當(dāng)向量遇上了平面幾何

陳梅英

? 福建省莆田第八中學(xué)

平面向量是高中數(shù)學(xué)中一個“數(shù)”與“形”同時兼?zhèn)涞奶厥鈹?shù)學(xué)元素,是數(shù)形結(jié)合的完整統(tǒng)一體,也是實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”巧妙化歸與轉(zhuǎn)化的結(jié)合體.特別地,當(dāng)平面向量遇上了平面幾何,借助平面幾何中相關(guān)概念、定理、性質(zhì)等的巧妙應(yīng)用,與平面向量知識合理交匯與融合,充分落實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)這“四基”,培養(yǎng)與提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的能力,重視素養(yǎng)發(fā)展.

1 中線定理

三角形的中線定理:若AD是△ABC的中線,則有AB2+AC2=2(AD2+BD2).涉及平面向量中的中點(diǎn)關(guān)系以及相關(guān)的模等問題時,有時可借助三角形的中線定理來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

分析：根據(jù)題目條件,通過余弦定理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而確定對應(yīng)的邊長平方之間的關(guān)系,結(jié)合三角形的中線定理,利用平面向量的線性關(guān)系式與中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化,通過平面幾何的直觀轉(zhuǎn)化與處理,利用關(guān)系式的等量代換與變形,進(jìn)而確定對應(yīng)向量的模的最值問題.

解：設(shè)B,D為兩個定點(diǎn),根據(jù)題目條件可知CB+CD=4≥BD,當(dāng)且僅當(dāng)B,C,D三點(diǎn)共線時等號成立,此時點(diǎn)C在線段BD上,為線段BD的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B處).

根據(jù)余弦定理,可得

所以AB2+AD2≤2BD2.

點(diǎn)評：根據(jù)平面幾何背景,利用平面向量的概念、運(yùn)算與關(guān)系式等,回歸平面向量“形”的本質(zhì),從平面幾何角度直觀入手,通過線段中點(diǎn)的選取,結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與概念以及三角形的中線定理等來建立關(guān)系式,并為進(jìn)一步的變形轉(zhuǎn)化與化簡求值指明方向,數(shù)形結(jié)合,直觀想象.

2 角平分線定理

圖1

分析：根據(jù)題目條件,通過余弦定理確定三角形中第三邊AC的長度,進(jìn)而確定三角形的形狀,結(jié)合三角形的角平分線定理構(gòu)建線段長度的比例關(guān)系,進(jìn)而確定點(diǎn)D的位置,進(jìn)一步綜合利用平面向量的數(shù)量積公式,借助向量投影來化歸,實(shí)現(xiàn)數(shù)量積的轉(zhuǎn)化與求解.

點(diǎn)評：在平面向量問題中,通過平面幾何圖形的特征,借助三角形的角平分線定理,合理構(gòu)建線段長度之間的比例關(guān)系,為平面向量中的坐標(biāo)表示、線性關(guān)系與對應(yīng)的運(yùn)算奠定基礎(chǔ),借助平面向量的知識進(jìn)一步分析與求解,達(dá)到綜合與應(yīng)用的目的.

3 射影定理

直角三角形的射影定理:在Rt△ABC中,∠C為直角,點(diǎn)D在斜邊AB上,滿足AB⊥CD,則有AC2=AD×AB,BC2=BD×AB.在直角三角形與圓等相關(guān)平面幾何圖形中,涉及直角問題時經(jīng)常通過射影定理來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式.

A.12 B.-12 C.20 D.-20

分析：根據(jù)題目條件,通過圓的性質(zhì)確定線段的垂直關(guān)系,利用射影定理構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,結(jié)合平面向量的投影轉(zhuǎn)化對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積,通過關(guān)系式的等價轉(zhuǎn)化加以分析與求解.

圖2

解析：如圖2,過點(diǎn)A,C分別作BD的垂線,垂足分別為E,F.

由于BD是圓的直徑,則有AB⊥AD,CB⊥CD.

根據(jù)射影定理,可得|AD|2=|DE|×|BD|,|CD|2=|DF|×|BD|.

故選擇答案:B.

點(diǎn)評：巧妙利用圓的直徑所對的圓周角為直角,合理構(gòu)建直角三角形,進(jìn)而利用直角三角形的射影定理來構(gòu)建關(guān)系式,為平面向量的數(shù)量積、投影等的應(yīng)用提供條件.利用平面向量的投影是破解平面向量的數(shù)量積問題比較常見的一類技巧方法,合理通過平面幾何“形”的特征加以數(shù)形結(jié)合來直觀解決.

4 三角形相似

利用三角形相似的判定與性質(zhì),可以合理構(gòu)建平面幾何中對應(yīng)線段之間的比例關(guān)系,為進(jìn)一步解決平面向量中的模、夾角、數(shù)量積等問題提供條件,有效聯(lián)系平面幾何與平面向量之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化.

分析：根據(jù)題目條件,借助平面向量“形”的特征構(gòu)建對應(yīng)的平面幾何圖形,結(jié)合輔助線的構(gòu)建,通過平面向量中三點(diǎn)共線的等和線性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,直觀分析與求解.

圖3

解：如圖3所示,連接BD,交AF于點(diǎn)G.過點(diǎn)F作FH∥DB,交AB的延長線于點(diǎn)H.

由題意可知|DE|=|EC|=3.

點(diǎn)評：利用平面向量問題中平面幾何背景的直觀想象,結(jié)合平面幾何中向量的線性關(guān)系以及三角形相似的應(yīng)用等,合理構(gòu)建關(guān)系,實(shí)現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化與巧妙解決.特別地,抓住平面向量問題中“形”的特征,通過平面幾何相關(guān)知識的輔助應(yīng)用,直觀有效,更加直接.

平面向量往往和幾何交匯與結(jié)合(高中階段幾何主要包括平面幾何、平面解析幾何、立體幾何這幾個方面),合理鏈接初中平面幾何與高中平面向量這兩個知識之間的聯(lián)系,拓展到平面解析幾何與立體幾何等層面,實(shí)現(xiàn)不同知識點(diǎn)之間的融合與貫通,形成知識與能力間的滲透與拓展,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系,激發(fā)創(chuàng)新思維,增強(qiáng)實(shí)踐意識與創(chuàng)新應(yīng)用,全面提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z