2023年新疆高三第一次適應性檢測一道幾何試題的探究

張元志

? 新疆昌吉州第一中學

1 題目

圖1

(1)求證:EF⊥BD;

(2)若點G為△ABD的重心(三條中線的交點),EG⊥平面ABD,求直線BD與平面ABE所成角的余弦值.

2 解法分析及詳解

2.1 第(1)問思路及解析

第(1)問思路及解析如下.

思路1：利用直線與平面垂直的判定定理,證明異面直線垂直問題.

思路2：利用向量坐標運算證明異面直線垂直.

圖2

2.2 第(2)問思路及解析

建立空間直角坐標系,確定相關點的坐標,可用三種方法計算平面ABE的法向量.依據該思路,繪制如圖3所示的思維導圖.

圖3

下面計算平面ABE的法向量,有如下三種方法.

3 相關鏈接

鏈接1(2020年天一大聯考高三皖豫聯盟體第三次考試·理)如圖4,在正方形ABCP中,AB=4,D是CP的中點.把△ADP沿AD折疊,使△PAB為等邊三角形,得到如圖5所示的幾何體.

圖4

圖5

(Ⅰ)證明:AB⊥PD;

(Ⅱ)求二面角A-PB-C的余弦值.

圖6

圖7

圖8

(1)求證:BD⊥AC;

(2)求二面角A-BD-C的余弦值.

(1)證明：略.

圖9

同理,平面CBD的一個法向量為n=(-3,1,2).

向量坐標法,程序化強,易于操作.解題成功的關鍵,是平面法向量的計算:方程組法是通法,向量叉積屬于高等運算,平面方程法是思維的拓展.Z