多思妙解:一道高三一模聯調解析幾何題的探究

曹 均

? 江蘇省南通市通州灣中學

圓錐曲線中的最值或定值問題,一直是高考數學考查此模塊知識比較常見的基本題型之一.此類問題往往以直線與圓錐曲線的位置關系為問題場景,結合圓錐曲線中的元素(離心率、漸近線斜率等)、點的坐標、參數值或相應的代數式,以及相關的距離、角度、面積等綜合應用,有“動”有“靜”,有“數”有“形”,變化多端,創新新穎,趣味性高,可以很好體現高考命題的基礎性、綜合性與應用性等.

1 問題呈現

問題〔2023屆江蘇省蘇北四市(徐州、連云港、宿遷、淮安)高三上學期第一次聯合調研測試(一模)(1月)數學試卷·15〕已知拋物線y2=2x與過點T(6,0)的直線相交于A,B兩點,且OB⊥AB(O為坐標原點),則△OAB的面積為______.

此題以直線與拋物線的位置關系為情境,通過過定點的直線以及兩直線的垂直關系來合理構建相應的幾何場景,進而確定對應三角形的面積問題,題目簡捷明了,條件簡潔易懂,難度中等.

在實際解決問題時,關鍵是剖析問題的內涵與實質,通過平面解析幾何問題的基本屬性,可以借助解析幾何思維來合理數學運算與邏輯推理,是處理問題的“通技通法”;也可以借助平面幾何思維來合理直觀想象與數形結合等,是處理問題的“巧技妙法”.無論從哪種基本思維切入,都可以很好地挖掘問題的本質,進而得以分析與求解問題.

2 問題破解

2.1 思維視角——解析幾何思維

抓住問題本質,從平面解析幾何的內涵入手,通過直線AB的方程、點B的坐標的設置以及點的軌跡應用等來切入,結合兩直線的垂直關系加以分析,利用直線與拋物線方程的聯立,通過合理的數學運算來轉化與應用.

方法1：設線法+向量法.

圖1

解析：設直線AB的方程為x=my+6,A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,如圖1所示.

方法2：設點法+向量法.

方法3：設點法+斜率法.

下同方法2的部分解析.

方法4：軌跡法.

解析：由于OB⊥AB,直線AB過點T(6,0),則知點B的軌跡方程為(x-3)2+y2=9,與拋物線y2=2x聯立,消去x并整理,可得x2-4x=0,解得x=4或x=0(舍去).

下同方法2的部分解析.

解后反思：根據平面解析幾何思維,或利用設線法切入,或利用設點法切入,或利用點的軌跡法等切入,這些都是解決平面解析幾何問題中的“通技通法”.解決此類問題的關鍵是通過對應直線方程的構建,然后與圓錐曲線方程聯立,借助函數與方程思維的轉化,從“數”的視角來邏輯推理與數學運算,實現問題的巧妙解決與應用,達到解題的目的.

2.2 思維視角——平面幾何思維

抓住問題內涵,從平面幾何的直觀入手,結合直角三角形中的場景,通過射影定理以及點的特征來確定對應的線段長度,并結合兩直角三角形的相似來構建關系式,得以確定其他線段的長度,通過合理的直觀想象來轉化與應用.

方法5：射影定理法.

圖2

解析：過A,B兩點分別作x軸的垂線,垂足分別為C,D,如圖2所示.

由于OB⊥AB,在Rt△OBT中,由射影定理可得|BD|2=|OD||DT|.

由點A,B在拋物線y2=2x上,可知|AC|2=2|OC|,|BD|2=2|OD|.

解后反思：根據平面幾何思維,回歸平面解析幾何的本質,利用平面圖形的結構與性質加以直觀分析與處理,是解決平面解析幾何問題中的“巧技妙法”.解決此類問題的關鍵是通過平面幾何圖形的構建,挖掘圓錐曲線方程相關問題的內涵,通過數形結合思維的直觀與轉化,從“形”的視角來邏輯推理與直觀想象,進而實現問題的“數”與“形”的轉化與巧妙應用.

3 變式拓展

回歸問題本質,改變問題的求解方式,將“△OAB的面積”的求解轉化為“弦AB的長度”的求解,得到相應的變式與拓展.

變式已知拋物線y2=2x與過點T(6,0)的直線相交于A,B兩點,且OB⊥AB(O為坐標原點),則弦AB的長度為______.

4 教學啟示

4.1 比較解題方法,提升數學能力

原問題的解法中,平面解析幾何思維是“通技通法”,需要學生牢固掌握,并結合具體場景來合理選擇切入視角;在此基礎上,回歸平面解析幾何的本質與內涵,平面幾何思維是“巧技妙法”,有利于學生借助平面幾何圖形進行直觀分析與代數運算,有效調控數學運算過程并提升數學運算與邏輯推理能力等,實現平面解析幾何與平面幾何等相關知識之間的融會貫通,達成知識與方法的綜合.

4.2 開展“一題多解”,實現“一題多得”

2019年發行的《中國高考評價體系》為今后的高考試題改革指明了方向,其中包括“高考試題要體現基礎性、綜合性、應用性和創新性”等,為高考命題與高中教學提供了更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時的教學與解題研究中,在強化學生對數學基礎知識、基本方法與基本技能等方面訓練的基礎上,以習題的“一題多解”探究為載體,開闊學生解題視野,使他們熟練掌握更多解題方法;同時,在此基礎上做到深度學習,合理“一題多變”,達到“一題多得”,總結解題規律,有效避免題海戰術,真正有效培養學生的邏輯思維能力、數學運算能力和創新應用能力等.Z