四點接觸球軸承鋼球-溝道多點接觸成因分析
2023-12-17 12:06:45王亞濤邱明張家銘王會杰
中國機械工程 2023年23期
王亞濤 邱明 張家銘 王會杰
摘要：針對四點接觸球軸承鋼球與溝道間發生多點接觸引起軸承過早失效的問題，以QJ214四點接觸球軸承為研究對象，建立了鋼球-溝道接觸模型，分析了結構參數及工況參數變化時鋼球-溝道發生多點接觸的成因。研究結果表明，內外圈溝道曲率半徑系數或內外墊片厚度的增大可使鋼球-溝道接觸狀態由三點接觸轉變為兩點接觸，再轉變為三點接觸；恒定轉速時，軸向載荷的減小可使鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸；轉速及軸向載荷均恒定時，徑向載荷的增大可使部分鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸，再轉變為四點接觸。研究成果為避免四點接觸球軸承在運轉過程中發生多點接觸而引起的貓眼圈磨損失效提供了參考。
關鍵詞：四點接觸球軸承；多點接觸；結構參數；工況參數；磨損失效
中圖分類號：TH133.3
DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.23.003
開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：
Cause Analysis on Multi-point Contact between Steel Ball and Raceway of
Four-point Contact Ball Bearings
WANG Yatao1QIU Ming1，2ZHANG Jiaming1WANG Huijie1
1.College of Mechanical and Electrical Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang，Henan，471003
2.Collaborative Innovation Center of Machinery and Equipment Advanced Manufacturing of Henan Province，Henan University of Science and Technology，Luoyang，Henan，471003
Abstract：Aiming at the problems of premature bearing failure caused by multi-point contacts between the steel ball and the raceway of four-point contact ball bearings，taking QJ214 four-point contact ball bearings as the research object，the ball and the raceway contact models were established，and the causes of multi-point contacts between the ball and the raceway were analyzed when the structural parameters and working condition parameters were changed. The results show that with the increase of the coefficient of inner and outer raceway groove curvature radius or the thickness of inner and outer gasket，the contact state between the ball and the raceway may be changed from three-point contact to two-point contact，and then to three-point contact. At constant speed condition，with the reduction of axial load，the contact state between the ball and the raceway may be changed from two-point contact to three-point