巧妙設(shè)參,探究拓展
——以2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第16題為例

鄭明鏗

? 福建省晉江市養(yǎng)正中學(xué)

1 真題呈現(xiàn)

此題以橢圓為問(wèn)題背景,結(jié)合直線與橢圓位置關(guān)系的設(shè)置,綜合線段的長(zhǎng)度以及長(zhǎng)度關(guān)系,唯一確定相應(yīng)的直線方程.

抓住直線的特征,設(shè)置直線的截距式方程更加契合條件,進(jìn)而從平面幾何的直觀、“點(diǎn)差法”的應(yīng)用以及橢圓的中點(diǎn)弦性質(zhì)等視角來(lái)分析與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的切入、突破與求解.

2 真題破解

方法1：幾何轉(zhuǎn)化法.

圖1

不失一般性,取如圖1所示的點(diǎn)A,B的位置,過(guò)點(diǎn)A,B分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為C,D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

易知△MCA≌△BDN,從而|AC|=|ND|,即y1=n-y2,亦即y1+y2=n.

解后反思：抓住直線與圓錐曲線位置關(guān)系的本質(zhì),借助“形”的直觀,構(gòu)建平面幾何圖形,通過(guò)平面幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)構(gòu)建邊、角的關(guān)系,從而建立相應(yīng)的關(guān)系式.在解決平面解析幾何問(wèn)題中,經(jīng)常從“形”的視角切入,主要借助三角形是基本計(jì)算或推理證明的基本圖形來(lái)直觀分析,數(shù)形結(jié)合,實(shí)現(xiàn)直觀形象的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法2：點(diǎn)差法.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出橢圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo),利用“點(diǎn)差法”以及直線的斜率公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,進(jìn)而設(shè)出對(duì)應(yīng)直線的截距式方程,并確定直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),結(jié)合直線的斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用來(lái)確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,從而得以確定直線的方程.“點(diǎn)差法”可以很好地解決圓錐曲線上的兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)直線的斜率問(wèn)題,為進(jìn)一步構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式提供條件.

方法3：中點(diǎn)弦性質(zhì)法.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件設(shè)置與之吻合的直線方程,是簡(jiǎn)單快捷處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中的一個(gè)重點(diǎn).此題結(jié)合直線與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn),利用直線截距式方程的設(shè)置,可以快捷確定對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)問(wèn)題,方便問(wèn)題的進(jìn)一步分析與求解.而熟練掌握?qǐng)A錐曲線中的一些“二級(jí)結(jié)論”(本題中用到圓錐曲線的中點(diǎn)弦性質(zhì)),在破解小題時(shí)可以優(yōu)化解題過(guò)程,提升解題效益,節(jié)約寶貴時(shí)間.

3 變式拓展

探究1：保留橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定性,借助直線與橢圓交點(diǎn)的變化以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況,利用線段的三等分點(diǎn)來(lái)創(chuàng)設(shè)情境,從而達(dá)到變式與拓展的目的.

探究2：在變式1的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深入研究,借助直線的平移變化所形成的直線與橢圓的交點(diǎn)變化情況以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況,從另一個(gè)視角來(lái)創(chuàng)設(shè)情境,同樣以線段的三等分點(diǎn)來(lái)設(shè)置,得以變式與拓展.

4 教學(xué)啟示

(1)合理設(shè)參,契合條件

合理設(shè)參(點(diǎn)的坐標(biāo),直線或曲線的方程等)是解決平面解析幾何問(wèn)題中的關(guān)鍵之一,如點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)置(三角換元等),直線方程的設(shè)置(結(jié)合直線的斜率是否存在的斜截式方程以及變形形式,截距式方程等),圓錐曲線方程的設(shè)置(標(biāo)準(zhǔn)方程或統(tǒng)一方程等),都可以為進(jìn)一步解決問(wèn)題提供更加直接便捷的條件,優(yōu)化解題過(guò)程,提升解題效益.

(2)開拓思維,深入探究

涉及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題,要充分挖掘條件的內(nèi)涵與本質(zhì),深入理解題意條件與所求,合理變形與整合,發(fā)散思維,一題多解,并進(jìn)一步借助破題的技巧策略,舉一反三,靈活變通,借助“一題多變”,達(dá)到“一題多得”,真正實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通,綜合應(yīng)用,從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等層面融合,形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系,進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力,創(chuàng)新拓展.Z