指數函數、對數函數綜合,精彩連連看

張華琴

? 江蘇省海安市立發中學

將指數函數與對數函數的有關性質或圖象融合在同一道試題中加以靈活、綜合考查,已成為近幾年高考試題設計的一個新亮點.其符合新課標高考理念,關注所學知識的交匯運用,培養學生的數學核心素養[1].基于此,現歸類舉例加以說明.

1 精彩一:比較大小

若已知函數解析式是由指數函數與對數函數以加減的形式構造而成的,那么解題時就應該充分利用指數函數、對數函數的性質以及外在結構形式,先分析函數的單調性,再利用單調性求解比較大小的問題.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：因為d是方程f(x)=0的實數根,所以f(d)=0.于是,由題設得f(c)

故選答案:B.

評注：本題求解的關鍵是分析函數f(x)的單調性,并活用函數f(x)的單調性.

規律1：一般地,若函數f(x)和g(x)在同一區間A上都單調遞增(或遞減),則函數f(x)+g(x)在該區間A上也單調遞增(或遞減).

規律2：一般地,當01時,函數y=ax-logbx在(0,+∞)上單調遞減;當a>1,0

2 精彩二:解不等式

求解不等式時,如果能將不等式轉化為形如ax0,a≠1)的形式,那么就可以靈活運用指數函數的單調性加以求解;如果能將不等式轉化為形如logax0,a≠1)的形式,那么就可以靈活運用對數函數的單調性加以求解.具體求解時,必須關注底數與“1”的大小關系;否則,極易出錯.一般地,當a>1時,axy,logaxy>0.

解析：當m<2時,由f(m)<2,得2em-3<2,即em-3<1=e0,則m-3<0,解得m<3.又m<2,所以m<2.

當m≥2時,由f(m)<2,得log3(m-5)<2=log39,則有0

綜上所述,不等式f(m)<2的解集是{m|m<2或5

評注：求解簡單的指數(或對數)不等式的一般步驟是先將不等式兩邊化成底數相同的形式,再利用對應指數(或對數)函數的單調性即可.求解對數不等式時,要特別關注隱含條件“對數的真數大于零”.從整個解析過程來看,本題還考查了“分類與整合思想”在解題中的靈活運用.

3 精彩三:證明恒等式

如果題目已知條件中涉及指數函數或對數函數,那么證明有關恒等式時,往往需要結合指數函數或對數函數靈活構造新函數,并在適當變形的基礎上運用新函數的單調性加以巧證[2].

例3已知實數a,b滿足a+lga=3,且b+10b=3,求證:a+b=3.

證法一：設函數f(x)=x+10x,則由題設得f(b)=b+10b=3,f(lga)=lga+10lg a=lga+a=3,所以f(b)=f(lga).

因為函數y=x和y=10x在R上都單調遞增,所以函數f(x)在R上單調遞增,從而有b=lga.于是,a+b=a+lga=3,故得證.

證法二：設函數g(x)=x+lgx(x>0),則由題設得g(a)=a+lga=3,g(10b)=10b+lg 10b=10b+b=3,所以g(a)=g(10b).

因為函數y=x和y=lgx在(0,+∞)上都單調遞增,所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增.又因為10b>0,且由題設易知a>0,從而必有a=10b.

所以a+b=10b+b=3,得證.

評注：上述證法一、證法二解題的關鍵都是靈活構造函數,并且巧妙地利用了函數的單調性“一般地,若f(x)是區間A上的單調函數,且x,y∈A,則f(x)=f(y)?x=y”.此外,應注意對數恒等式alogaN=N與對數運算法則在化簡運算中的靈活運用.

4 精彩四:求解含參問題

處理涉及指數函數或對數函數,且含有參數的最值問題或者解不等式問題時,往往需要借助指數函數、對數函數的性質(包括定義域、值域、單調性等)加以靈活分析.

例4若函數f(x)=loga(x2+2x+2)(a>0,a≠1)有最大值,則由不等式a2x+3

解析：因為x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以根據函數f(x)=loga(x2+2x+2)有最大值,易知01+3x,解得x<2.

故由不等式a2x+3

評注：本題求解的關鍵步驟有兩點.一是由函數f(x)存在最大值,準確判斷得到參數a與1的大小關系;二是利用指數函數y=ax(0

仿照例4的解析過程,我們很容易求解如下姊妹題:設a>0,a≠1,若函數f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,則由不等式a2x+3

5 精彩五:求解最值問題

處理涉及指數函數或對數函數的最值問題時,往往需要運用指數函數、對數函數的性質(包括定義域、值域、單調性等)以及“換元”技巧(換元之后,需要關注新元的取值范圍)加以靈活分析[3].

例5已知函數y=ln (x-1)+ln (3-x)的定義域為D,求函數f(x)=2x+4-3·4x(x∈D)的最值.

解析：由函數y=ln (x-1)+ln (3-x)有意義,得x-1>0且3-x>0,解得1

評注：實施“換元”變形,有利于將原問題轉化為熟悉的二次函數問題——求關于t的二次函數y=16t-3t2在給定區間(2,8)上的最值.從整體上看,本題設計較好,具有較強的綜合性,側重考查了對數函數、指數函數以及二次函數知識的交匯應用,同時也較好地培養了學生數學運算、邏輯推理等核心素養.

綜上,只有準確理解、熟練掌握指數函數和對數函數的圖象與性質,才能靈活處理涉及指數函數或對數函數的綜合應用問題,進而提高分析、解決此類問題的能力[4].