contact. When the rotational speed and the axial load are constant，the increase of radial loads may make the contact state of some steel balls and the raceway change from two-point contact to three-point contact，and then to four-point contact. The research findings may provide reference for avoiding the cats eye ring wear failure caused by multi-point contact during the running of four-point contact ball bearings.
Key words：four-point contact ball bearing； multi-point contact； structural parameter； working condition parameter； wear failure
0 引言
四點接觸球軸承被廣泛應用于航空航天、船舶、汽車等多種場合，在這些場合中軸承的服役工況復雜、服役環境惡劣、故障率較高且損傷模式多種多樣［1-2］。其中，多點接觸致使四點接觸球軸承產生貓眼圈磨損，是引發軸承早期失效的重要因素之一。
近年來，針對滾動軸承接觸特性，國內外學者以圓錐滾子軸承［3］、圓柱滾子軸承［4］和角接觸球軸承［5］為對象開展了大量的研究，但上述軸承不存在多點接觸問題。對于涉及多點接觸問題的三點接觸球軸承，HAMROCK等［6］分析了雙半外圈三點接觸球軸承的載荷分布及壽命特性；彭城等［7］分析了設計接觸角及運行參數對三點接觸球軸承打滑率的影響。對于涉及多點接觸問題的四點接觸球軸承，研究主要分布在軸承振動［8］、旋轉精度［9］、剛度［10］、套圈柔性化［11］、摩擦磨損［12-16］、穩定性［17-20］方面。在軸承多點接觸方面，俞加欣［21］僅探討了靜態條件下避免三點接觸的臨界條件。文獻檢索可知，關于動態條件下四點接觸球軸承多點接觸問題的研究還鮮有報道。然而，多點接觸產生的磨損失效又是此類軸承常見的故障模式，故有必要深入地研究多點接觸產生的原因或條件，為避免四點接觸球軸承多點接觸引發的貓眼圈磨損失效提供參考。
鑒于此，本文針對四點接觸球軸承，建立了其鋼球-溝道接觸模型，并對比求解特定工況下的軸承接觸載荷與已有文獻的相應結果，驗證了所建模型的正確性。以QJ214四點接觸球軸承為研究對象，重點討論了內圈溝道曲率半徑系數、外圈溝道曲率半徑系數、內圈墊片厚度、外圈墊片厚度結構參數變化和轉速、軸向載荷、徑向載荷等工況參數變化時鋼球-溝道間發生多點接觸的成因。
1 四點接觸球軸承鋼球-溝道接觸模型的建立
為了探明誘導四點接觸球軸承發生多點接觸的原因，需先建立鋼球-溝道接觸模型。模型由兩部分組成：一部分是鋼球中心與內外溝道曲率中心幾何關系分析；另一部分是鋼球及內圈的受力分析。
1.1 四點接觸球軸承幾何關系分析
四點接觸球軸承的內外套圈溝道均為“桃形”，軸承需要在鋼球-溝道兩點接觸的情況下才能正確發揮作用，如圖1a所示。四點接觸球軸承在實際工作過程中，鋼球理應與其中一個半內圈溝道以及與此半內圈呈對角位置的外圈溝道分離，如果未分離，則鋼球與溝道會出現多點接觸現象，發生三點接觸或四點接觸，如圖1b、圖1c所示。軸承發生多點接觸時，鋼球會在低受載套圈的溝道上出現嚴重的滑動，導致軸承早期失效［22］。
墊片角αs是四點接觸球軸承的重要結構參數，如圖2a所示，它與墊片厚度g有關，表達式為
式中，下標i（e）表示軸承內（外）圈；r為溝道曲率半徑，r=fDw；f為曲率半徑系數；Dw為鋼球直徑。
墊片角的影響使得四點接觸球軸承的原始接觸角α0與一般角接觸球軸承不同，如圖2b所示，表達式為
式中，A為內外溝道曲率中心的初始距離；Sd為徑向裝配游隙；hi（e）為內（外）溝道溝尖到鋼球表面的距離，見圖2c；η為去除墊片后溝道溝尖與未去除墊片的溝道溝底的距離。
四點接觸球軸承在運轉過程中，受外力向量F=（Fx，Fy，Fz，My，Mz）的作用，軸承內圈相對于外圈產生相對位移d=（δx，δy，δz，θy，θz），鋼球中心Obj和內溝道左溝曲率中心Oil、內溝道右溝曲率中心Oir分別變化到O′bj、O′il、O′ir，導致軸承內外溝道的曲率中心不在同一條直線上，受載前后鋼球中心與內外溝道溝曲率中心相對位置如圖3所示。
