借助特殊思維,構建熟知模型

劉海杰

? 黑龍江省伊春市第一中學

在解決一些數學問題時,經常借助構建適當的特殊數學模型,有效實現數學問題的基本化、模型化、熟知化,實現數學知識的合理遷移與轉化,通過熟知數學模型問題的分析、處理與破解,實現特殊思維化處理數學問題的目的.

1 巧構函數模型妙解題

熟知的基本函數模型是數學中最常見的數學模型之一,借助一些基本的初等函數模型的構建與應用,有效聯系函數與方程、不等式等的問題,是解決與之有關的問題中比較常用的技巧方法,在此類問題的應用中經常有數學構造法的影子.

例1(多選題)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( ).

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數

D.x=0為f(x)的極小值點

分析：綜合題干與選項,通過特殊值的賦值與應用,并利用特殊函數的構建來分析與判斷.

解析：令x=y=0,代入可得f(0)=0;令x=y=1,代入可得f(1)=0.故選項A,B正確.

令x=y=-1,代入可得f(-1)=0.單令y=-1,則有f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),可知f(x)是偶函數.故選項C正確.

故選擇:ABC.

點評：在解決一些抽象函數及其相關的應用問題時,經常借助抽象函數所滿足的基本性質加以具體化,通過熟知的函數模型的構建,以具體函數來解決抽象函數問題,實現問題的破解與應用.

2 巧構方程模型妙解題

二次方程等熟知模型與對應函數緊密相關,借助方程模型的構建,可以很好地破解一些和代數式、函數與方程有關的問題,通過方程的應用,特別是利用構造法來轉化與處理一些問題.

分析：根據所求代數式進行待定系數法處理,將問題方程化,結合關于參數a的二次方程有正數解,建立對應的不等式,分離系數,利用基本不等式來確定t的最小值,從而得以求解代數式最值問題.

點評：引入參數進行待定系數法處理,結合方程模型進行數學構造,借助方程思維,利用不等式的求解以及基本不等式的應用來巧妙破解.

3 巧構數列模型妙解題

數列模型是函數模型的一個特例,借助數列模型的構建,通過新數列的通項公式、基本性質等來巧妙解決數學問題.借助新數列的構建,有效轉化一些陌生的數列問題,變形為常見的數列問題,利用構造法來處理.

例3若ai∈N*(i=1,2,……,9),對關系式ak=ak-1+1或ak=ak+1-1(2≤k≤8)中有且僅有一個成立,且滿足a1=6,a9=9,則a1+a2+……+a9的最小值為______.

分析：根據題設條件,數列相鄰兩項的差值是1或-1,進而借助數學構造法,構建新數列bk=ak+1-ak,結合新數列的結構特征加以分類討論,從奇數項與偶數項兩個不同層面來分析,通過比較即可確定相應的最值問題.

解析：設bk=ak+1-ak(k≥1),由題意可得bk,bk-1恰有一個為1.

(1)如果b1=b3=b5=b7=b9=1,那么a1=6,a2=7,a3≥1,a4=a3+1≥2,同樣也有a5≥1,a6=a5+1≥2,a7≥1,a8=a7+1≥2,則a1+a2+……+a9≥6+7+1+2+1+2+1+2+9=31;

(2)如果b2=b4=b6=b8=1,那么a8=8,a2≥1,a3=a2+1≥2,同樣也有a4≥1,a5≥2,a6≥1,a7≥2,則a1+a2+……+a9≥6+1+2+1+2+1+2+8+9=32.

綜上可知所求的最小值是31.故填:31.

點評：通過作差換元處理,合理構建數列模型,進行數學構造,可操作性強,破解起來自然流暢,是一種不錯的解題方法.借助數學模型的構建,合理“翻譯”題意來分析與應用.

4 巧構平面幾何模型妙解題

熟知的平面幾何圖形與相應模型是初中數學的基礎,也是用來解決一些與之相關的高中數學問題的常見模型,特別是與三角函數、平面向量以及解三角形等問題相關時,通過合理構建,直接有效.

例4已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,則a·b+b·c+c·a=______.

分析：根據平面幾何作圖處理,合理構造,利用圖形的對稱性,結合平面幾何中特殊圖形的幾何性質來分析并確定對應的線段長度,通過平面向量的投影確定對應三個向量兩兩之間的數量積.

圖1

點評：借助平面幾何圖形的構建,幾何直觀對稱,垂直投影運算.特別在解決一些解三角形、平面向量等問題中,合理利用構造法,結合三角形、四邊形、圓等幾何模型確定邊、角等元素,直觀形象,實現問題的破解.

5 巧構解析幾何模型妙解題

熟知的平面解析幾何模型可用于解決與三角函數、解三角形、代數與創新等相關的問題.借助解析幾何模型,引入坐標,通過代數運算加以邏輯推理,快捷處理.

分析：根據題設條件,抓住已知條件中三角關系式的結構特征加以合理構造,借助平面直角坐標系,將問題轉化為平面坐標系中相關直線的位置關系問題,化“數”為“形”,利用平面解析幾何知識來分析與處理.

圖2

解析：如圖2,建立平面直角坐標系xOy,其中A(0,2),點P在單位圓x2+y2=1上,且點B在直線AP上.令∠POC=α,則P(cosα,sinα).

點評：利用平面解析幾何模型,從直觀圖形層面來解決一些特殊的三角函數問題,有效回避了復雜的三角函數公式與應用.特別,利用數學構造法,結合解析幾何模型的構建,有奇效.

巧妙構建特殊且熟知的數學模型來解決問題,特別是借助函數與方程、不等式與數列、三角函數、平面向量與解三角形,以及解析幾何與立體幾何等基本數學模型的特征與性質,解題時才能無形中將問題與這些熟知的基本數學模型加以巧妙融合,“化生為熟”“化繁為簡”“化難為易”,開拓思路,柳暗花明,迎刃而解.Z