用基本模型突破等腰三角形問題

王君

模型解讀

規(guī)律：角平分線遇平行線，構(gòu)造等腰三角形

已知：如圖1，點(diǎn)[P]是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)[P]作[PQ][?][ON].? 結(jié)論：[△OPQ]為等腰三角形.

由此命題可提煉出三個(gè)條件：①點(diǎn)[P]為[∠MON]的平分線上的一點(diǎn)；②[PQ][?][ON]；③[△POQ]為等腰三角形.

我們不難發(fā)現(xiàn)，由其中任意兩個(gè)為已知條件，均可推出第三個(gè)作為結(jié)論. 符合上述特點(diǎn)的基本圖形及其變式圖形如圖2所示.

模型應(yīng)用

例1 在[△ABC]中，[∠ABC]與[∠ACB]的平分線交于點(diǎn)[O]，過點(diǎn)[O]作[BC]的平行線分別交[AB]，[AC]于點(diǎn)[D]，[E]. （1）請結(jié)合圖3，試著猜想線段[BD]，[CE]，[DE]之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. （2）如圖4，若[∠ABC]的平分線與[△ABC]的外角[∠ACF]的平分線交于點(diǎn)[O]，過點(diǎn)[O]作[BC]的平行線交[AB]于點(diǎn)[D]，交[AC]于點(diǎn)[E]，那么[BD]，[CE]，[DE]之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明. （3）如圖5，若[△ABC]的外角平分線交于點(diǎn)[O]，過點(diǎn)[O]作[BC]的平行線分別交[AB]，[AC]的延長線于點(diǎn)[D]，[E]. 請寫出[BD]，[CE]，[DE]之間的數(shù)量關(guān)系.

解析：（1）如圖3，由角平分線的定義得[∠DBO=∠OBC]，[∠ECO=∠BCO].

由平行線的性質(zhì)得[∠DOB=∠OBC]，[∠EOC=∠BCO]，則[∠DOB=∠DBO]，[∠EOC=∠ECO]，[于是BD=DO]，[OE=CE]，從而[DE=BD+CE].

（2）如圖4，同（1）得出，[BD=DO]，[OE=CE]，從而[DE=BD-CE].

（3）[DE=BD+CE.]

例2 如圖6，在[△ABC]中，[∠ABC=30°]，[BD]是[∠ABC]的平分線，交[AC]于點(diǎn)[D]，[E]為[BD]上一點(diǎn)，過點(diǎn)[E]作[EF⊥AB]，交[AB]于點(diǎn)[F]，過點(diǎn)E作EG[?]BC，交AB于點(diǎn)G，若[EF=2]，求線段[BG]的長.

解析：[∵]EG[?]BC，[∴][∠GEB=∠EBC]，∠AGE = ∠ABC = 30°.

[∵][BD是∠ABC的平分線]，[∠ABC=30°]，

[∴][∠EBC=∠FBE=15°]，

[∴][∠FBE=∠GEB=15°]，[∴][BG=GE]，[∠FGE=30°].

[∵][EF⊥AB]，且[EF=2，][∴][GE=2EF=4]，[∴][BG=GE=4]，即線段[BG]的長為4.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★解題時(shí)間：6分鐘

1.如圖7，[BA][?][DC]，點(diǎn)[E]在[BC]上，且[CD] = [CE]，[∠D=74°]，則[∠B]等于 .

2. 如圖8，[∠MON=30°]，[OP]平分[∠MON]，過點(diǎn)[P]作[PQ][?][OM]，交[ON]于點(diǎn)[Q]. 若[OQ] = [4]，則點(diǎn)[P]到[OM]的距離為.

3. 如圖9，在[△ABC]中，[AD]是[∠BAC]的平分線，[DE][?][AB]，交[AC]于點(diǎn)[E]，若[DE=7]，[CE=6]，則[AC]等于.

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：6分鐘

4. 如圖10，把一張長方形的紙折疊，使得點(diǎn)[B]與點(diǎn)[D]重合，折痕為[EF]，那么△[BEF]是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？

5. 如圖11，在[△ABC]中，[AD]平分∠[BAC]，[BD⊥AD]，垂足為點(diǎn)[D]，過點(diǎn)[D]作[DE][?][AC]，交[AB]于點(diǎn)[E]，若[AB] = 5，求線段[DE]的長.