變形后內圈溝道曲率中心相對外圈溝道曲率中心之間的軸向距離A1j、徑向距離A2j為
式中，Δ1（2）j為內溝道曲率中心在變形前后沿軸向（徑向）位移。
鋼球與內外圈接觸角可表示為
式中，下標l、r表示左、右溝道；φj=2π（j-1）/Z為第j個鋼球的角位置；Z為鋼球數量。
鋼球與內外圈左右溝道的接觸變形分別為
式中，X1（2）j為變形后鋼球中心與外圈溝道曲率中心的軸向（徑向）距離。
1.2 鋼球和內圈受力分析
軸承在運轉過程中，鋼球不僅受到內外溝道作用力，還受到離心力和陀螺力矩的作用，對鋼球進行受力分析，如圖4所示。
鋼球-溝道接觸載荷Q為
式中，下標i（e）l（r）j表示第j個鋼球與內（外）圈左（右）溝道的接觸位置；K為套圈接觸變形系數。
根據鋼球局部受力平衡條件，鋼球受力平衡方程可表示為
式中，λilj、λirj、λelj、λerj分別為內圈和外圈滾道控制參數，研究采用外滾道控制，取λilj=λir=0，λelj=λer=2；Fcj、Mgj分別為鋼球受到的離心力和陀螺力矩，具體計算方法見文獻［10］。
在對鋼球分析的基礎上，對軸承內圈進行受力分析，根據牛頓運動定律，內圈平衡方程可表示為
式中，Qij為作用在軸承內圈上的外力向量；Rj為坐標變換矩陣。
綜上，軸承幾何變形關系式（3）和式（8）～式（11）、鋼球受力式（13）～式（14）、內圈受力式（15）共同構造出四點接觸球軸承鋼球-溝道接觸模型。
2 模型求解方法及驗證
2.1 模型求解方法
采用分塊法與牛頓-拉夫遜法對上述四點接觸球軸承鋼球-溝道接觸模型進行求解，求解流程如圖5所示。
首先輸入四點接觸球軸承的基本結構參數及載荷等參數，并給出內圈位移迭代初值；其次給定局部變量X1j、X2j對鋼球平衡方程進行循環迭代計算，直到所有鋼球完成迭代計算；然后將鋼球局部平衡方程的計算結果代入內圈平衡方程中進行迭代求解，并對內圈廣義位移進行修正，當全局誤差滿足收斂判據時結束迭代運算；最后輸出四點接觸球軸承內圈位移、接觸載荷等性能參數。
2.2 模型驗證
為了驗證所建立的四點接觸球軸承鋼球-溝道接觸模型的正確性，選取已經公開發表并且被后續許多文獻［10，14］引用對比的NASA技術報告［6］中的結果作為參考數據進行比較。在與參考數據中所用軸承結構參數（表1）及工況參數保持一致的條件下，對比模型計算與參考數據中的鋼球-溝道接觸載荷，如圖6所示。
由圖6可知，通過模型計算得到的鋼球-溝道接觸載荷與文獻結果吻合良好，且誤差絕對值最大不超過6.4%，驗證了四點接觸球軸承鋼球-溝道接觸模型的正確性。
為對四點接觸球軸承鋼球-溝道多點接觸成因進行分析，選取型號為QJ214的四點接觸球軸承為對象，其主要結構參數如表2所示。
3 模型求解結果與討論
在四點接觸球軸承運轉過程中，鋼球-溝道的受載情況分為主要承受載荷的呈對角位置的兩個主接觸區，如圖1a所示，以及對面位置的兩個副接觸區，如圖1c所示。根據第1節建立的鋼球-溝道接觸模型所得到的接觸載荷來判斷主副接觸區鋼球-溝道接觸點數量Z′及軸承是否發生多點接觸，進而分析結構參數和工況參數變化時鋼球-溝道發生多點接觸的成因。
（a）Fx=4 448 N（b）Fx=13 345 N
3.1 結構參數變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
為探究內圈溝道曲率半徑系數、外圈溝道曲率半徑系數、內圈墊片厚度、外圈墊片厚度結構參數變化時鋼球-溝道發生多點接觸的成因，根據QJ214型四點接觸球軸承產品提供的轉速、載荷等數據，選取轉速n=10 000 r/min、軸向載荷Fx=15 kN、徑向載荷Fz=5 kN作為基礎工況進行分析。
3.1.1 內圈溝道曲率半徑系數變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
圖7給出了基礎工況下鋼球-溝道接觸載荷隨內圈溝道曲率半徑系數的變化曲線。從圖7中可以看出，隨著內圈溝道曲率半徑系數的增大，內外溝道主接觸區鋼球-溝道接觸載荷逐漸增大，但各角位置處鋼球-溝道接觸點數量（接觸區內鋼球-溝道間存在接觸載荷的鋼球數量）未發生變化，均為15個。后續討論中主接觸區鋼球-溝道接觸點數量具有與此相同的規律，因此文中不再贅述。
內溝道副接觸區鋼球-溝道接觸載荷隨著內圈溝道曲率半徑系數的增大逐漸減小為0，外溝道副接觸區反之，且同一內圈溝道曲率半徑系數下副接觸區最多只有一個溝道存在接觸載荷，說明鋼球與溝道至多發生三點接觸，同時表明鋼球與內溝道發生第三點接觸逐漸轉變為鋼球與外溝道發生第三點接觸。此過程中，副接觸區鋼球-溝道接觸點數量依次為12、0、15、15，在內圈溝道曲率半徑系數為0.517附近，鋼球-溝道接觸狀態發生轉變。
