“概率”章節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)歸納例析

于明華

? 江蘇省海安市立發(fā)中學(xué)

“概率”章節(jié)涉及到的概念、公式較多,很多學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)概念、公式理解不清,考慮問題不全面等造成這樣或那樣的解題錯(cuò)誤,故很有必要?dú)w類總結(jié)常見解題易錯(cuò)點(diǎn).

1 易錯(cuò)點(diǎn)一:將“非等可能”與“等可能”混同

例1擲兩枚骰子,求事件A為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3”的概率.

正解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的等可能結(jié)果有(1,1),(1,2),……,(1,6),(2,1),(2,2),……,(2,6),……,(6,1),(6,2),……,(6,6),共36種.

在這些結(jié)果中,事件A包含兩種等可能結(jié)果:(1,2),(2,1).

2 易錯(cuò)點(diǎn)二:將目標(biāo)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)算錯(cuò)

例2甲、乙二人參加普法知識(shí)競賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙二人依次各抽取一題.求甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率.

剖析：由于考慮不細(xì)致,實(shí)際上把甲、乙二人都抽到選擇題的事件數(shù)計(jì)算了兩次,這是上述錯(cuò)解的根本原因.

正解：甲、乙二人依次各抽取一題的基本事件的總數(shù)是10×9=90.

甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題,包括以下三種情形:(1)只有甲抽到了選擇題,事件數(shù)是6×4=24;(2)只有乙抽到了選擇題,事件數(shù)是6×4=24;(3)甲、乙同時(shí)抽到選擇題,事件數(shù)是6×5=30.

3 易錯(cuò)點(diǎn)三:沒有注意抽取時(shí)是否“放回”

例3一個(gè)袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個(gè),除顏色外完全相同,已知藍(lán)色球3個(gè).若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號(hào),并將1號(hào)紅色球,1號(hào)白色球,2號(hào)藍(lán)色球和3號(hào)藍(lán)色球這四個(gè)球裝入另一個(gè)袋子中,甲乙兩人先后從這個(gè)袋子中各取一個(gè)球(甲先取,取出的球放回),求甲取出的球的編號(hào)比乙的大的概率.

錯(cuò)解：記“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有(紅1,白1),(紅1,藍(lán)2),(紅1,藍(lán)3),(白1,紅1),(白1,藍(lán)2),(白1,藍(lán)3),(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白1),(藍(lán)2,藍(lán)3),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),共12個(gè).

事件A包含的基本事件有(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白1),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),共5個(gè).

剖析：由于題目要求“甲先取,取出的球放回”,而上述解題過程卻是按“不放回”的方式思考的,這是導(dǎo)致上述錯(cuò)誤的根源所在.

注意:如果把“甲先取,取出的球放回”這句話修改為“甲先取,取出的球不放回”,那么上述錯(cuò)解就是正確的.

正解：記“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有(紅1,白1),(紅1,藍(lán)2),(紅1,藍(lán)3),(白1,紅1),(白1,藍(lán)2),(白1,藍(lán)3),(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白1),(藍(lán)2,藍(lán)3),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),(紅1,紅1),(白1,白1),(藍(lán)2,藍(lán)2),(藍(lán)3,藍(lán)3),共16個(gè).

事件A包含的基本事件有(藍(lán)2,紅1),(藍(lán)2,白1),(藍(lán)3,紅1),(藍(lán)3,白1),(藍(lán)3,藍(lán)2),共5個(gè).

4 易錯(cuò)點(diǎn)四:沒有注意“公式成立的前提條件”

例4一盒中裝有各色球6個(gè),其中2個(gè)紅球、2個(gè)黑球、2個(gè)白球,現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球,求至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球的概率.

錯(cuò)解：設(shè)事件R為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球”;事件A為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球”; 事件B為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,有一個(gè)紅球”;事件C為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,有一個(gè)黑球”.

事件R包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(紅1,紅2),(黑1,黑2),(白1,白2),共15個(gè).

事件B包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(紅1,紅2),共9個(gè).

事件C包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(黑1,黑2),共9個(gè).

故由互斥事件的概率加法公式,可得

剖析：利用互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)時(shí),要注意事件A與B必須互斥.而本題中由于事件B,C都包含基本事件(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),所以事件B,C不是互斥的,從而事件A不能轉(zhuǎn)化為事件B,C之和,這是上述錯(cuò)解的根源所在.

正解：設(shè)事件R為“從中隨機(jī)取出兩個(gè)球”;事件A為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球”;事件B為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,有紅球無黑球”;事件C為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,有黑球無紅球”;事件D為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球,既有紅球又有黑球”.

事件R包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(紅1,紅2),(黑1,黑2),(白1,白2),共15個(gè).

事件B包含的基本事件有(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,白1),(紅2,白2),(紅1,紅2),共5個(gè).

事件C包含的基本事件有(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(黑1,黑2),共5個(gè).

事件D包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),共4個(gè).

5 易錯(cuò)點(diǎn)五:將具體問題中的“測(cè)度”搞錯(cuò)

圖1

剖析：解題時(shí),要特別注意對(duì)“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”這句話的準(zhǔn)確理解,由此可確定本題的測(cè)度應(yīng)該是“角度”,而不是“長度”!所以上述錯(cuò)解就是求概率時(shí)因轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤而導(dǎo)致的.

注意:如果把“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”這句話修改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”,那么上述錯(cuò)解就是正確的.

總之,關(guān)注“概率”章節(jié)常見解題易錯(cuò)點(diǎn),有利于幫助學(xué)生加深對(duì)教材基本知識(shí)和方法的準(zhǔn)確理解,養(yǎng)成審慎思考的良好習(xí)慣,同時(shí),能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及直觀想象等核心素養(yǎng).一言以蔽之,關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn),有利于借誤導(dǎo)悟,有利于逐步積累解題經(jīng)驗(yàn),避免一些常見錯(cuò)誤的產(chǎn)生!Z