巧妙設參,探究拓展
——以2022年高考數學新高考Ⅱ卷第16題為例

鄭明鏗

? 福建省晉江市養正中學

1 真題呈現

此題以橢圓為問題背景,結合直線與橢圓位置關系的設置,綜合線段的長度以及長度關系,唯一確定相應的直線方程.

抓住直線的特征,設置直線的截距式方程更加契合條件,進而從平面幾何的直觀、“點差法”的應用以及橢圓的中點弦性質等視角來分析與應用,實現問題的切入、突破與求解.

2 真題破解

方法1：幾何轉化法.

圖1

不失一般性,取如圖1所示的點A,B的位置,過點A,B分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為C,D.設A(x1,y1),B(x2,y2).

易知△MCA≌△BDN,從而|AC|=|ND|,即y1=n-y2,亦即y1+y2=n.

解后反思：抓住直線與圓錐曲線位置關系的本質,借助“形”的直觀,構建平面幾何圖形,通過平面幾何的相關知識來構建邊、角的關系,從而建立相應的關系式.在解決平面解析幾何問題中,經常從“形”的視角切入,主要借助三角形是基本計算或推理證明的基本圖形來直觀分析,數形結合,實現直觀形象的轉化與應用.

方法2：點差法.

解后反思：根據題設條件設出橢圓上的兩點坐標,利用“點差法”以及直線的斜率公式加以轉化與應用,進而設出對應直線的截距式方程,并確定直線與坐標軸的交點,結合直線的斜率、中點坐標公式、兩點間的距離公式的應用來確定對應的參數值,從而得以確定直線的方程.“點差法”可以很好地解決圓錐曲線上的兩點與對應直線的斜率問題,為進一步構建相應的關系式提供條件.

方法3：中點弦性質法.

解后反思：根據題設條件設置與之吻合的直線方程,是簡單快捷處理直線與圓錐曲線的位置關系問題中的一個重點.此題結合直線與x軸、y軸分別交于兩點,利用直線截距式方程的設置,可以快捷確定對應的交點問題,方便問題的進一步分析與求解.而熟練掌握圓錐曲線中的一些“二級結論”(本題中用到圓錐曲線的中點弦性質),在破解小題時可以優化解題過程,提升解題效益,節約寶貴時間.

3 變式拓展

探究1：保留橢圓標準方程的確定性,借助直線與橢圓交點的變化以及與坐標軸的交點情況,利用線段的三等分點來創設情境,從而達到變式與拓展的目的.

探究2：在變式1的基礎上,進一步深入研究,借助直線的平移變化所形成的直線與橢圓的交點變化情況以及直線與坐標軸的交點情況,從另一個視角來創設情境,同樣以線段的三等分點來設置,得以變式與拓展.

4 教學啟示

(1)合理設參,契合條件

合理設參(點的坐標,直線或曲線的方程等)是解決平面解析幾何問題中的關鍵之一,如點的坐標的設置(三角換元等),直線方程的設置(結合直線的斜率是否存在的斜截式方程以及變形形式,截距式方程等),圓錐曲線方程的設置(標準方程或統一方程等),都可以為進一步解決問題提供更加直接便捷的條件,優化解題過程,提升解題效益.

(2)開拓思維,深入探究

涉及直線與圓錐曲線的綜合應用問題,要充分挖掘條件的內涵與本質,深入理解題意條件與所求,合理變形與整合,發散思維,一題多解,并進一步借助破題的技巧策略,舉一反三,靈活變通,借助“一題多變”,達到“一題多得”,真正實現融會貫通,綜合應用,從數學知識、數學能力、數學思維等層面融合,形成數學知識體系,進而轉變為數學能力,創新拓展.Z