根據上述分析，細化內圈溝道曲率半徑系數為0.512～0.522，直接分析鋼球-溝道接觸點數量Z′的變化規律，如圖8所示。當內圈溝道曲率半徑系數fi<0.516時，部分鋼球與內溝道發生三點接觸；當內圈溝道曲率半徑系數fi為0.516～0.517時，副接觸區鋼球-溝道接觸點數量為0，鋼球-溝道由三點接觸轉變為兩點接觸；當內圈溝道曲率系數fi>0.517時，部分鋼球與溝道再轉變為三點接觸狀態，此時三點接觸的位置發生在外溝道。
3.1.2 外圈溝道曲率半徑系數變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
圖9給出了基礎工況下鋼球-溝道接觸載荷隨外圈溝道曲率半徑系數的變化曲線。隨著外圈溝道曲率半徑系數的增大，外溝道副接觸區鋼球-溝道接觸載荷逐漸減小，接觸點數量從15個逐漸減少至0個；內溝道副接觸區反之，接觸點數量從0個逐漸增加至15個；在外圈溝道曲率半徑系數為0.529附近，鋼球-溝道接觸狀態發生轉變。
e通過進一步細化外圈溝道曲率半徑系數區間0.524～0.534來探究鋼球-溝道多點接觸演變規律及成因，如圖10所示。當外圈溝道曲率半徑系數fe<0.529時，鋼球與外溝道的密合度變大，導致部分鋼球與外溝道發生三點接觸；當外圈溝道曲率半徑系數fe增大至0.529～0.532時，鋼球-溝道轉變為兩點接觸；當外圈溝道曲率半徑系數fe>0.532時，鋼球與外溝道密合度變小，相對來說，增大了鋼球與內溝道的密合度，此時部分鋼球與內溝道發生三點接觸。
3.1.3 內圈墊片厚度變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
圖11給出了基礎工況下鋼球-溝道接觸載荷隨內圈墊片厚度的變化曲線。由圖11可知，副接觸區鋼球-溝道接觸點數量隨著內圈墊片厚度的增大先減少后增加，數量依次為15、15、0、5；在內圈墊片厚度為0.298 mm附近，鋼球-溝道接觸狀態發生轉變。
根據上述分析，過大或過小的內圈墊片厚度均會導致軸承發生三點接觸，在內圈墊片厚度0.248～0.348 mm區間內進一步分析發生轉變的臨界值，如圖12所示。當內圈墊片厚度gi<0.288 mm時，鋼球與外溝道發生三點接觸；當內圈墊片厚度gi為0.288～0.328 mm時，鋼球-溝道由三點接觸轉變為兩點接觸；當內圈墊片厚度gi增大至0.328 mm時，鋼球與內溝道發生三點接觸。
3.1.4 外圈墊片厚度變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
圖13給出了基礎工況下鋼球-溝道接觸載荷隨外圈墊片厚度的變化曲線。從圖13中可以看出，隨著外圈墊片厚度的增大，副接觸區鋼球-溝道接觸點數量先減少后增加，數量依次為6、0、0、15，軸承在此過程中至多發生三點接觸，位置分別在內溝道、外溝道上。
細化外圈墊片厚度區間0.428～0.528 mm，尋找使鋼球-溝道接觸狀態發生轉變的誘因，如圖14所示，當外圈墊片厚度ge<0.448 mm時，由兩段圓弧曲線組成的外桃形溝道的坡度變得平緩，內溝道的坡度相對變得陡峭，鋼球與內溝道發生三點接觸；當外圈墊片厚度ge增大為0.448～0.518 mm時，鋼球-溝道轉變為兩點接觸；當外圈墊片厚度ge>0.518 mm時，由兩段圓弧曲線組成的外圈桃形溝道的坡度變得陡峭，導致鋼球由兩點接觸再轉變為與外溝道的三點接觸狀態。
3.2 工況參數變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
在3.1節選用工況的基礎上，通過進一步改變轉速和載荷條件來分析軸向載荷、聯合載荷作用后四點接觸球軸承鋼球-溝道發生多點接觸的誘因，軸承結構參數如表2所示。
3.2.1 軸向載荷變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
圖15計算了軸承在轉速n為10 000 r/min，軸向載荷Fx為5～20 kN的工況下鋼球-溝道接觸載荷。由圖15可知，在相同的轉速條件下，副接觸區鋼球-溝道接觸載荷隨著軸向載荷的增大而減小，接觸點數量依次為15、15、0、0；鋼球-溝道接觸狀態在軸向載荷為10～15 kN間轉變。
由圖15可知，較小的軸向載荷更易導致多點接觸情況的發生，通過二分法對區間進行細化尋找軸向載荷臨界值。當軸向載荷Fx>11.5625 kN時，內外圈在軸向方向上位移量增加，鋼球與溝道僅在呈對角位置的主接觸區接觸，鋼球-溝道由三點接觸轉變為兩點接觸。
