平面向量的極化恒等式解題研究

劉勝男

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

高考對于向量部分知識點的考查中,數量積運算占比極大,解決平面向量數量積問題主要有公式法和坐標法這兩種常規方法.本文中介紹一種新的解法,利用極化恒等式解決一般方法不容易計算的數量積問題,特別在“求取值范圍”問題中有著廣泛應用.“極化恒等式”這一內容源自大學數學“泛函分析”,它表明數量積可以由它誘導出的范數來表示,把極化恒等式降維至二維平面,則可以非常巧妙地建立起向量數量積與向量模長之間的聯系,即僅用向量模長表示向量的數量積,從而實現向量和幾何、向量和代數的精妙結合.

1 極化恒等式

極化恒等式標準形式:對于兩個非零向量a,b,有

圖1

推廣1如圖1,在ABCD中,有

在平行四邊形中,可以用它來解決一些與數量積范圍或最值相關的問題,同時保留了更直觀的幾何意義.當然,也可以在三角形中構造極化恒等式,這也是極化恒等式的第二個推廣.

圖2

2 極化恒等式的優越性

圖3

圖4

點評：從例1及其變式的解法可以發現,使用常規坐標法步驟繁瑣,在計算上花費時間較長,還可能會由于疏忽導致做錯,而采用極化恒等式法,只需找到三角形邊的中點,可以代入公式,題目便迎刃而解.把平面向量數量積這種抽象的問題轉變為代數問題進行求解,可以簡化計算.解法2體現出極化恒等式在計算向量的數量積中的優越性.

3 極化恒等式的應用舉例

題型1：定值問題.

圖5

題型2：范圍問題.

圖6

題型3：求參問題.

圖7

圖8

4 總結

數學解題不是簡單的做題訓練,它更像是知識的再創造.解題是學習數學的重要一環,學會了解題意味著學生不僅具備了解決新問題的能力,同時也培養了他們的邏輯思維、創造性思維和問題解決的技能.利用極化恒等式可以求數量積的值、界定數量積的取值范圍、探求數量積的最值、處理長度問題,以及解決一些綜合性問題.因此,教師站在更高層面,為學生講解一類新的解題模型是有必要的[1].