剛度，結果如圖19所示。在圖19中，不同的偏心情況會使時變嚙合剛度呈現不同形式的周期波動，當齒輪副嚙合存在幾何偏心時，時變嚙合剛度幅值波動增大，并且主從動輪都存在偏心時，時變嚙合剛度相比于無偏心時幅值波動增大更多。

為進一步探究當齒輪存在變位時幾何偏心對時變嚙合剛度幅值波動的影響規律，計算變位情況為A3～F3的齒輪副在含不同幾何偏心情況下的齒輪時變嚙合剛度，通過不同變位情況的時變嚙合剛度幅值峰-峰值來表征齒輪時變嚙合剛度波動劇烈程度，結果如圖20所示。

由圖20可知，無論是無變位還是存在變位，當齒輪副嚙合存在偏心時，時變嚙合剛度峰-峰值會增大，并且時變嚙合剛度峰-峰值隨著主從動輪幾何偏心增大而增大。

對上述圖19得到的時變嚙合剛度時域曲線作傅里葉變換得到圖21、圖22。由圖21可知，當齒輪分別存在主動輪偏心e₁、從動輪偏心e₂時，嚙合頻率處幅值減小，頻域圖中出現主動輪轉頻、從動輪轉頻，同時在嚙合頻率及其諧波兩側出現以對應偏心齒輪轉頻為間隔的邊頻，這是因為偏心誤差的存在影響了齒輪中心距，進而影響了齒輪嚙合點壓力角，從而改變了時變嚙合剛度的頻域特征。

由圖22可知，當主從動輪的偏心誤差同時存在時，對應的頻域圖中出現主動輪轉頻、從動輪轉頻，同時在嚙合頻率及其諧波兩側出現了以兩齒輪轉頻為間隔的邊頻和以兩齒輪轉頻之差Δf_pg為間隔的邊頻f_m±Δf_pg，這是因為主從動輪的偏心共同影響了齒輪嚙合時的中心距，進而改變了齒輪時變嚙合剛度的頻率特征。

4.3 綜合考慮多種因素的齒輪嚙合剛度變化規律

本節研究齒面摩擦、幾何偏心和齒輪變位因素對齒輪嚙合剛度的影響?？紤]到主動輪為小齒輪，采用正變位系數可以增大齒厚進而提高抗彎強度，這種情況在工程應用中更為常見，因此采用情況數F3所列的變位系數來計算綜合因素下的齒輪嚙合剛度變化特性。根據圖4所示的時變嚙合剛度計算流程，計算得到此時變位系數下的時變嚙合剛度，其中齒面摩擦因數和偏心誤差幅值和前文一致，計算結果如圖23所示，為便于分析此時時變嚙合剛度特征產生的原因，將齒輪發生嚙合時主動輪對應的壓力角和瞬時嚙合角相應地展示出來。

由圖23可知，由于齒輪變位，使得嚙合角處在雙齒嚙合區靠近主動輪齒根部分；由于幾何偏心，使得齒輪中心距周期性波動進而影響瞬時嚙合角，同時使得時變嚙合剛度有一個周期波動的趨勢（類似圖19）；由于齒面摩擦會在齒輪通過節點時改變方向，使得時變嚙合剛度相應的有個突變（圖23主動輪轉角0.05 rad處）。在齒輪變位和幾何偏心的共同影響下，齒輪嚙合區間完全發生在節點后（圖23主動輪轉角1.65 rad處），此時齒面摩擦力相對于齒面始終朝一個方向，由于摩擦力方向變化而給齒輪時變嚙合剛度帶來的影響不再出現。

5 結論

（1）研究分析了齒輪變位對嚙合剛度的影響規律：針對角變位齒輪副，當僅考慮一個輪齒變位時，隨著輪齒從負變位到正變位，齒輪嚙合剛度不斷增大，與此同時輪齒中心距變大，重合度降低，雙齒嚙合區間占整個嚙合區間比重下降；針對高變位齒輪副，輪齒中心距不變，主從齒輪變位系數數值相反時，嚙合剛度幅值接近，數值大的變位系數使齒輪副的嚙合剛度小于數值小的變位系數齒輪副的嚙合剛度，小齒輪采取正變位會降低重合度。合理選擇變位系數能改變齒輪副嚙合剛度，進而影響齒輪的傳動特性。

（2）考慮齒面摩擦對變位齒輪嚙合剛度的影響時，輪齒變位會改變齒面摩擦力方向在嚙合區間的位置。針對角變位齒輪副，隨著輪齒從負變位到正變位，嚙合角增大，嚙合角位置經歷了雙齒區間-單齒區間-雙齒區間的變化；針對高變位齒輪副，嚙合角不變，嚙合角位置同樣隨著變位系數的變化在不同的嚙合區間。嚙合角位置靠近主動輪齒根時，齒面摩擦使嚙合剛度減?。粐Ш辖俏恢每拷鲃虞嘄X頂時，齒面摩擦使嚙合剛度增大。

（3）幾何偏心使得無論是否含變位的齒輪副時變嚙合剛度的峰-峰值增大，同時偏心程度越大，峰-峰值越大。由于幾何偏心誤差的存在，使得齒輪時變嚙合剛度在主要諧次周圍出現以軸頻為間隔的邊頻。當主從動輪都存在偏心誤差時，時變嚙合剛度的主要諧次兩側還會出現以兩齒輪軸頻之差為間隔的邊頻。

（4）當同時考慮齒面摩擦、幾何偏心和齒輪變位時，齒面摩擦會受幾何偏心和變位影響，使得齒輪嚙合區間有可能完全發生在節點后，齒面摩擦力方向不再發生改變，從而顯著影響齒輪時變嚙合剛度特性。

本文的研究成果可以應用到齒輪動力學建模分析工作中，為得到更為精確的傳動軸系動力學模型提供有效支撐。

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（編輯 袁興玲）

作者簡介：郝壯壯，男，1999年生，博士研究生。研究方向為齒輪轉子系統動力學。E-mail：haozhuangzhuang@hrbeu.edu.cn。王東華（通信作者），男，1981年生，博士、副教授。研究方向為動力裝置減振降噪及故障診斷。E-mail：wangdonghua@hrbeu.edu.cn。