“概率”章節易錯點歸納例析

于明華

? 江蘇省海安市立發中學

“概率”章節涉及到的概念、公式較多,很多學生往往會因為對概念、公式理解不清,考慮問題不全面等造成這樣或那樣的解題錯誤,故很有必要歸類總結常見解題易錯點.

1 易錯點一:將“非等可能”與“等可能”混同

例1擲兩枚骰子,求事件A為“出現的點數之和等于3”的概率.

正解：擲兩枚骰子出現的等可能結果有(1,1),(1,2),……,(1,6),(2,1),(2,2),……,(2,6),……,(6,1),(6,2),……,(6,6),共36種.

在這些結果中,事件A包含兩種等可能結果:(1,2),(2,1).

2 易錯點二:將目標事件包含的基本事件的個數算錯

例2甲、乙二人參加普法知識競賽,共有10個不同的題目,其中選擇題6個,判斷題4個,甲、乙二人依次各抽取一題.求甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率.

剖析：由于考慮不細致,實際上把甲、乙二人都抽到選擇題的事件數計算了兩次,這是上述錯解的根本原因.

正解：甲、乙二人依次各抽取一題的基本事件的總數是10×9=90.

甲、乙二人至少有一個抽到選擇題,包括以下三種情形:(1)只有甲抽到了選擇題,事件數是6×4=24;(2)只有乙抽到了選擇題,事件數是6×4=24;(3)甲、乙同時抽到選擇題,事件數是6×5=30.

3 易錯點三:沒有注意抽取時是否“放回”

例3一個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個,除顏色外完全相同,已知藍色球3個.若將這三種顏色的球分別進行編號,并將1號紅色球,1號白色球,2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另一個袋子中,甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取,取出的球放回),求甲取出的球的編號比乙的大的概率.

錯解：記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有(紅1,白1),(紅1,藍2),(紅1,藍3),(白1,紅1),(白1,藍2),(白1,藍3),(藍2,紅1),(藍2,白1),(藍2,藍3),(藍3,紅1),(藍3,白1),(藍3,藍2),共12個.

事件A包含的基本事件有(藍2,紅1),(藍2,白1),(藍3,紅1),(藍3,白1),(藍3,藍2),共5個.

剖析：由于題目要求“甲先取,取出的球放回”,而上述解題過程卻是按“不放回”的方式思考的,這是導致上述錯誤的根源所在.

注意:如果把“甲先取,取出的球放回”這句話修改為“甲先取,取出的球不放回”,那么上述錯解就是正確的.

正解：記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有(紅1,白1),(紅1,藍2),(紅1,藍3),(白1,紅1),(白1,藍2),(白1,藍3),(藍2,紅1),(藍2,白1),(藍2,藍3),(藍3,紅1),(藍3,白1),(藍3,藍2),(紅1,紅1),(白1,白1),(藍2,藍2),(藍3,藍3),共16個.

事件A包含的基本事件有(藍2,紅1),(藍2,白1),(藍3,紅1),(藍3,白1),(藍3,藍2),共5個.

4 易錯點四:沒有注意“公式成立的前提條件”

例4一盒中裝有各色球6個,其中2個紅球、2個黑球、2個白球,現從中隨機取出2個球,求至少有一個紅球或一個黑球的概率.

錯解：設事件R為“從中隨機取出2個球”;事件A為“從中隨機取出2個球,至少有一個紅球或一個黑球”; 事件B為“從中隨機取出2個球,有一個紅球”;事件C為“從中隨機取出2個球,有一個黑球”.

事件R包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(紅1,紅2),(黑1,黑2),(白1,白2),共15個.

事件B包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(紅1,紅2),共9個.

事件C包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(黑1,黑2),共9個.

故由互斥事件的概率加法公式,可得

剖析：利用互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)時,要注意事件A與B必須互斥.而本題中由于事件B,C都包含基本事件(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),所以事件B,C不是互斥的,從而事件A不能轉化為事件B,C之和,這是上述錯解的根源所在.

正解：設事件R為“從中隨機取出兩個球”;事件A為“從中隨機取出2個球,至少有一個紅球或一個黑球”;事件B為“從中隨機取出2個球,有紅球無黑球”;事件C為“從中隨機取出2個球,有黑球無紅球”;事件D為“從中隨機取出2個球,既有紅球又有黑球”.

事件R包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(紅2,白1),(紅2,白2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(紅1,紅2),(黑1,黑2),(白1,白2),共15個.

事件B包含的基本事件有(紅1,白1),(紅1,白2),(紅2,白1),(紅2,白2),(紅1,紅2),共5個.

事件C包含的基本事件有(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1),(黑2,白2),(黑1,黑2),共5個.

事件D包含的基本事件有(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),共4個.

5 易錯點五:將具體問題中的“測度”搞錯

圖1

剖析：解題時,要特別注意對“在∠BAC內作射線AM交BC于點M”這句話的準確理解,由此可確定本題的測度應該是“角度”,而不是“長度”!所以上述錯解就是求概率時因轉化錯誤而導致的.

注意:如果把“在∠BAC內作射線AM交BC于點M”這句話修改為“在線段BC上找一點M”,那么上述錯解就是正確的.

總之,關注“概率”章節常見解題易錯點,有利于幫助學生加深對教材基本知識和方法的準確理解,養成審慎思考的良好習慣,同時,能夠較好地培養學生數據分析、數學運算以及直觀想象等核心素養.一言以蔽之,關注易錯點,有利于借誤導悟,有利于逐步積累解題經驗,避免一些常見錯誤的產生!Z