深度學習視域下“用分數除法解決問題”教學探析

廣東廣州市花都區教育發展研究院（510800） 程 彥

一、問題的提出

2005 年，研究者黎加厚將深度學習概念引入國內。2006 年，郭元祥教授提出并開展深度教學的理論和改革實踐研究，研究團隊在前期工作中，提出深度學習與深度教學的關聯性與一致性，深度即內涵，在于價值與目標、知識的理解與轉化、學習的過程與方法。因此，深度教學是指向學生素養的意義性教學、理解性教學和生成性教學。

通過梳理、歸納文獻，發現關于數學深度學習概念的界定，多以安富海和郭華的深度學習定義為基礎，即數學深度學習是指基于數學本質理解，關注學生的數學應用與分析能力，培養學生的創造性思維和核心素養。在教學過程中，數學深度學習是學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與有意義的數學學習的過程，以數學核心素養為目標，凸顯學生的思維發展和學生對數學整體性的理解。

二、“用分數除法解決問題”的教學分析及現狀

在分數問題中有三個因素非常重要：標準量、分率和對應量。可以根據求標準量、求分率、求對應量將六年級的分數問題分為三類（如圖1）。

圖1 六年級的分數問題

在以往“用分數除法解決問題”的教學中，教師通常是引導學生建立解決問題的模式：一找關鍵句（含分率）；二定單位“1”；三列算式，單位“1”已知時用乘法，單位“1”未知時用除法。依照上述模式，學生只需機械記憶并套用公式。由于沒有達到理解層次，學生在解決綜合問題時不能準確找出單位“1”，遇到不能直接套用公式的問題時就無法正確解答。

表1 給出的“用分數除法解決問題”共有四個類型，前兩個類型是“用分數乘法解決問題”類型的逆向問題，二者具有同樣的數量關系，但單位“1”不同（已知的和未知的）。

表1 用分數乘除法解決問題對比

在教學中，應找出分數乘、除法問題的對應與聯系，讓學生在觀察、比較、溝通中理解“兩個部分量的差”與“其中的一個量”進行比較，感受它們之間的異同和數量之間的聯系，從而體會、內化這個差異和聯系是“用分數除法解決問題”的基礎和關鍵。

三、“用分數除法解決問題”多重屬性

1.鏈接相關知識，找到解題關鍵

在用分數除法解決問題的過程中，如果過分強調機械記憶和建立簡單模型，忽略模型背后的數學本質，就會使得學生對分數除法問題的核心知識達不到理解的程度。為了促進學生思維的發展，教師需要理順思路，將知識進行串聯、整合、類比，通過一道題延伸出一類題，構建對應的問題模型，活化知識的同時使知識結構化，找到用分數除法解決問題的關鍵。有題組如下：

首先由x∈{x}-,f(x)∈f({x}-),于是{f(x)}?f({x}-),從而clY{f(x)}?clYf({x}-);其次由f連續,f({x}-)?{f(x)}-,于是clYf({x}-)?{f(x)}-=clY{f(x)}。從而clY{f(x)}=clYf({x}-)。

以上題組的題目形式相近、知識聯系密切，具有一定的對比性和層次性。通過比較，可以發現：列式時需要找到標準量，即單位“1”。標準量已知的，可以用乘法計算，即“標準量×具體的分率”；標準量未知的，可以用除法計算，即“具體量÷對應的分率”。通過比較，學生會發現不管單位“1”是已知還是未知，都可以用乘法數量關系式解決這些問題。“求一個數的幾分之幾是多少”和“求比一個數多或少幾分之幾的數是多少”這兩種題的解題策略是一致的。在教學“用分數除法解決問題”的過程中要以“意義”為本，在學生理解的基礎上進行知識建構，促使學生建立符號表征、邏輯形式和意義系統的三維知識結構觀。

