應用題教學中常見問題與應對措施的分析

曹靈華 黃瀚元

? 廣西柳州高級中學

數學學科中,將含有一些數學關系的問題用文字表示出來,由此形成的題目稱為應用題.應用題通常由已知條件和待求問題組成,其中,沒有特定解題規律,且需要運算兩步以上的應用題我們稱它為一般應用題;題目中存在特殊的數量關系,能用特定方法或步驟來解決的應用題,我們稱它為典型應用題.

縱觀近些年的高考試題,這兩種應用題均有出現,學生在解題中出現的失誤也不少.因此,筆者調查分析了學生解題中存在的一些實際問題,并提出了相應的應對措施,共勉!

1 常見問題

1.1 抗壓能力差,缺乏自信

有些學生對自己的期望很高,心理壓力大,反而會顯得信心不足.具體表現在解應用題時,出現緊張、畏難、耗時長等問題,尤其是近些年的高考試題非常靈活,總讓人耳目一新,心理壓力大的學生看到沒見過的試題就會不由自主地產生畏難心理.這種狀態導致了學生在解題時,對自己的能力缺乏信心,情緒低迷,因而難以激活思維,導致解題失敗.

1.2 審題能力差,忽略重點

題干長、文字多是大部分應用題的特點,其中重要的關鍵字、詞、句等比較分散,還有些隱含條件需要學生去挖掘.有些學生在讀題、審題時,走馬觀花,丟三落四,無法厘清各個條件之間存在的重要關系,甚至對一些條件干脆視而不見,更別說挖掘重要的隱含條件了.不論有多強的邏輯思維能力,在沒有弄清問題重點的情況下解題,必然注定了失敗.

1.3 運算能力差,會而不對

調查發現,一些思維活躍、成績較好的學生,在大型考試中總是拿不到高分的原因竟然是運算能力差.這部分學生總為自己什么都會而沾沾自喜,考試中卻出現解題思路完全正確,但在運算中丟分的現象.這種情況,尤其表現在涉及與字母、因式分解、求導等相關的運算中.

2 應對措施

2.1 探尋生活問題,增強自信

高考于學生而言,不僅是對知識掌握程度的檢測,還是對心理素質、思維品質與綜合素養的考查,這是一個公平、公正的較量[1].作為學生,應保持一顆平常心,用最佳的狀態應對每一場測試,以不斷提高自己的綜合素養.

應用題解題能力的提升,首先要學會建立數學模型.這就要求學生盡可能地多接觸校外的社會生活,多了解生活中存在的一些數學知識,讓抽象的知識與豐富的生活有機地結合在一起,增強自身的理解能力,從而建立解題的信心.

例1兩位朋友約定在下午14:00～15:00之間于步行街的某店門口相見,他們商定好若其中一個人先到,必須等另一個人20分鐘的時間,若另一個人在20分鐘內不到,等待的人則自行離去.求這兩人相遇的概率.

分析：這是一個典型的由生活問題衍生而來的應用題.假設這兩人到達約定位置的時間是隨機的,都處于14:00～15:00之間.若兩人到達的時間分別為x,y,兩人相遇則滿足|x-y|≤20,兩個人到達約定地點的所有可能,可以用邊長為60的正方形區域中的任意點(x,y)來表示,由此正方形區域中所有點的集合形成了一個樣本空間.

圖1

本題的教學重點應是介紹知識的發生、發展過程.教師引導學生面對生活實際問題時,應想方設法將數學知識與生活實際相結合,找出其中的關聯點,從而探尋出解決問題的方法.學生通過對生活類問題的研究,不僅能拓寬視野,還能開闊解題思路,在感知數學的實際應用價值中,對自己的解題能力建立充足的信心.

2.2 培養審題能力,找準重點

審題是獲取、分析與處理信息的過程,此過程是建立在一定的認知基礎上進行的[2].不少學生在應用題中失分,并不是不會做,而是缺乏良好的審題習慣.也有學生將自己的錯誤歸咎于馬虎、粗心等,其實這正是審題能力欠缺的表現.這些問題的形成原因是多元的,其中不乏教師和學生等多方面的因素.到底該如何審題?筆者認為,首先要理解題意,其次要弄清楚變元間的關系.

圖2

例2如圖2,圓Q上的一段劣弧與圓P上的一段優弧圍成了實線部分的公園,圓Q,P的半徑均為2 km,且點P位于圓Q上,若想在公園內建設一個多邊形的活動場地,要求頂點都位于圓P上.

(1)若所建的場地為△STR,則該場地的最大面積是多大?

圖3

(2)如圖3,若所建場地為等腰梯形ABCD,則該場地的最大面積是多少?

為了提高學生的審題能力,教師可通過以下幾個問題進行引導.

問題1陰影部分的面積受什么量的影響?誰是主動點?

問題2怎樣用變量來體現這種影響?

問題3陰影部分的面積能否表達出來?怎樣能讓它最大?

問題4分析你所選擇的變量是否準確.

學生在審題過程中,帶著這幾個問題進行思考,不僅快速抓住了解決問題的重點,思維還隨著這幾個問題的解決而逐漸深入.在教師的引導下,學生獲取、分析并處理題設條件所提供的信息,再根據問題進行思考與探究,很快找到了解決問題的辦法.由此可見,審題過程考驗的是學生的細致程度,只有用心思考、分析,才能抓住問題的本質,找出突破問題的方法.

2.3 強化運算訓練,會且全對

考試中,最遺憾的就是會而不對,明明有著完美的解題思路,卻因為運算而失分,這是令人痛心而又遺憾的事情.因此,應用題教學中,教師應有意識地加強對學生運算能力的培養,以達到會且全對的目的.

學生在解應用題中出現計算錯誤的主要原因,集中在以下幾個因素上:①概念模糊導致計算錯誤,主要表現在新知中;②靈活度差,公式記憶不準確,或無法等價變形或逆向回代等;③缺乏數據處理能力,主要表現在對數據的分類、篩選;④圖表駕馭能力欠缺,無法識別到其中的關系或運算規律等.

(1)分別求橢圓與⊙P的方程;

在解決本題時,一些基礎較為薄弱的學生面對這么多的假設變量,已然處于迷糊的狀態,不論是尋找條件,還是列方程,都存在一定的困難,因此選擇了放棄;還有些學生缺乏聯想與化簡意識,出現運算錯誤,甚至出現了解題思路完全正確,只有運算出錯的現象,這是最令人惋惜的.

從學生出現的錯誤類型來看,應用題的教學,不能將目光只鎖定于建模方面,還要關注學生運算能力的培養.教學中,教師可留一定的時間給學生自主推演、運算,在建模的同時提高運算能力[3].尤其強調,遇到因式分解、合并同類項、去括號、通分等容易出錯的運算時,需小心應對,解題結束后必須及時驗算,以防錯誤的發生.

總之,解應用題的能力,不僅能反映出學生知識與技能的掌握程度,還能反映出學生對問題的分析能力與邏輯思維的發展情況.應用題雖然題干長、關系復雜,當前學生存在的問題也不少,但只要我們將應用題教學與新課標接軌,認真分析學生存在的問題,并采取相應的應對措施,定能有效地改變現狀.