利用角平分線構造翻折全等三角形

孫蕾

角是軸對稱圖形，角平分線所在直線是其對稱軸，沿對稱軸將圖形翻折，可構造翻折全等三角形. 下面介紹三種基本模型及其應用.

模型解讀

模型1：構造雙垂直

如圖1，P是∠AOB的平分線OM上的一點，PC⊥OA于點C.

輔助線作法：過點P作PD⊥OB于點D，得PC = PD，構造 △OPC ≌ △OPD.

模型2：構造單垂直

如圖2，P是∠AOB的平分線OM上的一點，C為OA上的一點，且PC⊥OM于點P.

輔助線作法：延長CP交OB于點D，構造△OPC ≌ △OPD.

模型3：構造等長線段

如圖3，P是∠AOB的平分線OM上的一點，C為OA邊上任意一點，連接CP.

輔助線作法：在OB邊上取一點D，使OD = OC，連接PD，構造△OPC ≌ △OPD.[O][C][A][P][B][D][圖1][M] [O][C][A][P][B][D][圖2][M] [O][C][A][P][B][D][圖3][M]

模型應用

例1 如圖4，在四邊形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∠A + ∠OBC = 180°.求證：AC = BC.

解法1：結合模型1，構造雙垂直.

過C作CM⊥OB，交OB的延長線于M，

過C作CN⊥OA于點N，如圖5，∴∠BMC = ∠ANC = 90°.

∵CM⊥OB，CN⊥OA ，OC平分∠AOB，∴CM = CN.

∵∠A + ∠OBC = 180°，∠CBM + ∠OBC = 180°，

∴∠CBM = ∠A.

∵[∠CBM=∠A]，[∠BMC=∠ANC]，[CM=CN]，

∴△BMC ≌ △ANC（AAS），∴BC = AC.

解法2：結合模型3，構造等長線段.

在OA上取一點M，使OM = OB，連接CM，如圖6.

∵∠MOC = ∠BOC ，∴△MOC ≌ △BOC，

∴CM = CB，∠CMO = ∠OBC.

∵∠OBC + ∠A = 180°，且∠CMO + ∠CMA = 180°，

∴∠A = ∠CMA，∴CM = CA.

∴CB = CA.

例2 如圖7，在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點，若AC平分∠BAE，∠ACE = 90°. 求證：AE = AB + DE.

解法1：結合模型2，構造單垂直.

如圖8，延長EC，AB交于F，可得∠FAC = ∠EAC，

易證△AFC ≌ △AEC（ASA），得AF = AE，CF = CE.

再證BC = DC，∠BCF = ∠DCE，可得△BCF ≌ △DCE，

則BF = DE，所以AE = AF = AB + BF = AB + DE.

解法2：結合模型3，構造等長線段.

如圖9，在AE上取一點F，使AF = AB，連接CF.

因為AB = AF，∠BAC = ∠FAC，AC為公共邊，

所以△ABC ≌ △AFC（SAS），得∠ACB = ∠ACF，BC = FC，

因為∠ACF + ∠ECF = ∠ACE = 90°，∠ACB + ∠ECD = 180° - ∠ACE = 180° - 90° = 90°，所以∠ECF = ∠ECD.

又因為EC為公共邊，CD = BC = CF，

所以△EFC ≌ △EDC（SAS），可得EF = ED，所以AE = AF + EF = AB + ED.