2.注重數量關系，進行整體建構

數量關系是兩個或兩個以上的數（或表達式）之間的關系。對于加減乘除運算，無論是一步計算還是混合運算，學生解題的正確率都比較高，然而在解決問題時，經常出現錯誤。原因在于學生建立數量關系模型時，缺少教師的引領。因此，在解決問題教學中，教師要注重引導學生分析數量關系，培養學生分析問題和解決問題的能力。學生遇到數量關系稍復雜的問題時，便能夠從數量關系入手，正確建構思維框架。

學生在解決問題時，一般會經歷如下過程：首先，從情境中尋找數學問題及解決問題所需的信息；接著，從復雜的信息中抽象出數量關系；最后，根據數量關系列式解答。例題：小明的體重是35千克，比爸爸輕，小明爸爸的體重是多少千克？要真正理解“小明的體重比爸爸的體重輕”，就要先弄清楚小明的體重是爸爸的幾分之幾。若將爸爸的體重平均分成15 份，小明的體重相當于15份中的15-8=7（份），即小明的體重是爸爸體重的。

至此，問題轉化成了“小明爸爸體重的幾分之幾是多少”。學生除了發現“小明的體重=爸爸的體還發現了“小明的體重爸的體重”，即數量關系沒有改變。

數學知識之間有密切的聯系，是一個由淺入深、由簡到繁、由易到難的結構。結構化教學能夠將數學知識、數學思想與數學教學內容相結合，使學生將學習的內容視為一個整體，學生就能夠在實際環境中提升自身的邏輯思維，全面理解數學知識。結構式教學的核心就是學生帶著問題主動建構知識的過程。用“分數的意義”統領整個分數單元，將前后知識有機銜接，學生運用分數除法來解決問題時就能對“分數的意義”和“一個數乘分數的意義”達到理解的程度，從而將較復雜的分數問題轉化為“一個數乘幾分之幾等于另一個數”的問題來解決。

3.利用圖形直觀，促進數學思考

合理運用線段圖可促進學生的解題能力和數學思考力的提升。在“用分數除法解決問題”的學習中，學生經常會遇到一些不太符合基本結構特征、數量關系不是很清晰的問題，教師要引導學生畫線段圖來理解題意，幫助學生在數和形的轉化中通過數量關系式找到突破口。

上述例題呈現了含有豐富信息的問題情境，學生在解題時，會遇到“把小明的體重平均分成15份”的情況。線段圖具有的直觀屬性，有助于學生逐步理解題中所傳達的各種數學要素。從題目中可知爸爸的體重是單位“1”，將單位“1”平均分成15 份，小明占其中的7 份，而這7 份所對應的量是小明的體重——35 千克，用線段圖表示爸爸的體重是35 千克和剩余的8 份之和，也就是單位“1”——15份。

基礎知識與思想方法是數學課堂教學中的兩條主線。除了基礎知識鏈這條明線，教師對數學思想方法鏈的構建也要重視。在建構知識的過程中，要引導學生用數學的眼光去分析各種數學問題，概括常用的數量關系，培養學生分析數量關系的意識和能力。學生在學習“用分數除法解決問題”的過程中，往往難以將具體量和分率對應起來，而線段圖能詮釋分數問題中的數量，從而輕松求解。

以上對“用分數除法解決問題”多重屬性的分析與表達，也是“深度的教與學”在課堂中的具體呈現。教師只有具備結構化、立體化、多元化的教學思維，建立發展性的課程知識觀，才能幫助學生獲得整體性的知識，理解知識的本質屬性。

綜上，通過分析“用分數除法解決問題”教學中存在的問題，提出了結構化教學的優勢和有效性，并強調了數量關系的重要性，以及通過圖示促進學生的理解和思維的提升。在未來的教學中，可以進一步探索不同教學策略在分數問題教學中的優劣，以提升教師在學生深度學習過程中的引導和支持能力，推動學生數學素養的提升。

深度學習是以課堂為主陣地，在檢視學生淺表性學習的基礎上，引導學生走向深度參與的課堂學習，從而促進學生思維的發展，達到深度的學習狀態，逐步實現知識、經驗、能力的融合。