3.2.2 聯合載荷作用下徑向載荷變化時鋼球-溝道多點接觸成因分析
在轉速n為10 000 r/min，軸向載荷Fx為15 kN工況的基礎上，分析徑向載荷Fz為2～14 kN時鋼球-溝道間接觸載荷的變化規律，如圖16所示。由圖16可知，在相同的轉速及軸向載荷條件下，外內溝道副接觸區鋼球-溝道最大接觸載荷隨著徑向載荷的增大而增大，接觸點數量分別為0、0、5、11和0、0、0、3。
利用二分法逼近接觸狀態轉變的臨界點，當徑向載荷Fz>6.625 kN時，鋼球-溝道由兩點接觸變為三點接觸，當徑向載荷Fz>12 kN時，徑向載荷驅使鋼球與內外溝道主接觸區、副接觸區同時接觸，鋼球-溝道由三點接觸再轉變為四點接觸。
3.2.3 工況參數耦合下鋼球-溝道多點接觸成因分析
為了討論轉速、軸向載荷變化對軸承鋼球-溝道多點接觸成因的影響，計算了軸承在轉速n為2000～12 000 r/min、軸向載荷Fx為3～18 kN的工況條件下鋼球-溝道接觸點總數量Z″，如圖17所示。由圖17可知，鋼球-溝道接觸點總數量隨著轉速的降低或軸向載荷的增大而減少，且鋼球-溝道接觸點總數量最多為45個，由上文可知此過程鋼球-溝道僅由三點接觸轉變為兩點接觸。
圖18考慮了轉速、軸向載荷和徑向載荷變化對四點接觸球軸承鋼球-溝道多點接觸成因的綜合影響，給出了在轉速n為2000～10 000 r/min、軸向載荷Fx為3～15 kN、徑向載荷Fz為3～15 kN的工況下鋼球-溝道接觸點總數量。如圖18所示，鋼球-溝道接觸點總數量隨著轉速的降低，或軸向載荷的增大，或徑向載荷的減小而減少，且總數量最多為49個，大于兩點接觸狀態下的30個和三點接觸狀態下最多的接觸點總數量45個，表明鋼球-溝道接觸狀態在兩點接觸、三點接觸和四點接觸之間轉變。
4 結論
（1）在轉速n為10 000 r/min、軸向載荷Fx為15 kN、徑向載荷Fz為5 kN的基礎工況下，當內圈溝道曲率半徑系數fi<0.516或fi>0.517時，鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸；當外圈溝道曲率半徑系數fe<0.529或fe>0.532時，鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸；當內圈墊片厚度gi<0.288 mm或gi>0.328 mm時，鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸；當外圈墊片厚度ge<0.448 mm或ge>0.518 mm時，鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸，且鋼球與溝道三點接觸的位置會在內外溝道之間轉變。
（2）軸承發生多點接觸的鋼球數量隨著轉速的降低或軸向載荷的增大或徑向載荷的減小而減少。
（3）在轉速及軸向載荷作用下，鋼球-溝道接觸狀態僅在兩點接觸和三點接觸之間轉變，轉速n為10 000 r/min的工況下，當軸向載荷Fx>11.5625 kN時，鋼球-溝道接觸狀態由三點接觸轉變為兩點接觸；在轉速、軸向載荷和徑向載荷作用下，鋼球-溝道接觸狀態會在兩點接觸、三點接觸和四點接觸之間轉變。在轉速n為10 000 r/min，軸向載荷Fx為15 kN工況條件下，當徑向載荷Fz>6.625 kN時，鋼球-溝道接觸狀態由兩點接觸轉變為三點接觸，當徑向載荷Fz>12 kN時，鋼球-溝道接觸狀態由三點接觸轉變為四點接觸。
（4）研究揭示了結構參數及工況參數變化時鋼球-溝道發生多點接觸的成因，為避免四點接觸球軸承在運轉過程中發生多點接觸而引起的貓眼圈磨損失效提供了參考。
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JIAO Yujie. Research on Reliability Technology for Main Shaft Bearings of Aircraft Engine［D］. Hefei：Hefei University of Technology，2004.
（編輯 袁興玲）
作者簡介：王亞濤，男，1999年生，碩士研究生。研究方向為滾動軸承設計與性能分析。E-mail：wangyataohkd@163.com。邱 明（通信作者），女，1969年生，教授、博士研究生導師。研究方向為軸承設計與性能分析。E-mail：qiuming69@126.com。
